应用微分方程与差分方程建立数学模型.ppt

第一部分应用微分方程建立数学模型 第一节基础知识 一 基本概念 微分方程 阶 解 通解 特解 积分曲线 初值问题二 方程的类型及其解法五类一阶方程及其解法 简单的可降阶的高阶方程 简单的微分方程组 三 微分方程稳定性理论简介 1 一阶方程的平衡点和稳定性 1 定义1 设有微分方程 显然它是方程 1 的解 或称奇解 定义2 如果从所有可能的初始条件出发 方程 1 的解都满足 2 判断平衡点是否稳定的两种常用方法 间接法 利用定义2 即利用 3 式 直接法 不求方程 1 的解 将在点处作泰勒展开 只取一次项 方程 1 近似为 4 称为 1 的近似线性方程 显然 也为 方程 4 的平衡点 则关于平衡点是否稳定有如下结论 若 则平衡点对于方程 4 和 1 都是稳定的 若 则平衡点对于方程 4 和 1 都是不稳定的 2 二阶方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示 5 定义3 代数方程组 的实数根 称它为 5 的一个平衡点 或奇点 记为 定义4 如果从所有可能的初始条件出发 方程 5 的解 都满足 6 则称平衡点是稳定的 或渐近稳定 否则 称是不稳定的 或不渐近稳定 为了用直接法讨论方程 5 的平衡点的稳定性 先看线性常系数方程组的一般形式为 7 显然为系统的奇点 记系统系数矩阵 特征方程为为了书写方便 令 于是特征方程可写为特征根为 下面就分别特征根为相异实根 重根及复根三种情况加以研究 1 二根同正 二根同负 是不稳定结点 二根异号 是鞍点 是稳定结点 2 负的重根 是不稳定的临界结点 正的重根 是不稳定的退化结点 是稳定的临界结点 是稳定的退化结点 3 复数根的实部不为零 是不稳定焦点 是稳定焦点 复数根的实部为零 是中心 这些结果可以全都反映在下列参数平面上 从而 根据特征方程的系数 的正负很容易判断平衡点的稳定性 准则如下 若 则平衡点稳定 或 则平衡点不稳定 若 对于一般的非线性方程 5 可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性 设是方程 5 的奇点 总可以用坐标平移 使对应新坐标的原点 在点作泰勒级数展开得 8 其中 将右端高次项略去 得一次近似 9 在一般情况下用下面的定理 定理1 对于非线性系统 5 若有 即我们讨论的奇点是初等奇点 也就是线性系统的系统矩阵的特征值非零 且为系统 7 的结点 不包括退化结点及临界结点 鞍点或焦点 又在的邻域连续可微 且满足 则非线性系统 5 的奇点类型与其近似线性系统 7 的奇点类型完全相同 第二节微分方程模型 应用微分方程建立数学模型通常要运用如下两种方法 1 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配 注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题 就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样 2 微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时 经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况 这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单 而且容易使用微分学的手段进行处理 这类模型基本上是以微分方程的形式给出的 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子 一 人口预测模型由于资源的有限性 当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长 为了得到人口预测模型 必须首先搞清影响人口增长的因素 而影响人口增长的因素很多 如人口的自然出生率 人口的自然死亡率 人口的迁移 自然灾害 战争等诸多因素 如果一开始就把所有因素都考虑进去 则无从下手 因此 先把问题简化 建立比较粗糙的模型 再逐步修改 得到较完善的模型 例1 马尔萨斯 Malthus 人口模型或称指数增长模型 英国人口统计学家马尔萨斯 1766 1834 在担任牧师期间 查看了教堂100多年人口出生统计资料 发现人口出生率是一个常数 于1789年在 人口原理 一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型 他的基本假设是 在人口自然增长过程中 净相对增长 出生率与死亡率之差 是常数 即单位时间内人口的增长量与人口成正比 比例系数设为 在此假设下 推导并求解人口随时间变化的数学模型 解设时刻的人口为 