济南大学自控经典课件-第九章.ppt

1 第九章线性系统的状态空间综合法 9 1线性系统的能控性与能观测性 9 2线性系统的结构分解 略 9 3线性系统的状态反馈与输出反馈 9 4线性系统的状态观测器 仅介绍全维观测器 9 5线性系统的解耦 略 9 6线性系统的实现 略 2 9 1线性系统的可控性与可观性 9 1 1问题的提出可控性 系统内部所有变量的运动能由u来控制 即u x的关系 可观性 系统内部所有变量的运动能由y来反映 即y x的关系 例9 1 显然 b1 b2 c1 c2 0 x1 x2既可控又可观测 b1 0 x1不可控b2 0 x2不可控c1 0 x1不可观c2 0 x2不可观 3 显然 b1 b2 c1 c2 0 x1 x2既可控又可观测 b2 0 x2不可控b1 0 只要b2 0 x1可控 即 当b2 0时 无论b1为何值 x1 x2均可控 c1 0 x1不可观测c2 0 只要c1 0 x2可观测 即 当c1 0时 无论c2为何值 x1 x2均可观测 例9 2已知系统状态空间表达式 4 9 1 2可控性问题基本概念 考虑线性时变系统 1 状态可控非零初始状态 称状态x0在时刻t0可控 2 系统可控若任意x0在t0时刻可控 称为系统在t0时刻可控 若系统在所有时刻可控 称为系统是一致可控的 3 系统不完全可控状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的 存在无约束的容许控制u t 在有限时间间隔内 t0 tf 5 要求 t0 t1 是有限时间间隔 对转移的形式和路线没有要求 即可控性表征系统运动的一个定性的特性 关于u t 对u t 的幅值没有限制 但要求必须是容许控制 即 亦即u t 的每一个分量ui t 在Tt上平方可积 对线性定常系统 在 t0 t1 上考虑与在 0 t1 t0 上考虑是等价的 即可控性与t0无关 若存在不可控状态 一个或多个 则系统不完全可控 终端状态x t1 0 即取状态空间的原点 几点说明 6 4 状态可达与系统可达对系统 若存在容许控制u t 使得 则称状态xf在t0时刻是可达的 若状态xf对所有时刻都是可达的 则称xf为完全可达或一致可达 若每个状态在t0时刻均可达 则称系统在t0时刻可达 比较 状态可达 系统可控 状态完全可控 体现x0的任意性系统可达 状态完全可达 体现xf的任意性应指出 线性定常系统 可控性与可达是等价的 但对离散系统和时变系统 严格地讲 二者并不等价 状态可控 7 9 1 3可观测性的基本概念 考虑线性时变系统 u t 0 设 初始时刻t0 初始状态x t0 时间定义区间 Tt t0 t 在有限时间 t0 t1 内 能由输出y t t Tt 唯一确定初态值x t0 则称系统在 t0 t1 内是完全可观测的 简称可观测 若对所有tf t0 系统均可观测 则称系统在 t0 内完全可观测 简称系统完全可观测 若不能由y t t Tt 唯一确定所有状态x t0 则称系统不完全可观测 简称不可观测 8 9 1 4线性定常系统可控性判据 考虑线性定常系统 x t n维向量 u t p维向量 系统简记为 A B 1 格拉姆矩阵判据 其中 格拉姆矩阵 显然 用此判据需要求eAt 再求积分 通常只用于理论分析 证明 2 秩判据 即当rank S n 满秩 则系统完全可控 其中 9 例9 3判断已知系统的可控性 解 可控性判别阵为 可见 rankS 2 3 系统不可控 10 解 该桥式电路的微分方程为 选取状态变量x1 iL x2 uc 消去中间变量 得 例9 4桥式网络如图 试用可控性判据判断可控性 11 其可控性矩阵为 当电桥处于平衡状态 由于R1R4 R2R3 使得 rankS 1 n 2 系统不可控 由状态方程易知 此时x2是不可控变量 12 电桥平衡时 uc 0 即电容上的电压uc不受输入电压ui控制 13 解 该电路的微分方程为 其中 消去中间变量 得状态方程 例9 5网络如图 试用可控性判据判断其可控性 14 其可控性矩阵为 rankS 2 n 系统可控 rankS 1 n 系统不可控 由电路图可知 时 即不能通过u使x1 x2到达任意状态 15 解 设 得状态方程 由电路图可知 时 即不能通过u使x1 x2到达任意状态 