考研信号与系统各大题型与解题诀窍.doc

信号与系统解题诀窍目 录一，信号的时域运算（十二种） ，信号的线性组合运算 0061，自变量（橫座标）上的迭加 0062，将信号分解成线性组合 0073，分解为直线及抽样时，注意斜率的变化 0084，线性运算及相应变换 008 ，卷积与相关运算 0151，直接法 016 1），能量信号且乘积是規则的几何图形 016 2），单边指数信号的卷积 017 3），任意信号同冲激信号的卷积 018 4），任意信号同阶跃信号的卷积019 5），数值序列的卷积 0192，间接法 009 1），Fourier Tansform 020 A，sinc 信号的卷积 021 B，简谐信号的卷积021 C，简谐信号与其它信号的卷积022 D，不存在LT、ZT的双边信号的卷积 023 2），Laplace Transform024 3)，Z-Transform0243，相关函数与卷积结果的区别 0244，循环巻积与循环相关 025 1)，连续信号（能量型）的循环巻积 025 2），能量型离散信号的循环巻积 027 3），能量型数值信号的循环巻积 028 4），用循环巻积计算线性卷积 029 5），要特别指出的问题030 A,能量型信号的卷积 030B,功率型信号的卷积031C,能量型信号与功率型信号的卷积031，信号的积分运算 0311，参量积分 0312，定积分（一次方） 0323，定积分（二次方） 323 A，能量信号033 B，周期信号035 C，非周期功率型信号036 ，信号与Dirac（）间的运算0361，积分运算 0372，微分运算 0373，比例运算 0374，卷积运算 0385，位置运算 0386，周期运算 038，信号的比例、反折、时移运算 0381，给定信号求其位移、反折、比例后的信号带符号的波形0382，给定经位移、反折、比例后的信号（带符号）求原信号的波形0393，由的波形求的波形 040 ，信号功率和能量的算 0401，能量的计算040 A，規则几何图形信号 040 B，一般情况 0402，功率的计算040 A，简谐信号功率的计算 040 B，单边Fourier Series信号功率算041 C，双边Fourier Series信号功率的计算041 D，由离散频谱计算信号功率 042 E，由连续频谱密度计算信号功率 042 ，周期信号参数等有关计算0421，周期信号及其特点1，单个连续周期信号参数的计算 0432，单个离散周期信号参数的计算0433，连续周期信号的FS；DS；FT； 0444，离散周期信号的FS；DS；FT； 0465，周期信号线性与非线性运算 046二，信号的频谱分析050，信号组成及频谱的种类050，信号频谱的计算 0511，直接计算法0512，分解计算法052 A，典型信号的频谱密度 052 B，频谱密度性质 053 C，分解方法（线性法、延拓加窗法） 0543，利用频谱密度性质时，必须注意的情况（A、B、C、D）0584，特殊信号（）的频谱密度0595，离散信号的频谱密度（A、B）, 061A,抽样法 061 B,变换法 0616，利用LT、DFT、ZT计算频谱密度062，频谱密度几个有用推论（1、2、3、4、5、6） 064，DFT的计算0671，直接计算 0672，利用ZT计算 0683，利用FT计算 068，Inverse Fourier Transform的计算0681，利用频谱密度的性质（对称）计算IFT0682，利用留数法（Residure）计算IFT070，离散频谱与Fourier Series（FS）的计算0721，基本关系式0722简谐信号的频谱（连续、离散）及功率074三，信号变换的计算075，Laplace Transform（LT） 