基于几何画板在中考探究题教学中的研究.ppt

基于几何画板在中考探究题教学中的研究 江西省赣州中学张仁华 理论基础 义务教育数学课程标准 2011版 指出 信息技术的发展对数学教育的价值 目标 内容以及教学方式产生了很大的影响 数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代化信息技术 要注意信息技术与课程内容的整合 注重实效 要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响 开发并向学生提供丰富的学习资源 把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具 有效地改进教与学的方式 使学生乐意并有可能投入到现实的 探索性的数学活动中去 著名数学家 数学教育家波利亚曾精辟地指出 数学有两个侧面 一方面它是欧几里德式的严谨科学 从这个方面看 数学像一门系统的演绎科学 但另一方面 创造过程中的数学 看起来却像一门实验性的归纳科学 几何画板 提供了一个十分理想的展现数学发现过程并让学生积极探索问题的 做数学 的环境 理论基础 运用几何画板展现数形结合 数形结合思想是使抽象的数学语言与直观的图形结合起来 使抽象思维与形象思维结合起来 华罗庚先生说过 数缺形时少直观 形少数时难入微 数形结合思想是一种重要的解题思想 用这种思想指导 一些几何问题可以用代数方法来处理 一些代数问题又可以用几何图形帮助解决 最明显地表现是利用直角坐标系将几何问题与代数问题结合联系起来 这种思想是近年来中考的热点之一 例1 如图所示 C为线段BD上一动点 分别过点B D作AB BD ED BD 连接AC EC 已知AB 5 DE 1 BD 8 设CD x 1 用含x的代数式表示AC CE的长 2 请问点C满足什么条件时 AC CE的值最小 3 根据 2 中的规律和结论 请构图求出代数式的最小值 例题赏析 例2 如图1 若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上 抛物线L2的顶点B也在抛物线L上 点A与点B不重合 我们把这样的两抛物线L1 L2互称为 友好 抛物线 可见一条抛物线的 友好 抛物线可以有多条 1 如图2 已知抛物线L3 与轴交于点C 试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标 例题赏析 2 请求出以点D为顶点的L3的 友好 抛物线L4的解析式 并指出L3与L4中同时随增大而增大的自变量的取值范围 3 若抛物线的任意一条 友好 抛物线的解析式为 请写出与的关系式 并说明理由 例题赏析 例3 已知二次函数 与轴交于A B两点 点A在点B的左边 与轴交于点C 1 写出A B点坐标 2 二次函数 顶点为P 直接写出二次函数与二次函数有关图象的两条相同的性质 是否存在实数 使 ABP为等边三角形 如存在 请求出的值 如不存在 请说明理由 若直线与抛物线交于点E F 请问线段EF的长度是否发生变化 如果不会 求EF的长度 如果会 说明理由 例题赏析 以形助数 用数解形 教学策略 激发学生的学习的兴趣 增强学生对知识的理解 促进学生的思维的发展 强化学生数形结合思想 由数思形 由形探数 运用几何画板进行开放探究 开放探究型问题是近年中考比较常见的题目 解答这类问题的关键是牢固掌握基本知识 需要有较强的发散思维能力 创新能力 具体做题时 要仔细分析题目的有关信息 合情推理 联想 并要运用类比 归纳 分类讨论等数学思想全面考虑问题 有时还借助图形 实物或实际操作来打开思路 结论开放探索问题是指题目中的结论不确定或题目中的结论需类比 引申 拓广 或改变题目的条件 探究原有的结论是否成立 或题目给出特例 要求探究归纳总结出一般性的结论 常与化归思想方法结合应用 结论开放探究型 例4 如图 正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合 将 AEF绕其顶点 旋转 在旋转过程中 当BE DF时 则 BAE的大小可以是 例题赏析 例5 如图 矩形ABCD中 BC AB 在BC上取两点E F E在F左边 以EF为边作等边三角形PEF 使顶点P在AD上 PE PF分别交AC于点G H 求 PEF的边长 若 PEF的边EF在线段BC上移动 试猜想PH与BE有何数量关系 并证明你猜想的结论 例题赏析 例6 数学复习课上 张老师出示了如下框中的问题 问题思考 1 经过独立思考 同学们想出了多种正确的证明思路 其中有位同学的思路如下 如图1 过B作交CD的延长线于点E 请你据这位同学的思路提示证明上述框中问题 例题赏析 方法迁移 2 如图2 在Rt中 点D为AB中点 点E是线段AC上一动点 连接DE 线段DF始终与DE垂直且交BC于点F 猜想线段AE EF BF的数量关系并加以证明 拓展延伸 3 如图3 在Rt中 点D为AB中点 点E是线段AC延长线上一动点 连接DE 