线性系统的时域分析法二阶系统.ppt

控制系统的数学模型 一 时域的数学模型 微分方程 二 复域数学模型 传递函数描述 三 结构图 四 信号流图 五 自动控制系统的传递函数 第三章线性系统的时域分析法 时域分析法 根据系统的微分方程 或传递函数 用拉普拉斯变换直接解出动态方程 并依据过程曲线及表达式分析系统的性能 特点 直观 准确 一 典型输入信号 1 单位阶跃函数 2 单位斜坡函数 3 1系统时间响应的性能指标 3 单位加速度函数 4 单位脉冲函数 5 正弦函数 典型时间响应由动态过程和稳态过程两部分组成 动态过程 动态过程又称过渡过程或瞬态过程 是指系统在典型输入信号作用下 系统输出由初始状态到达最终状态的响应过程 稳态过程 指系统在典型输入信号作用下 当时间t趋于无穷大时 系统输出量的表现形式 控制系统在典型输入信号作用下的性能指标 通常由动态性能和稳态性能两部分组成 二 动态过程与稳态过程 h t t 1 动态性能 输入为单位阶跃函数 三 动态性能与稳态性能 上升时间 它有几种定义 1 响应曲线从稳态值的10 到90 所需时间 2 响应曲线从稳态值的5 到95 所需时间 3 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间 一般对有振荡的系统常用 3 对无振荡的系统常用 1 峰值时间 响应曲线到达第一个峰值所需的时间 调整时间 响应达到并保持在终值的 5 或 2 误差带时所需要的最短时间 延滞时间 响应曲线到达稳态值50 所需的时间 最大超调量 响应曲线偏离稳态值的最大值 或 评价系统的响应速度 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标 评价系统的阻尼程度 2 稳态性能 稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标 通常在阶跃函数 斜坡函数和加速度函数作用下进行测定或计算 若时间趋于无穷大时 系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数 则系统存在稳态误差 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量 平稳性 稳定性 指标 超调量 输出响应超出稳态值的最大偏移量占稳态值的百分比 即 稳态性能指标 稳态误差ess 衡量输出响应进入稳态后所表现出来的性能 即表示系统的控制精度 定义式 上升时间tr 输出响应从零开始第一次上升到稳态值时所需的时间 即 c tr c 1 第一次 峰值时间tp 输出响应从零开始上升到第一个极值 最大值 处时所需的时间 即 dc tp dt 0 第一次 调节时间ts 输出响应达到并保持在一个允许误差带 内时所需的最短时间 动态性能指标的定义 工程规定 或 快速性指标 用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统 T RC为一阶惯性时间常数 3 2一阶系统的时域分析 1 一阶系统的数学模型 2 一阶系统的单位阶跃响应 根据动态性能指标的定义 一阶系统的动态性能指标为 对于一阶系统的单位阶跃响应 说明一阶系统跟踪阶跃输入信号时 无稳态误差 另外有 3 单位脉冲响应 当输入信号为单位脉冲信号时 可以画出一阶系统的单位脉冲响应如图所示 4 单位斜坡响应 当输入信号为单位斜坡信号时 可以画出一阶系统的单位斜坡响应如图所示 对于一阶系统的单位斜坡响应 说明一阶系统跟踪单位斜坡输入信号时 稳态误差为T 5 单位加速度响应 当输入信号为单位加速度信号时 说明一阶系统无法跟踪加速度输入信号 四种响应的关系 某输入信号响应的导数等于该输入信号导数的响应 即 一阶系统的单位加速度响应的导数等于其单位斜坡响应 一阶系统的单位斜坡响应的导数等于其单位阶跃响应 一阶系统的单位阶跃响应的导数等于其单位脉冲响应 这一规律适用于一般的线性定常系统 3 2 3一阶系统的典型响应 r t R s C s F s R s c t 一阶系统典型响应d t 11 t t 例 一阶系统如图所示 试求系统单位阶跃响应的调节时间ts 如果要求ts 0 1秒 试问系统的反馈系数应如何调整 解 系统的闭环传递函数为 这是一个典型一阶系统 调节时间ts 3T 0 3秒 若要求调节时间ts 0 1秒 可设反馈系数为 则系统的闭环传递函数为 一 典型二阶系统的数学模型下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图 开环传递函数为 闭环传递函数为 这是最常见的一种系统 很多高阶系统也可简化为二阶系统 称为典型二阶系统的传递函数称为阻尼系数称为无阻尼振荡频率或自然频率 3 3二阶系统的时域分析 特征方程为 当时 