075LT的计算（ROC； Zero-Poles; Proporties） ，Inverse Laplace Transform (ILT)的计算 077 A，有理分式077 B，分子中有延迟因子079 C，分母中有延迟因子079 D，对数函数080，ZTransform（ZT）的计算0701，几个重要概念 0812，ZTransform（ZT）的计算 081 A，直接法 081 B，利用性质计算 0833，Inverse ZTransform（IZT）的计算 083 1），有理分式 0832），分子中有延迟因子 0843），条件极点的另一（简便）处理方法 085 4），分母中有延迟因子 088 5），有限项情况 089 6），由收敛域ROC判定信号的性质 0904，能量型信号ROC问题细探 091 ，Hilbert Transform（HT） 0921，概念（定义，物理意义） 0922，HT的计算 092 A，简谐信号 092 B，窄带信号093 C，复解析信号093四，系统分析094，有关概念 0941，线性与非线性的判定 0942，时变与时不变的判定 0953，系统物理可实现性（因果性）的判定 0964，系统稳定性的判定 097，系统响应 0991，与迭加性有关的响应 0992，对简谐信号的响应 1013，对任意输入信号的响应 1024，给出输入输出求另一输入引起的响应 104，连续抽样系统 1071，由微分方程求差分方程 1072，由H（S）求H（Z） 107，混合系统分析 108，LTI系统的模拟 114五，信号中成份的提取114，信号（己调）幅度的提取 114 A，AM（振幅调制）信号中调制信号的提取 114 B，DSB（双边带抑制载波调制）信号中调制信号的提取115 C，SSB（单边带抑制载波调制）信号中调制信号的提取116，信号相位的提取119 A，调频信号（FM）中调制信号的提取 119 B，其它相位信号中信号相位的提取 120，振幅、相位同时提取 121，组合信号中信息的提取 122 信号与系统解题诀窍，信号的时域运算信号的时域运算是指在自变量域内（如时域）的变换，在信号与系统和信号处理中主要有十二种（线性运算；共轭运算；比例反折运算；对称运算；时移运算；频移运算；卷积及相关运算；乘积运算；微分运算；积分运算；重复运算；帕塞瓦尔运算另外还有及加权），它们在工程中有应用。在课程中放在各种变换（如Fourier变换，Laplace变换，Z变换）的性质中讲授。但在计算问题时的技巧，在教材中一般是不涉及的。下面列出一些主要技巧性的方法。 ，信号的线性组合运算信号的线性组合运算可表示为在解题时，有几种重要情况。 1，自变量（横坐标方向）上的迭加，例如在表达式中，矩形信号的宽度与重复间隔相等，迭加的结果就是相互连接了，形成七个矩形的宽度。用图形表示为tAf(t)类似的有及 注：rect表示矩形函数，u(t)表单位阶跃函数。 2，将信号分解成线性组合在信号变换计算时，将其分解成简单信号或已知其变换的线性组合，可大大的简化运算，但要特别注意分解要等效（不要改掉了项数）；以及组合以后信号的类型变化，在做变化时收敛域要发生变化。如下例这个结果是错误的，因为的组合信号波形为图A，不是的波形，而应为 如果对作LT，则有图Af(t)f1(t)f2(t)f3(t)， ， ， 按线性性质，这就是错误的，因为是由功率信号经线性组合而成为能量型信号，它的LT应为， 这里最重要的是收敛域扩大了又如信号这是错误的，因为与线性组合的波形为图A，不是给定的的波形。此处应当写成如果对作LT，按线性性质有， ， ， 图Af(t)f1(t)f2(t)f3(t) 按线性性质， ，这就错了，因为、三个因果信号线性组合以后，形成了能量型信号，其LT应为，特殊在于收敛域的扩大。3,分解为直线及抽样时，注意斜率的变化。 