例9 6网络如图 试用可控性判据判断其可控性 16 rank iI AB n i 1 2 3 n 成立 则系统完全可控 例9 7已知线性定常系统的状态方程 试判断系统可控性 3 PBH判据 由波波夫 贝尔维奇提出 豪塔斯应用 解 1 利用秩判据 可控性矩阵 rank S 4 n 所以该系统可控 17 2 利用PBH判据 A的特征值 对于有 18 对于有 对于有 满足PBH判据充要条件 所以该系统可控 19 该判据主要用于理论分析 特别是线性系统的复域分析 4 PBH特征向量判据 的特征向量 20 例9 8已知线性定常系统 试判定系统的可控性 解 规范型中B阵不包含元素全为零的的行 故系统完全可控 A为对角标准型 且A的特征值互异 结论 当时 B无全零行 则系统可控 5 约当规范型判据 21 约当标准型 设为m重特征根 结论 只要Bm不是全零行 则系统完全可控 块对应的B没有全零行 J最后一行不全为零 该系统是完全可控的 例9 9已知系统矩阵及输入矩阵 试判断其可控性 22 设为5重特征根 有如下约当型 结论 只要行线性无关 系统状态完全可控 注 输入的维数p i所对应的约当块的块数时 系统可能可控 输入的维数p i所对应的约当块的块数时 系统一定不可控 23 例10线性定常系统的约当规范形如下 判断可控性 矩阵B 1和B 2都是行线性无关 B 3元素不全为零 故系统完全可控 24 1 矩阵行线性相关 的元素不为零 系统状态不可控 解 解 2 矩阵行线性相关 的元素不为零 系统状态不可控 课堂练习 25 的元素不为零 系统状态可控 3 解 26 单输入 b 0 则系统可控 6 A阵为友矩阵 下三角阵 即 则状态一定能控 可控标准型 27 1 定义 如果存在控制作用u 使输出y在有限时间间隔 t0 tf 内 使任意y t0 y tf 称y t 是完全能控的 研究y的可控性问题 2 判据 对于系统 输出完全可控 9 1 5输出可控性 例9 11 状态不完全可控 输出可控 28 9 1 6线性定常连续系统可观性判据 考虑u 0 即线性定常连续系统 x t n维向量 y t q维向量 系统简记为 A C 1 格拉姆矩阵判据 其中 格拉姆矩阵 2 秩判据 即当rank V n 则系统完全可观 证明略 29 例9 12试判断已知系统可观测性 1 解 构造可观测矩阵 故系统不可观测 2 解 故系统可观测 30 3 PBH秩判据 即不存在非零特征向量 同时满足 4 PBH特征向量判据 的特征向量 31 A为对角阵 且A的特征值互异 即 只要C无全零列 状态x t 就是完全可观的 5 约当标准型判据 例9 13判断线性定常系统的可观测性 解 C阵不包含元素全为零的列 系统完全可观测 32 A为m m的约当阵J 且 1维m重根 即 只要约当块对应的C的第一列不是全零列 状态就完全可观 例9 14 C阵的第一列非零 系统状态完全可观测 33 只要每个约当块对应的第一列线性无关 则状态完全可观 A为J阵 注 输出的维数q i所对应的约当块的块数时 系统可能可观 输出的维数q i所对应的约当块的块数时 系统一定不可观 34 例9 15判断已知系统的可观测性 所以 该系统状态完全可观 35 1 以上两个矩阵元素不全为零 系统可观 解 第一个J块对应的第一列元素为零 系统不可观 2 解 课堂练习试判断下列系统的可观测性 36 则 一定可观 6 能观标准型 37 9 1 7可控可观性与传递矩阵的关系 1 SISO系统 c sI A 1不存在零极点对消可观 由c sI A 1b导出的传递函数不存在零极点对消可控可观 sI A 1b不存在零极点对消可控 思考题 研究下列系统可控性 可观性与传递函数的关系 1 可控不可观 2 可观不可控 3 不可控不可观 38 多输入系统可控 sI A 1B的n行线性无关 多输出系统可观C sI A 1的n列线性无关 例9 16确定已知系统的可控可观性 解 三个行向量线性无关 故系统可控 2 MIMO系统 39 三列线性无关 故系统可观 注意 多输入系统的可控性与 sI A 1B中有无零极点对消无关 多输出系统的可观性与C sI A 1中有无零极点对消无关 c sI A 1存在零极点对消不完全可观 40 1非奇异线性变换的不变性 变换前后 