线段DF始终与DE垂直且交CB的延长线于点F 试问第 2 中线段AE EF FB的数量关系会发生改变吗 若会 请说明理由 若不会 请证明之 例题赏析 执因索果 顺藤摸瓜 解题策略 培养学生综合分析问题和解决问题的能力 提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力 充分提升学生类比思想与转化化归的思想 条件开放问题是指题目的结论明确 条件不完备 要求解答者自己去探索 结合已有条件 进行观察 分析 比较和概括 它对学生的数学思想 数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求 它有利于培学生探索 分析 归纳 判断 讨论与证明等方面的能力 使学生经历一个发现问题 研究问题 解决问题的全过程 条件开放探究型 例7 如图甲 在 ABC中 ACB为锐角 点D为射线BC上一动点 连接AD 以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF 解答下列问题 1 如果AB AC BAC 90 当点D在线段BC上时 与点B不重合 如图乙 线段CF BD之间的位置关系为 数量关系为 例题赏析 当点D在线段BC的延长线上时 如图丙 中的结论是否仍然成立 为什么 2 如果AB AC BAC 90 点D在线段BC上运动 试探究 当 ABC满足一个什么条件时 CF BC 点C F重合除外 画出相应图形 并说明理由 画图不写作法 例题赏析 例题赏析 例8 如图1 Rt ACB中 AC 3 BC 4 有一过点C的动圆 O与斜边AB相切于动点P 连接CP 1 当 O与直角边AC相切时 如图2 求此时 O的半径r的长 2 随着切点P的位置不同 弦CP的长也会发生变化 试求出弦CP的长的取值范围 3 当切点P在何处时 O的半径r有最大值 试求出这个最大值 执果索因 逆水行舟 解题策略 培养学生发现研究问题和解决问题的能力 提高逻辑推理能力和发展发散性思维能力 充分提升学生观察分析与比较概括的能力 规律开放探索问题是指根据已知条件或所提供的若干特例 通过观察 类比 归纳 揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征 得到一般性结论的一类探索性问题 考查的问题一般包括数学命题 式子 图形等 探究的结果一般要求能运用代数式 方程 函数等进行描述 规律开放探究型 例9 如下图所示 按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上 该圆周长为3个单位长 且在圆周的三等分点处分别标上了数字0 1 2 上 先让原点与圆周上0所对应的点重合 再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上 使数轴上1 2 3 4 所对应的点分别与圆周上1 2 0 1 所对应的点重合 这样 正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系 1 圆周上数字a与数轴上的数5对应 则a 2 数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈 n为正整数 后 并落在圆周上数字1所对应的位置 这个整数是 用含n的代数式表示 例题赏析 特例入手 类比一般 解题策略 培养学生的能力观察类比归纳总结能力 提升学生从特殊到一般思想应用的意识 存在性开放探究型 存在性探索问题是指在某种题设条件下 判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题 探索存在性时 常遵循从特殊 特殊点 特殊值 特殊图形 特殊位置 到一般的规律 例10 例3变式 已知二次函数 与轴交于A B两点 点A在点B的左边 与轴交于点C 1 写出A B点坐标 2 二次函数 顶点为P 直接写出二次函数与二次函数有关图象的两条相同的性质 若直线与抛物线交于点E F 与交于点D H 请问是否存在这样的值 使点D H恰好是EF的三等分点 如果存在 求出 若不存在 说明理由 例题赏析 假设存在 迂回论证 解题策略 锻炼学生的思维的严谨性 培养学生的推理论证能力 一题多解 一题多改 教学策略 培养学生分析问能力题和解决问题的能力 提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力 训练学生揭示各方面知识内在联系和规律 加深知识的理解和应用并使知识融会贯通 一题多变 一题多问 利用几何画板进行分类讨论 分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形 然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想 对于因存在一些不确定因素 解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题 