把当作连续 可微函数处理 因人口总数很大 可近似地这样处理 此乃离散变量连续化处理 据马尔萨斯的假设 在到时间段内 人口的增长量为 并设 时刻的人口为 于是 这就是马尔萨斯人口模型 用分离变量法易求出其解为 此式表明人口以指数规律随时间无限增长 模型检验 据估计1961年地球上的人口总数为 而在以后7年中 人口总数以每年2 的速度增长 这样 于是 这个公式非常准确地反映了在1700 1961年间世界人口总数 因为 这期间地球上的人口大约每35年翻一番 而上式断定34 6年增加一倍 请读者证明这一点 但是 后来人们以美国人口为例 用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较 却发现有很大的差异 尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时 发现更令人不可思议的问题 如按此模型计算 到2670年 地球上将有36000亿人口 如果地球表面全是陆地 事实上 地球表面还有80 被水覆盖 我们也只得互相踩着肩膀站成两层了 这是非常荒谬的 因此 这一模型应该修改 例2 Logistic模型或称阻滞增长模型 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢 这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人生活 随着人口的增加 自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著 如果当人口较少时 人口的自然增长率可以看作常数的话 那么当人口增加到一定数量以后 这个增长率就要随人口的增加而减小 因此 应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改 1838年 荷兰生物数学家韦尔侯斯特 Verhulst 引入常数 最大人口容量 用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数 一般说来 一个国家工业化程度越高 它的生活空间就越大 食物就越多 从而就越大 并假设将增长率等于 即净增长率随着的增加而减小 当时 净增长率趋于零 按此假定建立人口预测模型 解由韦尔侯斯特假定 马尔萨斯模型应改为上式就是Logistic模型 该方程可分离变量 其解为下面 我们对模型作一简要分析 1 当 即无论人口的初值如何 人口总数趋向于极限值 2 当时 这说明是时间的单调递增函数 3 由于 所以当时 单增 当时 单减 即人口增长率由增变减 在处最大 也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期 过这一点后 生长的速率逐渐变小 并且迟早会达到零 这是减速生长期 4 用该模型检验美国从1790年到1950年的人口 发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合 自从1930年以后 误差愈来愈大 一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口 由此可见该模型的缺点之一是不易确定 事实上 随着一个国家经济的腾飞 它所拥有的食物就越丰富 的值也就越大 5 用Logistic模型来预测世界未来人口总数 某生物学家估计 又当人口总数为时 人口每年以2 的速率增长 由Logistic模型得 即 值得说明的是 人也是一种生物 因此 上面关于人口模型的讨论 原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物 如森林中的树木 池塘中的鱼等 Logistic模型有着广泛的应用 从而得 即世界人口总数极限值近100亿 二 市场价格模型 对于纯粹的市场经济来说 商品市场价格取决于市场供需之间的关系 市场价格能促使商品的供给与需求相等 这样的价格称为 静态 均衡价格 也就是说 如果不考虑商品价格形成的动态过程 那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡 但是 实际的市场价格不会恰好等于均衡价格 而且价格也不会是静态的 应是随时间不断变化的动态过程 例3试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型解假设在某一时刻 商品的价格为 它与该商品的均衡价格间有差别 此时 存在供需差 此供需差促使价格变动 对新的价格 又有新的供需差 如此不断调节 就构成市场价格形成的动态过程 假设价格的变化率与需求和供给之差成正比 并记为需求函数 为供给函数 为参数 于是 其中为商品在时刻的价格 为正常数 若设 则上式变为 其中均为正常数 