系统特征值 传递矩阵 可控性 可观测性均不变 证明 非奇异变换的不变性 P特征向量构成 9 1 8非奇异线性变换的不变性 1 特征值不变性 41 2 传递矩阵不变 3 可控性不变 4 可观测性不变 同理可证 42 令整理 2化可控系统为可控标准型Ac 43 即 即为可控性矩阵的逆矩阵的最后一行 44 的计算方法 2 计算可控性矩阵逆阵 3 取的最后一行构成行向量 4 构造P阵 5 求即将非标准型可控系统 可控标准型的变换矩阵 1 计算可控性矩阵 45 例9 17将状态方程化为可控标准型 解 系统可控 46 若有 1定义考虑系统 S1 9 1 9对偶原理 S2 则称系统S1和系统S2互为对偶系统 其结构图如下 或 47 将其化为可观测标准型的问题 即对偶系统一定可控 将其对偶系统化为可控标准型 便可获得可观测标准型 对偶系统化为可控标准型的问题 2 互为对偶系统的特征值相同3对偶原理应用 化可观测系统为可观标准型设SISO系统可观测 动态方程为 2对偶系统的性质 48 基本思路 可观 但非可观标准型 系统S1 系统S2 可控 但非可控标准型 系统S3 其中 系统S4 其中 即对S1做PT变换 49 计算步骤 1 列出对偶系统的可控性矩阵S1 原系统的可观性矩阵V2 2 求 3 取出的第n行vn构造P阵 4 求 5 利用对偶原理获得原系统可观测标准型 即引入变换将对偶系统化为可控标准型 50 9 1 10线性离散系统的可控性和可观测性 略 51 本节小结 主要内容 可控可观的概念 包括离散系统 可控可观性判据 包括离散系统 线性变换 化系统为可控标准型 可观标准型 对偶原理 本节重点 可控可观性判据 52 9 2线性定常系统结构分解 略 53 9 3反馈结构与极点配置 9 3 1常见的反馈结构 1 状态反馈即将状态变量引到输入端 引入状态反馈后闭环系统状态方程 考虑n阶线性定常系统 输出方程不变 传递函数矩阵 注意K的维数 54 2 输出反馈 1 输出反馈至状态微分原系统 引入输出反馈 传递函数矩阵 2 输出量反馈至参考输入引入输出反馈 动态方程 思考 H F的维数 qx1 nx1 nxq px1 pxq 55 三种反馈比较 系统矩阵 A BK pxn SISO K为1xn的行向量K k1k2 kn 系统矩阵 A HC nxq SISO H为nx1的列向量 系统矩阵 A BFC pxq SISO F为标量 56 A BFCBC I A BFC 0 ABC I A 0 A BKBC I A BK 0 A HCBC I A HC 0 状态反馈 完全表征系统动态行为 信息量大 可在不增加系统维数情况下自由支配相应特性 输出反馈 仅利用状态变量线性组合进行反馈 信息量较小 所引入的补偿装置使系统维数增加 且有时难以得到所期望的响应特性 若令K FC则状态反馈与反馈至输入端的输出反馈等价 所以状态反馈功能更强 若已知F 必有一个K与之对应若已知K 不一定有F与之对应 三种反馈结构比较小结 57 9 3 2反馈结构对系统性能的影响 1 对可控 可观性的影响 定理1引入状态反馈 系统的可控性不变 但可能改变系统的可观测性 定理2输出到状态微分的反馈 不改变系统的可观测性 但可能改变系统的可控性 定理3输出至参考输入的反馈 既不改变系统的可控性 也不改变系统的可观测性 58 故原系统可观测 引入状态反馈 其中 引入反馈后的系统矩阵 引入反馈后的可观测性 故不可观 可观性改变的原因 解 原系统可观性矩阵 例9 22已知系统状态空间描述 引入状态反馈K 04 分析其可观性 状态反馈产生了零极点对消 59 状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性 镇定 通过引入反馈 使反馈后的闭环系统稳定 状态反馈的镇定问题 对于 如果存在状态反馈矩阵K 使通过状态反馈u v Kx构成的闭环系统的系统矩阵 A BK 特征值均具有负实部 称系统实现了状态反馈镇定 定理4当且仅当线性定常系统不可控部分的特征值都具有负实部时 系统是状态反馈可镇定的 2 反馈结构对系统稳定性的影响 例如 不可控子系统的状态方程为 特征值为 1 1 2 3 没有正实根存在 故能通过状态反馈使其镇定 60 状态反馈不影响不可控子系统的极点 证明 设 