我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决 分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性 将其区分为不同的种类的思想方法 其作用是克服思维的片面性 防止漏解 要注意 在分类时 必须按同一标准分类 做到不重不漏 例11 如图1 在等腰梯形ABCD中 AD BC E是AB的中点 过E点作EF BC交CD于点F AB 4 BC 6 B 60 1 求点E到BC的距离 例题赏析 2 点P为线段EF上的一个动点 过P作PM EF交BC于点M 过M作MN AB交折线ADC于点N 连结PN 设EP x 当点N在线段AD上时 如图2 PMN的形状是否发生改变 若不变 求出 PMN的周长 若改变 请说明理由 例题赏析 当点N在线段DC上时 如图3 是否存在点P 使 PMN为等腰三角形 若存在 请求出所有满足要求的x的值 若不存在 请说明理由 例题赏析 合理分类 分级讨论 教学策略 培养学生思维的完备性 增强学生思维的深刻性 标准统一 不漏不重 利用几何画板进行动态分析 利用 几何画板 工具把静态的知识动态化 抽象的知识具体化 改变了教师一贯的解决例题教学方法 让学生亲身体验 自主探索 在学中做 在做中学 激发学生的创新思维 同时培养学生主动探索研究 动手操作实践的能力 培养学生创新精神和创造能力 提升了思维活动的层次 培养了数学学习的基本素质 触类旁通 学习方法的迁移也将有助于其它内容的学习 从而整体地提高学生的学习能力 例12 如图 已知正三角形ABC的高为9厘米 O的半径为r厘米 当圆心O从点A出发 沿线路AB BC CA运动 回到点A时 O随着点O的运动而停止 1 当r 9厘米时 O在移动过程中与 ABC三边有几个切点 2 当r 2厘米时 O在移动过程中与 ABC三边有几个切点 3 猜想不同情况下 r的取值范围及相应的切点个数 例题赏析 动点类 例13 如图 点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点 过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M N两点 设AC 2 BD 1 AP x AMN的面积为y 则y关于x的函数图象大致形状是 例题赏析 动线类 例14 如图 在Rt PMN中 P 900 PM PN MN 8 矩形ABCD的长和宽分别为8 和2 C点和M点重合 BC和MN在一条直线上 令Rt PMN不动 矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1 的速度移动 直到C点与N点重合为止 设移动x秒后 矩形ABCD与 PMN重叠部分的面积为y 2 求y与x之间的函数关系式 例题赏析 动图形类 例15 已知 纸片 的半径为 如图 沿弦AB折叠操作 1 如图2 当折叠后的经过圆心O时 求的长 2 如图3 当弦AB 2时 求折叠后的所在圆的圆心O 到弦AB的距离 3 在图 中 再将纸片 沿弦CD折叠操作 如图4 当AB CD时 折叠后的与所在圆分别运动为外切于点P时 设点O到弦AB CD的距离之和为d 求d的值 例题赏析 折图形类 如图5 当AB与CD不平行时 折叠后的与所在圆外切于点P时 设点 为AB的中点 点 为CD的中点 试探究四边形的形状 并证明你的结论 例题赏析 折图形类 关注全程 落足临界 教学策略 培养学生完整分析问题和解决问题的能力 增强学生以运动的观点来观察事物的能力 化动为静 以静制动 加强学生从特殊到一般的思想方法的认识 例16 如图1 正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1 点E F分别在线段AB AD上滑动 设点G到CD的距离为x 到BC的距离为y 记 HEF为 当点E F分别与B A重合时 记 0 用几何画板追踪点的轨迹 1 当 0 时 如图2所示 求x y的值 结果保留根号 2 当 为何值时 点G落在对角线AC上 请说出你的理由 并求出此时x y的值 结果保留根号 3 请你补充完成下表 精确到0 01 例题赏析 4 若将 点E F分别在线段AB AD上滑动 改为 点E F分别在正方形ABCD边上滑动 当滑动一周时 请使用 3 的结果 在图4中描出部分点后 勾画出点G运动所形成的大致图形 例题赏析 例17 如图1 在平面上 给定了半径为r的圆O 对于任意点P 在射线OP上取一点 使得 这把点P变为点的变换叫做反演变换 点P与点叫做互为反演点 如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形 那么这两个图形叫做互为反演图形 1 如图2 O内外各一点A和B 它们的反演点分别为和B 求证 B 2 如图3 如果直线l经过点O且与 O相交 那么它关于 O的反演图形是什么图形 请直接写出答案 例题赏析 3 如图4 如果直