其解为 下面对所得结果进行讨论 1 设为静态均衡价格 则其应满足 即 于是得 从而价格函数可写为 令 取极限得 这说明 市场价格逐步趋于均衡价格 又若初始价格 则动态价格就维持在均衡价格 整个动态过程就化为静态过程 上 2 由于 所以 当 时 单调下降向 当 时 单调增加向 靠拢 靠拢 这说明 初始价格高于均衡价格时 动态价格就要逐步降低 且逐步靠近均衡价格 否则 动态价格就要逐步升高 因此 式 在一定程度上反映了价格影响需求与供给 而需求与供给反过来又影响价格的动态过程 并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋势 三 混合溶液的数学模型 例4设一容器内原有100L盐 内含有盐10kg 现以3L min的速度注入质量浓度为0 01kg L的淡盐水 同时以2L min的速度抽出混合均匀的盐水 求容器内盐量变化的数学模型 解设时刻容器内的盐量为kg 考虑到时间内容器中盐的变化情况 在时间内容器中盐的改变量 注入的盐水中所含盐量 抽出的盐水中所含盐量容器内盐的改变量为 注入的盐水中所含盐量为 时刻容器内溶液的质量浓度为 假设到时间内容器内溶液的质量浓度不变 事实上 容器内的溶液质量浓度时刻在变 由于时间很短 可以这样看 于是抽出的盐水中所含盐量为 即 又因为 时 容器内有盐10kg 于是得该问题的 数学模型为 这是一阶非齐次线性方程的初值问题 其解为 下面对该问题进行一下简单的讨论 由上式不难发现 时刻容器内溶液的质量浓度为 且当 时 容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度 即长时间地进行上述稀释过程 溶液混合问题的更一般的提法是 设有一容器装有某种质量浓度的溶液 以流量注入质量浓度为的溶液 指同一种类溶液 只是质量浓度不同 假定溶液立即被搅匀 并以的流量流出这种混合溶液 试建立容器中质量浓度与时间的数学模型 首先设容器中溶质的质量为 原来的初始质量为 0时溶液的体积为 在d 其中 是流入溶液的质量浓度 为 中溶液的质量浓度 于是 有混合溶液的数学模型 该模型不仅适用于液体的混合 而且还适用于讨论气体的混合 改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量 即 时刻容器 时间内 容器内溶质的 传染病模型 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 探索制止传染病蔓延的手段等 一直是关注的课题 不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点 从一般的传播机理分析建立各种模型 如简单模型 I模型 SI模型 SIS模型 SIR模型等 SIS传染病模型SIS传染病模型是指易感者 Susceptible 被传染后变为染病者 Infective 染病者可以被治愈 但不会产生免疫力 所以仍为易感者 人员流动图为 S I S 已感染人数 病人 i t 每个病人每天有效接触 足以使人致病 人数为 模型1 假设 若有效接触的是病人 则不能使病人数增加 建模 模型2 区分已感染者 病人 和未感染者 健康人 假设 1 总人数N不变 病人和健康人的比例分别为 2 每个病人每天有效接触人数为 且使接触的健康人致病 建模 日接触率 SI模型 模型2 tm 传染病高潮到来时刻 日接触率 tm 病人可以治愈 t tm di dt最大 模型3 传染病无免疫性 病人治愈成为健康人 健康人可再次被感染 增加假设 SIS模型 3 病人每天治愈的比例为 日治愈率 建模 日接触率 1 感染期 一个感染期内每个病人的有效接触人数 称为接触数 模型3 接触数 1 阈值 感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数 模型2 SI模型 如何看作模型3 SIS模型 的特例 模型4 传染病有免疫性 病人治愈后即移出感染系统 称移出者 SIR模型 假设 1 总人数N不变 病人 健康人和移出者的比例分别为 2 病人的日接触率 日治愈率 接触数 建模 需建立的两个方程 模型4 SIR模型 模型4 SIR模型 相轨线的定义域 在D内作相轨线的图形 进行分析 模型4 SIR模型 相轨线及其分析 s t 单调减 相轨线的方向 P1 s0 1 i t 先升后降至0 P2 s0 1 i t 单调降至0 1 阈值 模型4 SIR模型 预防传染病蔓延的手段 日接触率 卫生水平 日治愈率 医疗水平 传染病不蔓延的条件 s0 1 的估计 降低s0 提高r0 提高阈值1 模型4 SIR模型 被传染人数的估计 记被传染人数比例 小 s0 1 提高阈值1 降低被传染人数比例x s0 1 模型5 传染病有潜伏期 SEIR模型 假设 1 总人数N不变 