A B 不完全可控 通过结构分解 非奇异线性变换 状态反馈矩阵为 引入反馈后 系统矩阵 反馈后系统特征方程 61 极点配置 利用状态反馈或输出反馈使闭环极点位于所希望的位置 极点配置的目的 改善系统的性能 基本问题 1 实现极点配置的的条件 2 极点配置的算法 如何求反馈矩阵 1 实现极点配置的条件定理5用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系统可控 定理6用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是受控系统可观 说明 对于反馈至参考输入端的输出反馈 通常不能实现任意配置极点 9 3 3SISO系统的极点配置 62 以状态反馈矩阵K的求法为例来介绍算法基本思路 求反馈矩阵K 使闭环系统极点为希望极点 1 2 n即求K 使下式成立 1设但输入系统为可控标准型 即 则 2 SISO系统的极点配置算法 63 64 2设系统 A b 可控 但不是标准型 处理方法 直接求解借助于线性变换 下面介绍第二种方法的计算步骤1 求出原系统特征多项式 2 求出希望的特征多项式 4 求变换矩阵P P 1变换把 A b 化为可控标准型 其中P1是 的最后一行 5 求状态反馈阵K 65 求状态反馈向量K 使闭环特征值为 解 系统可控性矩阵 系统可控 故可以通过状态反馈实现任意极点配置 方法1直接法 希望的闭环特征多项式 例9 23已知SI线性定常系统的状态方程为 66 比较系数得 解得 即 67 方法2线性变换法 被控系统的特征多项式为 希望特征多项式 于是 可控性矩阵 68 绘制状态变量图 原系统 状态反馈 69 3已知被控系统的I O描述 传递函数或微分方程 一般方法 先列写状态空间表达式 再求状态反馈 能控标准型实现较为简单 例9 24设受控系统传递函数为 试用状态反馈使闭环极点配置在 2 1 j 1 j 解 系统为SISO系统 其传递函数无零极点对消故该系统可控可观 可实现任意配置极点 可控标准型实现 70 引入状态反馈后的系统矩阵 引入状态反馈后的特征方程 希望特征方程 对应系数相等 71 状态变量图 思考 1 引入状态反馈后 系统的可控可观性是否发生了变化 2 能否通过输出反馈实现该极点配置 72 考虑SISO系统 是可控的 但不是标准型 为可控标准型 线性变换前后系统传递函数不变 故受控系统的传递函数为 3 状态反馈对传递函数零点的影响 73 引入状态反馈 闭环系统 相应传递函数 74 比较反馈前后系统的传递函数 状态反馈只改变系统极点 不改变系统零点 当希望极点与原系统的某些零点相同时 Gk s 有零极点对消 可观测性不能保证 75 9 4 1全维观测器及其设计全维 n维 n个状态变量全部重构 状态观测器 利用被控对象的输入量与输出量来重构系统状态 目的 用观测器重构的状态代替被控系统的状态 实现状态反馈 1 全维状态观测器构成方案设被控对象动态方程为 若实现状态反馈 而有些状态变量不能或不易引出时 利用计算机模拟与被控对象完全相同的动态方程 9 4状态观测器及其设计 工程实现状态反馈的关键 状态可测 即可获得各状态的信息 状态观测器 76 模拟系统 固有系统 状态反馈 由状态方程的解 比较 输入引起的部分相同 但由初态引起的部分与x 0 有关 故有 2 系统 A B C 在实际模拟中一定存在误差 关键 问题 1 的初始状态只能是估计 一定会存在误差 重构状态 77 状态观测器 固有系统 状态反馈 解决问题的思路 调整使之 x t 利用反馈概念 当给定 输出 偏差 通过调整环节使偏差 当偏差 0时 输出 给定 解决的方法 以y t 为给定 为反馈信号 通过选择合理反馈矩阵H 配置观测器的极点 从而使迅速跟踪x t 78 全维观测器的方程 观测器系统矩阵 观测器分析设计的关键问题 在的情况下 保证 观测器存在条件 2 全维观测器的分析设计 由观测器方程和被控系统方程 欲使 只要 A Hc 的特征根具有负实部 解得 79 H的选择 A HC 的极点位置 过大 实现困难 噪声加剧 过小 速度慢 一般要求观测器的响应速度要比状态反馈系统的快些 但衰减不能过快 设计全维状态观测器的一般步骤 1 判断系统的可控可观性 2 确定观测器