当将高度为A，底宽为2的等腰三角形波在持续期内抽样成2N点成离散信号的表达式，则为这里斜率是，而不是。4，线性运算及相应变换 Def：两个或两个以上的信号各乘以常数后求和得到一个新的信号，这种运算称为信号的线性运算（或线性组合）。 用数学公式可表示为 注意：新的信号可以是组合前之信号幅度迭加；也可是自变量（横座标）上的迭加。 用图形（波形）表示为（左圄为幅度迭加；右图为自变量（横座标）上的迭加（能量型信号可有限重复形成能量型信号，正时域无限重复形成半周期信号; 正负时域无限重复形成周期信号）。离散情况类似） A 0 t 0 t B 0 t 0 T tAB 0 t 0 t 幅度（纵座标函数值）迭加 自变量（横座标）迭加 TRansfom Varying：FSCoContinuous：首先，判定组合形成的新信号是否是周期信号？ 其次，若不是周期信号则新信号不存在FS； 新信号若是周期信号则有 其中是等的最大公约数； 或是等的最小公倍数FSCoDiscrete：首先，判定判定各离散信号是否是周期信号？ 并求出其离散信号的周期。 例：离散信号 即在的一个周期内有整数N=4个离散样点，故 是周期N=4的离散周期信号。 例：离散信号 离散周期信号的周期N必须是整数； 而在的一个周期内有N=4.8个离散样点，故只有在原五个周期（每个周期内有N=4.8个离散样点）共有24个离散样点，才形成周期M=24的离散周期信号。判定组合形成的新信号是否是周期信号？ 例：离散信号 离散周期信号的周期N必须是整数； 而在的一个周期内有N=个离散样点，是无理数，不存在一个整数（即原连续信号的整数个周期）乘成为整数。故不是离散周期信号（尽管cos是周期函数）。 其次，判定组合形成的新信号是否是周期信号？若不是周期信号则新信号不存在DFS； 新信号若是周期信号；并求出其离散信号的周期。则有 其中是等的最大公约数； 或是等的最小公倍数。FS：表示离散频谱（复数形式Fourier Series Coefferential ）。 表示离散频谱（复数形式Fourier Series Coefferential ）。FTContinuous Spectrum Density：幅度迭加情况： 例：前面左图（幅度迭加）所示信号 前面右图（时间迭加）所示信号 例： DFT：条件是组合前之信号的持续N点要相同;且只有幅度迭加。 Laplace Transform： Formula： ROC ： 一般取公共ROC;但注意非能量型信号线性运算后成能量型信号，此时ROC会扩大;同样能量型信号线性运算后成非能量型信号，其ROC会减小。下面举例说明。例： （公共ROC是，它比（-小得多）例： 但 （ROC比公共ROC 扩大了）因为如下图所示，由三个功率型信号经线性运算后成为能量型信号，而能量型信号之LT的ROC为的。 tu(t) f(t) 0 1 2 t -(t-1)u(t-1) 0 1 2 t (t-2)u(t-2) 0 1 2 t 0 1 2 t 例的图示例： 但由线性运算后成为正时域的功率型信号，而正时域的功率型信号之LT的ROC为（本题）ZTransform：Formula： ROC ： 一般取公共ROC;但注意非能量型信号线性运算后成能量型信号，此时ROC会扩大;同样能量型信号线性运算后成非能量型信号，其ROC会减小。下面举例说明。例： （公共ROC是，它比小得多）例： 但 （ROC比公共ROC 扩大了）因为如下图所示，由三个功率型信号经线性运算后成为正时域的能量型信号，而正时域的能量型信号之zT的ROC为的。例： 但由线性运算后成为正时域的功率型信号，而正时域的功率型信号之LT的ROC为（本题） （本题） nu(n) 1.0 f(n) 0 N 2N n -(n-N)u(n-N) 0 N 2N n (n-2N)u(n-2N) 0 N 2N n 0 N 2N n 例的图示，卷积（褶积）与相关运算卷积与相关在物理意义上有很大的区别，前者的线性卷积类是信号通过线性时不变系统的零状态响应；而后者是两个信号波形形状的相似程度的度量。