连续型随机变量的分布).ppt

练习四参考答案 解 设A为事件 飞机被击落 分别为事件 甲 乙 丙击中飞机 为事件 飞机被i人击中 则 所以飞机被击落的概率为 三解 1 A B互不相容 则 2 A B相互独立 则也相互独立 从而 四解 电路系统如图 设M为事件 电路发生断电 A B C分别为事件 电池A B C正常 则 5 第六讲 连续型随机变量的分布 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间 对这种类型的随机变量 不能象离散型随机变量那样 以指定它取每个值概率的方式 去给出其概率分布 而是通过给出所谓 概率密度函数 的方式 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法 设X是一随机变量 若存在一个非负可积函数f x 使得 其中F x 是它的分布函数 则称X是连续型随机变量 f x 是它的概率密度函数 p d f 简称为概率密度或密度函数 一 连续型随机变量的概念 1 定义 分布函数F x 与概率密度f x 的几何意义 2 概率密度f x 的性质 1 2 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量的概率密度 或求其中的未知参数 故X的密度f x 在x这一点的值 恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限 这里 如果把概率理解为质量 f x 相当于线密度 3 对f x 的进一步理解 3 在f x 的连续点处 X在x附近单位长度的区间内取值的概率 f x 描述了 要注意的是 密度函数f x 在某点处a的高度 并不反映X取值的概率 但是 这个高度越大 则X取a附近的值的概率就越大 也可以说 在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度 若不计高阶无穷小 有 它表示随机变量X取值于的概率近似等于 连续型r v取任一指定值的概率为0 即 a为任一指定值 这是因为 需要指出的是 1 由P X a 0可推知 而 X a 并非不可能事件 并非必然事件 称A为几乎不可能事件 B为几乎必然事件 可见 由P A 0 不能推出 由P B 1 不能推出B S 2 对于连续型随机变量X 等于以曲线y f x 为曲边 底为 a b 的曲边梯形的面积 例1有一批晶体管 已知每只的使用寿命X为连续型随机变量 其概率密度函数为 c为常数 求常数c 3 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管 每只晶体管能否正常工作相互独立 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率 2 求X的分布函数F x 解 1 c 1000 3 设事件A表示一只晶体管的寿命小1500小时 设在使用的最初1500小时三只晶体管中损坏的只数为Y 2 AB的距离为X 求X的概率密度函数f x 当时 使EF与AB间的距离为x 于是 求 1 F x 2 例3设X的概率密度为 解 1 2 1 均匀分布 a b 上的均匀分布 记作 二 常见的连续型随机变量的分布 若X的概率密度为 则称X服从区间 其中 X的分布函数为 即X的取值在 a b 内任何长为d c的小区间的概率与小区间的位置无关 只与其长度成正比 这正是几何概型的情形 2 指数分布 若X的概率密度为 则称X服从参数为 的指数分布 记作 X的分布函数为 0为常数 对于任意的0 a b 应用场合 用指数分布描述的实例有 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种 寿命 分布的近似 若X 则 所以 又把指数分布称为 永远年轻 的分布 指数分布的 无记忆性 事实上 例4假定一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N t 服从参数为 t的Poisson分布 求相继两次故障的时间间隔T的概率分布 2 求设备已经无故障运行 小时的情况下 再无故障运行10小时的概率 解 1 即 3 正态分布 若X的概率密度为 则称X服从参数为 2的正态分布 记作X N 2 为常数 N 3 1 2 f x 的性质 图形关于直线x 对称 f x f x 在x 时 f x 取得最大值 在x 时 曲线y f x 在对应的点处有拐点 f 曲线y f x 以x轴为渐近线 曲线y f x 的图形呈单峰状 f x 的两个参数 位置参数 即固定 对于不同的 对应的f x 的形状不变化 只是位置不同 形状参数 固定 对于不同的 f x 的形状不同 若 1 2则 比x 2所对应的拐点更靠近直线x 附近值的概率更大 x 1所对应的拐点 前者取 Show fn1 fn3 一种重要的正态分布 N 0 1 标准正态分布 它的分布函数记为 x 其值有专门的表可查 x 是偶函数 其图形关于纵轴对称 x x 对一般的正态分布 X N 2 其分布函数 作变量代换 即若X N 2 则 N 0 1 3 原理 设X N 2 求 解 在一次试验中 X落入区间 3 3 的概率为0 9974 而超出此区间的可能性很小 由3 原理知 当 标准正态分布的上 分位数z 设X N 0 1 0 1 称满足 的点z 为X的上 分位数 z 常用的几个数据 例5公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0 01以下来设计的 设男子身高X N 170 62 问车门高度应如何确定 解 设车门高度为hcm 按设计要求 P X h 0 01 或P X h 0 99 下面我们来求满足上式的最小的h 看一个应用正态分布的例子 因为X N 170 62 查表得 2 33 0 9901 0 99 所以 2 33 即h 170 13 98184 设计车门高度为184厘米时 可使男子与车门碰头机会不超过0 01 例6设X N 1 4 求P 0 X 1 6 P X 4 解 求P X 0 解一 解二图解法 0 2