随机变量的数字特征第1节概率论.ppt

2020 3 25 1 2020 3 25 2 2020 3 25 3 2020 3 25 4 随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写 1 随机变量的平均取值 数学期望 2 随机变量的取值平均偏离平均值的情况 方差 3 描述随机变量之间的相关关系 协方差和相关系数 2020 3 25 5 一 数学期望的定义二 数学期望的性质 基本内容 第一节数学期望 第三章 随机变量的数字特征 2020 3 25 6 抽象出 3 1数学期望 一 离散型随机变量的数学期望 1 概念的引入 例1甲班有30名学生 他们的数学考试成绩 按五级记分 如右表所示 则平均成绩 平均值 以频率为权的加权平均 以频率为权的加权平均 频率和概率的关系 改以概率为权的加权平均 数学期望 试验次数很大时 频率会接近于概率pk 2020 3 25 7 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和 红球数的数学期望 例1从装有6个红球与4个白球的袋中任意取出3个球 求其中 解设X为红球数 则X的分布列为 它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均 超几何分布 2020 3 25 8 2020 3 25 9 0 1分布 几种常见分布的数学期望 二项分布 2020 3 25 10 Poisson分布 2020 3 25 11 定义2设X是连续型随机变量 其密度函数为f x 若收敛 则称为X的数学期望 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分 简称期望或均值 2020 3 25 12 例设随机变量X密度为 试证E X 不存在 解 柯西分布 E X 不存在 不绝对收敛 2020 3 25 13 均匀分布 指数分布 2020 3 25 14 如果收敛 三 随机变量函数的数学期望 定理设随机变量Y是随机变量X的连续函数Y g X 1 设X为离散型随机变量 其分布列为P X Xi pi i 1 2 2 设X是连续型随机变量 其密度函数为f x 如果收敛 则 则 2020 3 25 15 0 1 0 2 0 4 0 3 例设随机变量X的分布列为 求E 2X 1 E X2 解E 2X 1 1 4 解 2020 3 25 16 四 数学期望的性质 证 证 推广 2020 3 25 17 证 仅就连续随机变量情形 2020 3 25 18 五 期望及其性质的应用 2020 3 25 19 例 P74 设随机变量X服从超几何分布H n M N 求EX 五 期望及其性质的应用 解 设Xi表示第i次取出的样品数中的次品数 则Xi服从如下的 0 1 分布 且Xi的分布列为 这种将X分解为有限多个随机变量之和 再利用期望性质求得X的期望的方法是较常见的基本方法 取出的n件样品中的次品数 2020 3 25 20 设每次命中率为p 例对某一目标连续射击 直到命中n次为止 五 期望及其性质的应用 求消耗子弹数X的数学期望 解 设Xi表示从第i 1次命中后至第i次命中时所消耗的子弹数 则X X1 X2 Xn 且Xi的分布列为P Xi k 1 p k 1p 2020 3 25 21 而商场每销售一单位商品可获利500元 若供大于求 则削价处理 每单位商品亏损100元 例某种商品每周的需求量X U 10 30 若供不应求 则可从外部调剂供应 此时每单位商品可获利300元 要使商场获得最大的收益 问应进货多少 解设应进货量为a 10至30间的某数 利润为Y 则 连续 故当a 23 33时 EY最大 供不应求 供大于求 202