但卷积和相关的计算除一个信号自变量倒转（相关）外，其他是完全一样的。这里先考虑线性卷积和线性相关的计算，至于循环卷积和循环相关的区别，在最后指出，对于连续信号情况，对于离散信号情况两个信号的相关函数则为计算卷积（含相关，下同）的技巧方法有两类。 1，直接法直接法计算卷积就直接按定义或图解求出卷积，由于卷积积分（或积和）比一般积分（或积和）都困难或者复杂，所以在解题时，只有以下几种情况应用（必用）直接法较为简便。1），相卷积的两个信号一是能量型信号，二是两波形的乘积是易于求面积的规则几何图形。 0 t1 t t t BAf1(t)f2(t)上图两个矩形信号均是能量型信号，其乘积也为矩形，其面积（积分）易于求得。用卷积的定义式或图解法可求得其卷积是一梯形波信号（当梯形上底宽为零时，则为三角形）。梯形的参数分别为上底宽 下底宽 高 （表示，中小的一个）中心位（本身带符号）对于两个离散矩形信号，则有 A0 n1+n2 nBN1+N2-1为梯形抽样信号与一个抽样矩形信号之和，其参数值为上底宽 下底宽 高 （Nmin表N1、N2中最小的） 中 心 2），两个单边指数的线性卷积因为指数信号积分很简易，所以可直接计算卷积。 （换下限，换上限） 上式合并可写成 ，（）当ab时，用罗比塔法则，求上式得对于离散指数信号，则类似的有， （换下限，换上限） 当ab时，仍用不定式确定法，可得3），任意信号与的卷积。其解析式比较简单，但在作图时要注意，是将信号的坐标原点（不是信号的起点、终点、中心点）移到函数的位置处（不管信号在坐标原点是否为零）。信号与信号的n阶微分 的卷积则可利用卷积的微分性质，即有对于离散信号则是类似的如4），任意信号与阶越信号的卷积如果的参量积分易于求得，则可用此方法，否则用后面的变换法。 对于离散信号有 5），两个有限长度数值序列的线性卷积有限长数值序列的线性卷积，较方便的方法是用乘法竖式法但必须将两个信号经位移处理成从n=0开始的因果数值序列。其处理方法是：当信号是不从n=0开始的因果信号，则在左边从n=0开始补零，如下图是从n=2开始的因果信号，则需在左边补两个0，占两个点位，写成矢量形式为0，0，8，15，12= ：当号在负时域时则需用的卷积表示，如右边B中的信号，需将n=-5的信号值移到坐标原点，的坐标原点则移到n=6的位置，得到=6，11，3而卷积=*变成=*（n+6）、均为从坐标原点开始的因果信号，下面乘法竖式计算出了卷积，它是F(n)=*。如图C所示；要求还得再同（n+6）卷积，即左移6位（坐标原点的信号值移到n=-6处）如图D所示。注意：在作乘法竖式计算时，值为零要占据位置，不能省略。 815 12 0 0f2(t)0 0611 3f1(n)0 045178261177 36（） 36261 177 178 450 036 F(n)f(n)图A图B图C图D用乘法竖式法表示如下 0 0 8 15 12 6 11 3 0 0 24 45 36 0 0 88 165 132 0 0 48 90 72 0 0 48 178 261 177 36 F（n）2，间接法（又称变换法）在求解卷积问题时，除以上五种情况外，均应用变换法求解。变换法有三种，即Fourier变换，Laplace变换和Z变换。无论是那种变换，都由三步完成，即对卷积的两个信号进行变换；两个变换相乘；求乘积的反变换。以上三步中，第二步两个变换的乘积很简单，无技巧可言。至于反变换放在后面信号的变换去讨论，这里讨论第一步，相卷积的两个信号的变换问题。