特征方程有一对共轭的虚根 称为零 无 阻尼系统 系统的阶跃响应为持续的等幅振荡 当时 特征方程有一对实部为负的共轭复根 称为欠阻尼系统 系统的阶跃响应为衰减的振荡过程 当时 特征方程有一对相等的实根 称为临界阻尼系统 系统的阶跃响应为非振荡过程 当时 特征方程有一对不等的实根 称为过阻尼系统 系统的阶跃响应为非振荡过程 位于平面的左半部 2 欠阻尼 有一对共轭复根 1 无阻尼 一对纯虚根 3 临界阻尼 两相等实根 4 过阻尼 两不等实根 5 位于右半平面 当输入为单位阶跃函数时 有 分析 此时输出将以频率做等幅振荡 所以 称为无阻尼振荡圆频率 二 二阶系统的单位阶跃响应 阶跃响应为 当时 极点为 极点的负实部决定了指数衰减的快慢 所以衰减系数虚部是振荡频率 称为阻尼振荡频率 阶跃响应函数为 当时 极点为 即特征方程为 特征方程还可为 因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串联 其单位阶跃响应为 式中 上述四种情况分别称为二阶无阻尼 欠阻尼 临界阻尼和过阻尼系统 其阻尼系数 特征根 极点分布和单位阶跃响应如下表所示 可以看出 随着的增加 c t 将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动 当时c t 呈现单调上升运动 无振荡 可见反映实际系统的阻尼情况 故称为阻尼系数 三 典型二阶系统的性能指标及其与系统参数的关系 一 衰减振荡瞬态过程 上升时间 根据定义 当时 解得 称为阻尼角 这是由于 等阻尼线 等 线 等自然振荡角频率线 阻尼振荡角频率 二阶系统的阻尼角 峰值时间 当时 整理得 由于出现在第一次峰值时间 取n 1 有 其中 最大超调量 故 将峰值时间代入 调节时间 可见 写出调节时间的表达式是困难的 由右图可知响应曲线总在一对包络线之内 包络线为 根据调节时间的定义 当t ts时 c t c c 当t t s时 有 由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间 即认为响应曲线的包络线进入误差带时 调整过程结束 二阶系统单位阶跃响应定性分析 0 1 1 0 1 欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算 n d n 欠阻尼二阶系统的ts 取sin项为 1 则h t 1 e nt 取误差带为 0 05 则有e nt 0 05 例3 3 设典型二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示 试确定系统的传递函数 解 根据题意 阻尼系数是二阶系统的一个重要参数 用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质 在的情况下瞬态特性为单调变化曲线 无超调和振荡 但长 当时 输出量作等幅振荡或发散振荡 系统不能稳定工作 总结 为了限制超调量 并使较小 一般取0 4 0 8 则超调量在25 1 5 之间 阻尼系数 阻尼角与最大超调量的关系 二 非振荡瞬态过程 例 图示系统 要求单位阶跃响应无超调 调节时间不大于1秒 求开环增益K 解 根据题意 应选择 1 系统的开环传递函数为 例已知二阶系统的动态结构图 当输入量为单位阶跃函数时 若要求 峰值时间 试确定系统参数K和 并计算上升时间和调节时间 由 条件所确定的K值不变 取0时 系统的超调量又是多少 自然振荡角频率是否改变 2 结论 引入微分负反馈可增大系统的阻尼比 降低超调量 但不改变自然振荡角频率 四 二阶系统的单位斜坡响应 欠阻尼 五 改善二阶系统响应特性的措施 二阶系统超调产生过程 0 t1 误差信号为正 产生正向修正作用 以使误差减小 但因系统阻尼系数小 正向速度大 造成响应出现正向超调 t1 t2 误差信号为负 产生反向修正作用 但开始反向修正作用不够大 经过一段时间才使正向速度为零 此时输出达到最大值 t2 t3 误差信号为负 此时反向修正作用 大 使输出返回过程中又穿过稳态值 出现反向超调 t3 t4 误差信号为正 产生正向修正作用 但开始正向修正作用不够大 经过一段时间才使反向速度为零 此时输出达到反向最大值 二阶系统超调产生原因 0 t1 正向修正作用太大 特别在靠近t1点时 t1 t2 反向修正作用不足 减小二阶系统超调的思路 0 t1 减小正向修正作用 附加与原误差信号相反的信号 t1 t2 加大反向修正作用 附加与原误差信号同向的信号 t2 t3 减小反向修正作用 附加与原误差信号相反的信号 t3 t4 加大正向修正作用 附加与原误差信号同向的信号 即在 0 t2 内附加一个负信号 在 t2 t4 内附加一个正信号 减去输出的微分或加上误差的微分都具有这种效果 1 比例 微分控制 