病人 健康人 潜伏者和移出者的比例分别为 2 病人的日接触率 日治愈率 接触数 建模 建立方程 3 单位时间内潜伏者以比例常数转为染病者 模型5 SEIR模型 参考文献1 数学模型姜启源 第二版 P110 221高等教育出版社2 数学建模沈继红等P38 81哈尔滨工程大学出版社3 数学模型引论唐焕文 贺明峰 第二版 P208 239高等教育出版社4 常微分方程及其应用 方法 理论 建模 计算机周义仓靳祯秦军林科学出版社5 常微分方程王高雄等高等教育出版社 第二部分应用差分方程建立数学模型引言 1 差分方程 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律 通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系 从而建立差分方程 差分方程就是针对要解决的目标 引入系统或过程中的离散变量 根据实际背景的规律 性质 平衡关系 建立离散变量所满足的平衡关系等式 从而建立差分方程 通过求出和分析方程的解 或者分析得到方程解的特别性质 平衡性 稳定性 渐近性 振动性 周期性等 从而把握这个离散变量的变化过程的规律 进一步再结合其他分析 得到原问题的解 2 应用 差分方程模型有着广泛的应用 实际上 连续变量可以用离散变量来近似和逼近 从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型 差分方程模型有着非常广泛的实际背景 在经济金融保险领域 生物种群的数量结构规律分析 疾病和病虫害的控制与防治 遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用 可以这样讲 只要牵涉到关于变量的规律 性质 就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解 3 差分方程建模 在实际建立差分方程模型时 往往要将变化过程进行划分 划分成若干时段 根据要解决问题的目标 对每个时段引入相应的变量或向量 然后通过适当假设 根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系 建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系 即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等 等式 可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系 从而建立起差分方程 或者对事物系统进行划分 划分成若干子系统 在每个子系统中引入恰当的变量或向量 然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式 从而建立起差分方程 在这里 过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的 应当结合已有的信息和分析条件 从多种可选方式中挑选易于分析 针对性强的划分 同时 对划分后的时段或子过程 引入哪些变量或向量都是至关重要的 要仔细分析 选择 尽量扩大对过程或系统的数量感知范围 包括对已有的 已知的若干量进行结合运算 取最运算等处理方式 目的是建立起简洁 深刻 易于求解分析的差分方程 在后面我们所举的实际例子中 这方面的内容应当重点体会 差分方程模型作为一种重要的数学模型 对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则 同时注意与其它数学模型方法结合起来使用 因为一方面建立差分方程模型所用的数量 等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行 另一方面 由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析 满意度分析 分类分析 相关分析等等 第一节差分方程的基本知识 一 基本概念1 差分 设数列 定义差分算子 为 在 处的向前差分 而 为 在 以后我们都是指向前差分 可见 是 的函数 处的向后差分 从而可以进一步定义 的差分 称之为在 处的二阶差分 它反映的是的增量的增量 类似可定义在 处的 阶差分为 2 差分算子 不变算子 平移算子 称 为平移算子 为不变算子 由上述关系可得 这表明 在 处的 阶差分由 在 所线性决定 记 则有 1 处的取值 反之 由 得 得 这个关系表明 第n 2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算 即一个数列的任意一项都可以用其前面的k项和包括这项在内的k 1项增量的增量的增量 第k层增量所构成 