这里首先要分清谱密度（含功率、能量谱密度）是线性卷积或相关；DFT则是循环卷积或相关；离散频谱则是周期卷积。其次两个信号的卷积与相关的计算虽都是卷积，但结果有区别，间接法就是用变换的卷积性质。1），Fourier变换(FT)Fourier变换是在引入冲激函数后，其适应范围比Laplace（连续信号）变换（LT）和Z变换（ZT）（离散信号）都大得多。原则上讲大多连续信号和离散信号以及一些不存在LT和ZT的信号，都课用FT。但是离散信号的FT是以（2）（T为离散间隔）为间隔或频域周期而周期重复的，在作第二步乘积运算时需辅以图标、相对要繁杂些，所有离散信号一般用ZT。对于连续信号可用FT或LT。由于LT在作反变换时，其自变量为复量，而FT是虚部jw，写时简洁性差些，所以常用LT。但有下列几种情况，用LT不仅繁而且很难，必须用FT。A,超越函数SinC的卷积 AB/bc A/b - B/c 根据卷积性质有 101 因为SinC的LT是难于求出的，所以此处不能用LT，而用FT就很简便。B,简谐信号的卷积简谐信号。不存在LT和ZT，它们的卷积，可用FT变换进行卷积运算还是比较方便的。例如 用频谱密度（线性）卷积性质，计算于下 这个结果是不正确的。因为简谐信号是周期信号，其卷积性质是离散频谱的关系。故应该是 周期信号的离散频谱卷积关系是 故有 则得 及相关函数为（注意相关函数的中心位置与卷积是不同的；以及周期相关函数与周期卷积定义中积分前系数，将导致重要的差别。）C,简谐信号与其它信号的卷积。D,不存在LT或ZT的双边信号，可试用Fourier变换求解卷积，和的卷积，因有 如果ab，则不存在LT，作卷积就不好办。但对离散信号 如果ab，则没有Z变换。这时可用FT求解。除以上情况外，对连续信号用LT，离散信号用ZT求解。具体反变换在下面的变换中讨论。 2），Laplace Transform 3),ZTransform3，相关函数结果与卷积的区别信号的相关函数在计算方法和信号卷积类似，如两个信号的线性卷积为而两个信号的相关函数，是先将一个信号时间倒转后，再求卷积，即有由上面的关系式可知，相关函数的计算虽然是化为卷积，但相关要先将一个信号时间倒转，故有 0 1 2 3 t0 1 2 3 4 5 6 t A -1 0 1 2 t图C图D卷积相关B而实信号的相关为可见对实信号来说，、的相位谱不同，前者是相加；后者是相减，所以两个实信号的卷积和相关函数之间，波形相同（对周期函数相关，幅度还有差）但位置不同。例如（注Tra是Trapegoid的字头，表梯形） 其中，+分别是梯形上底、下底和中心位置上面A、B两图波形信号的卷积如C图所示，其梯形中心是两个矩形中心之和；而相关是图D所示，其梯形中心是两矩形中心位置之差。4，循环卷积和循环相关循环卷积和循环相关是两个能量(也可是一个自身)信号的卷积或相关，它与线性卷积有着严格的区别，但也有内在的联系；它在象数学计（离散数值）算上，能够表示成矩阵形式，计算机语言编程就较方便。1），连续（能量型）信号的循环卷积两个连续信号的持续期相等（可以零值补充）的能量型信号，它们的循环卷积为，下标c表示循环卷积。 0 1 2 3 4 5 6 t 0 1 2 3 4 5 6 7 t 0 1 2 3 4 5 tf(t)f(t-2)线性位移f(t-2)循环位移循环位移图C这里除了积分区间与线性卷积不同外，而且位移t也不是线性位移而是循环位移，循环位移整个信号位置不变，只是信号内位置的变动，如下图C中信号经循环时移2后的波形，其信号波形在时间轴上的位置不变，但波形形状发生了变化。连续循环卷积（或循环相关函数，下同）的计算，是将两个信号的持续期延成相等，再延拓成周期信号，像前面计算周期卷积一样，计算出延拓后信号的周期卷积，再取0T的主周期值，则为循环卷积。