比例 微分控制时系统结构图如图所示 系统的开环传递函数为 闭环传递函数为 系统的阻尼比为 可见 采用比例 微分控制 增加了系统的阻尼比 使系统超调量下降 调节时间缩短 且不影响常值稳态误差及系统的自然频率 需要注意的是 采用比例 微分控制后 系统为有零点的二阶系统 不再是典型二阶系统 性能指标计算公式为 设 1 峰值时间 2 超调量 3 调节时间 2 测速反馈控制 测速反馈控制时系统结构图如图所示 系统的开环传递函数为 闭环传递函数为 系统的阻尼比为 可见 测速反馈控制不影响系统的自然频率 增大了系统的阻尼比 减小了系统的超调量 另外 测速反馈控制降低了系统的开环增益 从而加大了系统在斜坡信号作用下的稳态误差 采用测速反馈控制后 系统仍为典型二阶系统 性能指标的计算公式同前 3 比例 微分控制与测速反馈控制的比较 对于理想的线性控制系统 在比例 微分控制和测速反馈方法中 可以任取一种来改善系统性能 然而 实际控制系统有许多必须考虑的因素 例如系统的具体组成 作用在系统上噪声的大小及频率 系统的线性范围和饱和程度等 下面仅讨论几种主要差别 1 附加阻尼来源 微分控制的阻尼作用来源于系统输入端误差信号的速度 而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出端响应的速度 因此对于给定的开环增益和指令输入速度 后者对应较大的稳态误差值 3 对开环增益和自然频率的影响 微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响 测速反馈虽不影响自然频率 但会降低开环增益 因此 对于确定的常值稳态误差 测速反馈控制要求有较大的开环增益 开环增益的加大 必然导致系统自然频率的增加 在系统存在高频噪声时 可能引起系统共振 4 对动态性能的影响 微分控制相当于在系统中加入实零点 可以加快上升时间 在相同阻尼比的情况下 比例 微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量 2 使用环境 微分控制对噪声具有明显的放大作用 当系统输入端噪声严重时 一般不宜选用微分控制 同时微分器的输入信号为系统的误差信号 其能量水平低 需要相当大的放大作用 为了不明显恶化信噪比 要求选用高质量的放大器 测速反馈控制对系统输入端的噪声有滤波作用 同时测速发电机的输入信号能量水平较高 因此对系统组成元件没有过高的质量要求 使用场合比较广泛 3 4高阶系统的时域分析 在高阶系统的诸多闭环极点中 把无闭环零点靠近 且其它闭环极点与虚轴的距离都在该复数极点与虚轴距离的五倍以上 则称其为闭环主导极点 一 闭环主导极点的概念 二 高阶系统单位阶跃响应的近似分析 由此可见高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统 暂态响应分量的合成则有如下结论 1 各分量衰减的快慢由指数衰减系数及决定 系统的极点在S平面左半部距虚轴愈远 相应的暂态分量衰减愈快 2 系数和不仅与S平面中的极点位置有关 并且与零点有关 a 零极点相互靠近 且离虚轴较远 越小 对影响越小 b 零极点很靠近 对几乎没影响 c 零极点重合 偶极子 对无任何影响 d 极点附近无零极点 且靠近虚轴 则对影响大 3 若时 则高阶系统近似成二阶系统分析 3 5线性系统的稳定性与稳定判据 一 稳定的概念与定义 定义 若线性系统在初始扰动的影响下 其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零 则称系统为渐近稳定 简称稳定 反之若在初始扰动影响下 系统的过渡过程随时间推移而发散 则称其不稳定 二 线性系统稳定的充要条件 稳定性是系统自身的固有特性 与外界输入信号无关 线性系统稳定的充要条件 其特征根全部位于S平面的左半部 三 稳定判据1 Routh稳定判据系统的特征方程为 线性系统稳定的充分必要条件是 劳斯表中第一列系数全部为正 劳斯判据指出 若劳斯表中第一列系数全部为正 则所有闭环极点均位于左半s平面 若劳斯表第一列系数有负数 则系统是不稳定的 说明有闭环极点位于右半s平面 且位于右半s平面的闭环极点数正好等于劳斯表第一列系数符号改变的次数 劳斯阵列 2 Routh判据的特殊情况 a 某行第一个元素为零 其余均不为零 方法一 方法二 b 劳斯表某行全为零 劳斯表中出现某行系数全为零 这是因为在系统的特征方程中出现了对称于原点的根 如大小相等 符号相反的实数根 一对共轭纯虚根 对称于原点的两对共轭复数根 对称于原点的根可由全零行上面一行的系数构造一个辅助方程式F s 0求得 而全零行的系数则由全零行上面一行的系数构造一个辅助多项式F s 对s求导后所得的多项式系数来代替 劳斯表可以继续计算下去 需要指出的是 一旦劳斯表中出现某行系数