理论分布与抽样分布.ppt

第四章理论分布与抽样分布 1正态分布 记为X N 2 其中 0 是任意实数 是位置参数 是尺度参数 y x O 正态分布的性质 1 p x 是关于 是对称的 p x x 0 在 点p x 取得最大值 2 若 固定 改变 3 若 固定 改变 大 p x 左右移动 形状保持不变 越大曲线越平坦 越小曲线越陡峭 p x x 0 x x 标准正态分布N 0 1 密度函数记为 x 分布函数记为 x x 的计算 1 x 0时 查标准正态分布分布函数表 2 x 0时 用 若X N 0 1 则 1 P X a a 2 P X a 1 a 3 P a X b b a 4 若a 0 则P X a P a X a a a a 1 a 2 a 1 例设X N 0 1 求P X 1 96 P X 1 96 1 1 96 1 1 1 96 0 975 查表得 2 1 96 1 0 95 1 96 解 P X 1 96 P X 1 96 2 0 975 1 设X N 0 1 P X b 0 9515 P X a 0 04947 求a b 解 b 0 9515 1 2 所以b 0 反查表得 1 66 0 9515 故b 1 66 而 a 0 0495 1 2 所以a 0 a 0 9505 反查表得 1 65 0 9505 故a 1 65 例 一般正态分布的标准化 定理设X N 2 则Y N 0 1 推论 若X N 2 则 若X N 2 则P Xa 设X N 10 4 求P 10 X 13 P X 10 2 解 P 10 X 13 1 5 0 0 9332 0 5 P X 10 2 P 8 X 12 2 1 1 0 6826 0 4332 例 设X N 2 P X 5 0 045 P X 3 0 618 求 及 例 1 76 4 解 已知X N 3 22 且P X k P X k 则k 3 课堂练习 1 设X N 42 Y N 52 记p1 P X 4 p2 P Y 5 则 对任意的 都有p1 p2 对任意的 都有p1p2 课堂练习 2 设X N 2 则随 的增大 概率P X 单调增大 单调减少 保持不变 增减不定 课堂练习 3 正态分布的3 原则 设X N 2 则 P X 0 6828 P X 2 0 9545 P X 3 0 9973 2经验分布函数 设x1 x2 xn是取自总体分布函数为F x 的样本 若将样本观测值由小到大进行排列 为x 1 x 2 x n 则称x 1 x 2 x n 为有序样本 用有序样本定义如下函数 则Fn x 是一非减右连续函数 且满足 Fn 0和Fn 1 由此可见 Fn x 是一个分布函数 并称Fn x 为经验分布函数 3统计量与抽样分布 当人们需要从样本获得对总体各种参数的认识时 最好的方法是构造样本的函数 不同的函数反映总体的不同特征 统计量设x1 x2 xn为取自某总体的样本 若样本函数T T x1 x2 xn 中不含有任何未知参数 则称T为统计量 统计量的分布称为抽样分布 按照这一定义 若x1 x2 xn为样本则都是统计量 而当 2未知时 x1 x1 等均不是统计量 尽管统计量不依赖于未知参数 但是它的分布一般是依赖于未知参数的 课堂练习 1 设X1 X2 Xn是来自总体N 2 的一个样本 其中 已知 2未知 以下哪些是统计量 几个常用的统计量 3 样本k阶矩 原点矩 中心矩 一 2 分布 数理统计中常用到如下三个分布 2 分布 t 分布 F 分布 2 2 分布的密度函数曲线 该密度函数的图象是一取非负值的偏态分布 3 分位点设X 2 n 若对于 0 1 存在 满足 则称 为 分布的下侧 分位点 4 2分布的性质 a 分布可加性若X 2 n1 Y 2 n2 X与Y独立 则X Y 2 n1 n2 b 期望与方差若X 2 n 则E X n Var X 2n 例4 1 3设是取自总体N 0 4 的简单随机样本 当a b 时 则 解 由题意得 a 0 05b 0 01 1 构造若X N 0 1 Y 2 n X与Y独立 则 t n 称为自由度为n的t 分布 二 t 分布 2 t n 的概率密度为 t分布的密度函数的图象是一关于纵轴对称的分布 与标准正态分布的密度函数形状类似 只是峰比标准正态分布低一些尾部的概率比标准正态分布的大一些 3 t n 的性质 1 p t 关于t 0 纵轴 对称 2 p t 的极限为N 0 1 的密度函数 4 分位点设T t n 若对00 满足P T t n 则称t n 为t n 的下侧 分位点 注 证明 所以 三 F 分布 1 构造若X 2 n1 Y 2 n2 X与Y独立 则 称为自由度为n1 n2的F 分布 其概率密度为 该密度函数的图象也是一取非负值的偏态分布 2 F 分布的分位点对于00满足P F F n1 n2 则称F n1 n2 为F n1 n2 的下侧 分位点 3 F 分布性质 一般总体的结论 设X为总体 则 且E X Var X 2 为样本 正态总体的结论 设总体 则 为样本 1 2 独立 3 4 课堂练习 2 设X1 X2 Xn是来自总体N 2 的一个样本 则 服从什么分布 2 n 课堂练习 3 设X1 X2 X3 X4是来自总体N 0 4 的一个样本 求a b 使得 2 2 a 1 20 b 1 100 课堂练习 4 设X1 X2 Xn是来自总体N 2 的一个样本 证明 Z t 2 课堂练习 5 设随机变量X和Y相互独立 且都服从正态分布N 0 9 而X1 X2 X9和Y1 Y2 Y9分别是来自总体