例如下图两个信号的循环卷积 首先将两个信号延拓成以T=4的周期信号，则有 0 0 由离散频谱的巻积性质有 2），两个能量型离散信号卷积计算所给两个离散能量信号，n=0.1,N1和，n=0.1,m1，求其循环卷积，离散间隔相同。首先将两个信号中长度M或N（设M1),n=0.1,N1和信号=1，n=0.1,N1，求它们的循环卷积，按照三步法有由上可见，用DFT在求反变换，也不能简易得到结果。必要时也可用矩阵表示。如本例可先定义。 则有 信号是恒定幅度信号，周期延拓后成一整个时间范围内部都是恒定幅度；而又是一等比序列。与的任何位移在周期N内相乘都是有限长的等比序列，便于求和。所以本例采用直线法较为简便，结果也很简洁。3）， 两个数值序列的循环卷积数值序列的循环卷积可用矩阵计算。所给两个数值序列长度不一样时，首先要在较短序列后加“零”延长到两个序列长度相等并且位于同一时间区段内。数值卷积的计算是将卷积排列成矩阵相乘，其规则为 或排列方阵，其规则为 其循环卷积为如信号 须将延拓成 则有 或4），用循环卷积计算线性卷积。用循环卷积计算线性卷积，将相卷积的两个信号加“零”延拓成两信号长度之和减“1”。如上例下面分别列出矩阵法式和竖式乘法结果 5， 3， 2， 0， 0， 0 6， 5， 3， 2， 0， 0 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 10， 6， 4， 0， 0， 0， 15， 9， 6， 0， 0， 0， 25， 15， 10， 0， 0， 0， 30， 18， 12， 0， 0， 0， 30， 43， 42 29， 12 4， 0， 0， 0， 0， 0由上可见，两种计算方法所得结果完全相同。 5），要特别指出的问题在结束卷积与相关运算时，要特别指出的是：第一，卷积分线性卷积与周期卷积和循环卷积三种，彼此是有区别的。表现在作卷积或相关的信号类型、积分或求和的区间；位移的类型；结果的区别这四个方面；第二，循环卷积与线性卷积有一定的联系，在计算机上能较方面的用循环卷积计算现性卷积；第三，卷积或相关与谱的关系是：1.线性卷积是频谱密度的关系。2.周期卷积是离散频谱的关系。3.相关函数或是能量或功率谱密度的关系。4.周期信号的功率谱密度（离散频谱）5.周期信号的周期相关函数与周期卷积，其幅度相差一个系数T。因为周期相关函数是定义为第四，关于一些特殊的卷积A，能量型信号的卷积1.持续期有限的能量型信号卷积1），持续期，持续期，结果的持续期为2），持续期N, 持续期M，则持续期2.持续期无限的能量型信号的卷积及 等.故其中是难于求解的。B，功率型信号的卷积1.无限持续期功率型信号的卷积1）sgn(t)*sgn(t)2）sgn(n)*sgn(n)3）c*c4）周期卷积2半轴功率型信号的卷积1）u(t)* u(t)=t u(t), u(n)* u(n)= (n+1)u(n)2）u(t)* u(-t)=t u(-t) u(-n)* u(-n)= (-n+1)u(-n)3）u(t)* u(-t)= u(m)* u(-n)=C,功率型信号与能量型信号的卷积条件：功率型信慢变化，能量型信号持续期很短，即有， 而周期卷积则定义为 由此可见，相关函数不仅要将一个信号时间倒转后再求卷积，而且幅度相差一个系数T（周期）。,信号的积分运算有些信号的积分比较繁杂，可以用信号分析中有关方法大大简化积分计算。常见的积分有两类；一类是参量积分；另一类是定积分。1,参量积分，参量积分结果是积分限的函数，计算时将其化为卷积运算求解，即有例如已知的频谱密度为，求的频谱密度。设t=，则有=；当=0时，积分下限变成=，当,积分上限变成，代入上式则得（上，下限交换反号与中负号相乘）故得 注：此形式是（0，）区间上的定积分，但被积函数中有与积分无关的参量，所以是参量积分，将其化为标准参量积分求解。2,持