得 可以看出 可以由 的线性组合表示出来 2 3 差分方程 以及它的差分所构成的方程 称之为k阶差分方程 由 1 式可知 3 式可化为 故 4 也称为k阶差分方程 反映的是未知数列 前面k项之间的关系 由 1 和 2 可知 3 和 4 是等价的 我们经常用的差分方程的形式是 4 式 由 3 4 任意一项与其前 4 差分方程的解与有关概念 使 阶差分方程 4 对所有的 成立 则称 为方程 4 的解 为常数 是 4 的解 即 则称 为 4 的平衡解或叫平衡点 平衡解可能不只一个 是 4 的解 考虑 的变化性态 则方程 4 两边取极限 就存在在这里面 应当有 1 如果 2 如果 平衡解的基本意义是 设 其中之一是极限状况 如果 3 如果 4 的解 使得 既不是最终正的 为关于平衡点 是振动解 则方程 4 会变成 5 成为 5 的平衡点 也不是最终负的 则称 4 如果令 则 5 如果 5 的所有解是关于 振动的 则称 5 是振动方程 如果 5 的所有解是关于 非振动的 阶差分方程 5 是非振动方程 使得对任意大的 有 则称 为正则解 即不会从某项后全为零 使得 则称 为稳定解 阶差分方程 则称 6 如果 5 有解 7 如果方程 4 的解 5 差分算子的若干性质 2 3 4 5 1 6 Z变换定义 对于数列 定义复数级数 这是关于 洛朗级数 它的收敛域是 其中 可以为 可以为0 称 为 的 变换 从而有逆变换 记为 7 6 由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知 变换是一一对应的 变换是研究数列的有效工具 变换的若干重要性质 2 平移性质 1 线性性 变换举例 1 则 2 则 3 设 则 4 设 则 第二节差分方程常用解法与性质分析 1 常系数线性差分方程的解 其中 为常数 称方程 8 为常系数线性方程 为方程 8 对应的齐次方程 方程 8 又称方程 9 如果 9 有形如 的解 代入方程中可得 称方程 10 为方程 8 9 的特征方程 显然 如果能求出 10 的根 则可以得到 9 的解 10 基本结果如下 1 若 10 有k个不同的实根 则 9 有通解 2 若 10 有m重根 则通解中有构成项 3 若 10 有一对单复根 令 则 9 的通解中有构成项 4 若有m重复根 则 9 的通项中有构成项 综上所述 由于方程 10 恰有k个根 从而构成方程 9 的通解中必有k个独立的任意常数 通解可记为 如果能得到方程 8 的一个特解 则 8 必有通解 8 的特解可通过待定系数法来确定 为n的多项式 形式的特解 为m次多项式 如果b是r重根时 可设特解 将其代入 8 中确定出系数即可 11 例如 如果 则当b不是特征根时 可设成形如 其中 2 差分方程的z变换解法 取Z变换 利用 的Z变换F z 的Z变换 然后通过解代数方程求出F z 对差分方程两边关于 来表示出 并把F z 在z 0的解析圆环域中展开成洛朗级数 其系数就是所要求的 例1 设差分方程 求 解法1 特征方程为 有根 故 为方程的解 由条件 得 解法2 设F z Z 方程两边取变换可得 由条件 得 由F z 在 中解析 有 所以 3 二阶线性差分方程组设 形成向量方程组 则 13 即为 12 的解 12 13 为了具体求出解 13 需要求出 这可以用高等代数的方法计算 常用的方法有 1 如果A为正规矩阵 则A必可相似于对角矩阵 对角线上的元素就是A的特征值 相似变换矩阵由A的特征向量构成 2 将A分解成 为列向量 则有 从而 4 关于差分方程稳定性的几个结果 1 k阶常系数线性差分方程 8 的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程 10 所有的特征根 满足 2 一阶非线性差分方程 14 的平衡点 由方程 决定 14 将 在点 处展开为泰勒形式 故有 时 14 的解 是稳定的 时 方程 14 的平衡点 是不稳定的 15 第三节差分方程建模举例 差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的 也需要经历背景分析 确定目标 预想结果 引入必要的数值表示 变量 常量 函数 积分 导数 差分 取最等 概念和记号 几何形式 事物形状 过程轨迹 坐标系统等 也就是说要把事物的性态 结构 过程 成分等用数学概念 原理 方法来表现 分析 求解 当然 由于差分方程的特殊性 首先应当把系统或过程进行特别分解 形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式 或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量 然后通过内在的机理分析 找出变量所能满足的平衡关系 增量或减量关系及规律 从而得到差分方程 