直线与平面垂直的判定.ppt

2 3直线 平面垂直的判定及其性质 2 3 1直线与平面垂直的判定 1 下面四个命题 其中真命题的个数是 B 垂直于同一直线的两条直线平行 垂直于同一直线的两个平面平行 平行于同一平面的两个平面平行 平行于同一直线的两条直线平行 B 3个D 1个 A 2个C 4个 解析 正确 2 下列命题 a b表示直线 表示平面 中的真命题是 A 3 下列命题中 假命题是 D A 过一点有一个平面与已知直线垂直B 过一点至多只有一个平面与已知直线垂直C 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直D 过一点可能有两个平面与已知直线垂直 4 直线l和平面 内无数条直线垂直 则 D A l和 相互平行B l和 相互垂直C l在 内D 不确定 解析 直线l和平面 内无数条直线垂直 可能是l l 或l和 相交 也可能垂直 即l和 的位置关系不确定 重点 线面垂直的判定 1 判定直线和平面是否垂直 通常有三种方法 1 定义法 如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直 则直线l与平面 互相垂直 记作l l 平面 的垂线 直线l的垂面 它们的唯一公共点P叫做垂足 线线垂直 线面垂直 2 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 则这条直线与该平面垂直 用符号语言表示为 若l m l n m n B m n 则l 3 若两条平行直线中的一条垂直于平面 则另一条也垂直于这个平面 2 根据线面垂直的定义知 线面垂直可以得到大量线线垂直 由线面垂直的判定定理知 要得到线面垂直就需要线线垂直 要深切体会线面垂直与线线垂直的相互转化 3 定理 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 难点 直线与平面所成的角 斜线和平面所成的角 简称 线面角 它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角 求直线和平面所成的角 一般先定斜足 再作垂线找射影 然后通过解直角三角形求解 可以简述为 作 作出线面角 证 证所作为所求 求 解直角三角形 通常 过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段 并连接垂足和斜足是产生线面角的关键 线面垂直判定定理的应用 例1 已知 如图1 空间四边形ABCD中 AB AC DB DC 取BC中点E 连接AE DE 求证 BC 平面AED 图1 证明 AB AC DB DC E为BC中点 AE BC DE BC 又 AE与DE交于E BC 平面AED 由判定定理可知要证明直线垂直平面 只需证明直线与平面内的任意两条相交直线垂直即可 1 2 图2 A SG 平面EFGC GF 平面SEF B SD 平面EFGD GD 平面SEF 解析 在题图 1 中 SG1 G1E SG3 G3F 在题图 2 中 SG GE SG GF SG 平面EFG A 安全文明考试 1 2 如图3 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AC CD E是PC上的任一点 除P和C点外 证明 CD AE 图3 直线与平面所成的角 例2 如图4 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求A1B与平 面A1B1CD所成的角 图4 求直线和平面所成的角时 应注意的问题是 1 先判断直线和平面的位置关系 2 当直线和平面斜交时 常有以下步骤 作 作出或找到斜线与射影所成的角 证 论证所作或找到的角为所求的角 算 常用解三角形的方法求角 结论 说明斜线和平面所成的角值 图5 2 1 如图5 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为 A 答案 D 解析 如图22 连接A1C1 则 AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角 图22 证明 PA O所在平面 BC O所在平面 PA BC AB为 O直径 AC BC 又PA AC A BC 平面PAC 又AE 平面PAC BC AE AE PC PC BC C AE 平面PBC 线面垂直判定定理的应用例3 如图6 已知PA O所在平面 AB为 O直径 C是圆周上任一点 过A作AE PC于E 求证 AE 平面PBC 图6 3 1 PA是垂直于以AB为直径的圆所在的平面 C为圆上 B 异于A B的任一点 则下列关系不正确的是 A PA BCB AC PBC BC 平面PACD PC BC 图7 错因剖析 没有正确使用线面垂直的判定定理 例4 如图7 a b 点P在a b所确定的平面外 PA a于点A AB b于点B 求证 PB b 4 1 P为 ABC所在平面外一点 O为P在平面ABC上的 射影 1 若PA PB PC 则O是 ABC的 2 若PA BC PB AC 则O是 ABC的 3 若P到 ABC三边的距离相等 且O在 ABC内部 则 O是 ABC的 4 若PA PB PC两两互相垂直 则O是 ABC的 外心 垂心 内心 垂心 3 如图25 图25 P到 ABC三边的距离分别是PD PE PF 则PD PE PF PO 平面ABC PD PE PF在平面ABC上的射影 分别是OD OE OF OD OE OF 且OD AB OE BC OF AC O是 ABC的内心 故