另外 有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系 这实际上建立的是离散向量方程 它有着非常重要的意义 有时还需要找出决定变量的初始条件 有时还需要将问题适当分成几个子部分 分别求解 一 种群生态学中的虫口模型 在种群生态学中 考虑像蚕 蝉这种类型的昆虫数目的变化 它的变化规律是 每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡 第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子 建立数学模型来表现虫子数目的变化规律 模型假设与模型建立 假设第n年的虫口数目为 成虫平均产卵c个 这个假设有点粗糙 应当考虑更具体的产卵分布状况 则有 如果进一步分析 由于成虫之间会有争斗以及传染病 天敌等的威胁 第n 1年的成虫数会减少 如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗 由于虫子配对数为 故减少数应当与它成正比 从而有 每年一个 这是一种简单模型 如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系 这个模型在此基础上仍可进一步改进 更加符合实际情形 这种关系一方面可以通过机理分析 确定减少量与影响因素的定量关系 另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度 或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关系 周期关系 增量关系等等 这个模型可化成 这是一阶非线性差分方程 这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法 即 14 式来获得 二 具周期性的运动过程的差分方程模型建立差分方程描述振动台上的乒乓球垂直运动的方程 即把运动过程中的某些离散变化取值的变量的变化规律表现出来 假设 乒乓球与振动台之间的振动恢复系数为 振动台台面的上下位移是 在离台面垂直距离为H处为自由落体运动 又假设 为第j次碰撞时刻 第j次碰撞前的速度为 碰撞后的速度为 乒乓球初始时刻 假设 振动台台面的运动速度为 又记 则有 3 1 另外 由碰撞规律分析可知 该式经简化处理后可得 由 3 1 和 3 2 式联立可得二阶差分非线性方程组 3 2 三 蛛网模型 1 经济背景与问题 在自由市场经济中 有些商品的生产 销售呈现明显的周期性 农业产品往往如此 在工业生产中 许多商品的生产销售是有周期性的 表现在 商品的投资 销售价格 产量 销售量在一定时期内是稳定的 因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式 在这些因素中 我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标 它们是整个经营过程中的核心因素 要想搞好经营 取得良好的经济效益 就必须把握好这两个因素的规律 作好计划 试分析市场经济中经营者根据市场经济的规律 如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的 2 模型假设与模型建立将市场演变模式划分为若干段 用自然数n来表示 设第n个时段商品的数量为 价格为 由于价格与产量紧密相关 因此可以用一个确定的关系来表现 即设有 这就是需求函数 f是单调减少的对应关系 n 1 2 3 3 又假设下一期的产量 是决策者根据这期的价格决定的 h是单调增加的对应关系 g也是单调增加的对应关系 因此可以建立差分方程 3 5 这就是两个差分方程 属一阶非线性差分方程 即 设 从而 有关系 3 4 3 6 3 模型的几何表现与分析 和 借助已有的函数f和g 通过对应关系的几何表现把点列 和 在坐标系中描绘出来 进而分析它们的变化规律 趋势 找稳定点等等 其中 为了表现出两个变量 的变化过程 我们可以 点列 连接起来 就会形成象蛛网一样的折线 这个图形被称作为蛛网模型 可以设想 这种形式可作为差分方程分析与求解的重要手段 它的主要数学技术是 图形的描绘 曲线上点列的描绘 设法由前一个点的一个坐标分量来算出下一个点的一个坐标分量 并确认它在哪条曲线上 就可以画出这个点 有时或者可由前两个点决定下一个点的一个坐标分量 也就是通过直观 几何形式 把我们关心的变量的所有可能取值表示出来 这里采用的方法是 引入两条曲线 因为在曲线上如果知道了一个分量 就可以作出另一个分量 可见几何形式表示有关系的变量是既方便又有意义的 易见 如果点列 最后收敛于点 则 并且 就是两条曲线的交点 从而稳定的 这也表明 市场 在长期运行之后会保持一种稳定的状态 说明市场处于饱和状态 要想进一步发展就必须打破这种平衡 在决策机制和方法上有所改进 几何上的进一步分析表明 如果曲线 和 在交点 处切线的斜率的绝对值记为 则当 时 是稳定的 时 是不稳定的 当 以一种简单的情形为例来说明 先做如下假设 商品的本期产量决定于前一期的价格 即供给函数为 商品本期的需求量决定于 本期的价格 及需求函数为 则蛛网模型可以用以下三式联立来表示 1 2 3 其中 均为大于零的常数 将 1 的 2 代入 3 得 由此可得第t期的产品价格为 4 5 又因为在市场均衡是 均衡价格 则由 4 可得 将 6 代入 4 得 均衡价格为 6 7 分三种情况讨论 7 1 若则 此为收敛型蛛网 2 若则 此为发散型蛛网 3 若则为常数 此为封闭型蛛网 4 模型的差分方程分析 满足 在 点附近取函数 的一阶近似 合并两式可得 设点 这是关于 作为数学模型 本来就是客观实际问题的近似模拟 现在为了处理方便 适当取用其近似形式是合理的 为f在 点处的切线斜率 为g x 在 点处切线的斜率 的一阶线性差分方程 当然它是原来方程的近似模型 其中 方程 3 9 递推可得 所以 点稳定的充要条件是 即 这个结论与蛛网模型的分析结果是一致的 5 模型推广如果决策时考虑到 与 都有关系 这时数学模型为 则可假设 对此模型仍用线性近似关系可得 首先求出平衡点 即解方程 则有 再结合 3 7 可得 即 特征方程为 特征根为 所以 时 此时解不稳定 时 时 从而解是稳定的 则 这个条件比原来的模型解的稳定性条件放宽了 说明决策水平提高了 进一步来看 对这个模型还可以进行进一步的分析 考虑下一年的产量时 还可以近三年的价格来决定 另外还可以考虑引入投资额 并建立有关的离散方程关系 例如 设 四 人口的控制与预测模型背景分析 人口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来表现和模拟 但在实际应用中不是很方便 需要建立离散化的模型 以便于分析 应用 人口数量的变化取决于诸多因素 比如 女性生育率 死亡率 性别比 人口基数等 试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律 模型假设 以年为时间单位记录人口数量 年龄取周岁 1 设这个地区最大年龄为m岁2 第t年为i岁的人数为 这个数量指标是整个问题分析 表现的目标和载体 我们的目的就是找出这些变量的变化规律 内在的普遍联系 3 设第t年为i岁的人口平均死亡率为 i岁人口中死亡数与基数之比 即 4 设第t年i岁女性的生育率 即每位女性平均生育婴儿数为 为生育区间 占全部i岁人口数 由此可知 第t年出生的人数为 即这一年中 为第t年i岁人口的女性比 5 记第t年婴儿的死亡率为 则 6 设 它表示i岁女性总生育率 则 如果假设 年后女性出生率保持不变 则 可见 表示每位妇女一生中平均生育的婴儿数 称之为总和生育率 它反映了人口变化的基本因素 模型建立 根据上面的假设 为了全面系统地反映一个时期内人口数量的状况 令 则此向量 满足方程 即 这是一阶差分方程 其中 是可控变量 是状态变量 和 都是线性的 故称其为双线性方程 并且关于 模型分析 在稳定的社会环境下 死亡率 生育模式 女性比例 婴儿存活率是可以假设为不变的 故 为常数矩阵 从而 只要总生育率 则人口的变化规律就可以确定下来 确定下来 为了更全面地反映人口的有关信息 下面再引入一些重要的指标 B 人口平均年龄 C 平均寿命 这里假定从第t年分析 如果以后每年的死亡率是不变的 即 则 表示t年出生的人活到第j 1年期间的死亡率 这也表明其寿命为j岁 j 1 2 m 而 表示寿命 A 人口总数 通过求出 的3个指标进行更具体的分析 从而对人口的分布状况 变化趋势 总体特征等有科学的认识和把握 具体求解分析这里不再进行 的变化规律 就可以对上面引入 五 线性时间离散弥漫网络模型引言 一个国家在一定时间段内的财富依赖于许多因素 不同国家的相互交流是重要的方面 建立数学模型 表现国家财富的变化与国家间财富的流动之间的关系 模型假设 设有n个国家 用 表示在时期 考虑这些国家之间仅仅两两国家之间有交流关系 并且假设财富流动的系数是 模型的建立 国家间的财富关系应当满足 的财富 假设只 用矩阵形式表示 令 表示时期t各个国家的财富状态 令 则有 记 则 模型计算与分析 计算可知 的特征值为 的特征值为 对应的特征向量为 其中 为讨论方便起见 引入如下记号 则有 n为偶数时 n为奇数时 记 为由 张成的子空间 则 由此式进一步分析可以获得 当 时 的渐进变化状态规律 略 六 金融问题的差分方程模型 一 贷款问题设现有一笔p万元的商业贷款 如果贷款期是n年 年利率是 建立数学模型计算每月的还款数是多少 今采用月还款 的方式逐月偿还 模型分析 在整个