函数的单调性与曲线的凹凸性.ppt

4 4函数的单调性与曲线的凹凸性 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一 函数单调性的判定法 二 曲线的凹凸性与拐点 一 函数单调性的判定法 函数y f x 的图象有时上升 有时下降 如何判断函数的图象在什么范围内是上升的 在什么范围内是下降的呢 下页 动画演示 f x 0 f x 0 观察结果 函数单调增加时导数大于零 函数单调减少时导数小于零 观察与思考 函数的单调性与导数的符号有什么关系 下页 定理1 函数单调性的判定法 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 1 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调增加 2 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调减少 由拉格朗日中值公式 有f x2 f x1 f x x2 x1 x10 x2 x1 0 所以f x2 f x1 f x x2 x1 0 即f x1 f x2 这就证明了函数f x 在 a b 内单调增加 证明只证 1 在 a b 内任取两点x1 x2 x1 x2 下页 说明 判定法中的开区间可换成其他各种区间 下页 定理1 函数单调性的判定法 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 1 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调增加 2 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调减少 例1判定函数y x sinx在 0 2p 上的单调性 解因为在 0 2p 内y 1 cosx 0 所以函数y x sinx在 0 2p 上的单调增加 下页 定理1 函数单调性的判定法 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 1 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调增加 2 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调减少 定理1 函数单调性的判定法 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 1 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调增加 2 如果在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上单调减少 因为在 0 内y 0 所以函数y ex x 1在 0 上单调增加 解函数y ex x 1的定义域为 y ex 1 例2讨论函数y ex x 1的单调性 下页 解函数的定义域为 所以函数在 0 上单调增加 因为x 0时 y 0 所以函数在 0 上单调减少 因为x 0时 y 0 例3 下页 1 设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 x1 x2是f x 的两个相邻的零点 问f x 在 x1 x2 上是否单调 2 如何把区间 a b 划分成一些小区间 使函数f x 在每个小区间上都是单调的 讨论 下页 1 确定函数的定义域 2 求出导数f x 3 求出f x 全部零点和不可导点 4 判断或列表判断 5 综合结论 确定函数单调区间的步骤 例4确定函数f x 2x3 9x2 12x 3的单调区间 解这个函数的定义域为 f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 导数为零的点为x1 1 x2 2 列表分析 函数f x 在区间 1 和 2 内单调增加 在区间 1 2 上单调减少 1 1 2 2 y 2x3 9x2 12x 3 下页 说明 一般地 如果f x 在某区间内的有限个点处为零 在其余各点处均为正 或负 时 那么f x 在该区间上仍旧是单调增加 或减少 的 例5讨论函数y x3的单调性 解函数的定义域为 y 3x2 显然当x 0时 y 0 当x 0时 y 0 因此函数y x3在区间 0 及 0 内都是单调增加的 从而函数在整个定义域 内是单调增加的 下页 因为当x 1时 f x 0 所以f x 在 1 上f x 单调增加 例6 证明 因此当x 1时 f x f 1 0 即 首页 二 曲线的凹凸性与拐点 函数曲线除了有升有降之外 还有不同的弯曲方向 如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢 下页 曲线的凹凸性定义 设f x 在区间I上连续 如果对I上任意两点x1 x2 恒有 那么称f x 在I上的图形是凹的 那么称f x 在I上的图形是凸的 如果恒有 下页 观察与思考观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系 动画演示 定理2 曲线凹凸性的判定法 设f x 在 a b 上连续 在 a b 内具有二阶导数 若在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上的图形是凹的 若在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上的图形是凸的 定理证明 例7判断曲线y lnx的凹凸性 因为在函数y lnx的定义域 0 内 y 0 所以曲线y lnx是凸的 解 下页 例8判断曲线y x3的凹凸性 解y 3x2 y 6x 由y 0 得x 0 因为当x0时 y 0 所以曲线在 0 内是凹的 设f x 在 a b 上连续 在 a b 内具有二阶导数 若在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上的图形是凹的 若在 a b 内f x 0 则f x 在 a b 上的图形是凸的 下页 定理2 曲线凹凸性的判定法 拐点连续曲线y f x 上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点 拐点 讨论如何确定曲线y f x 的拐点 如果 x0 f x0 是拐点且f x0 存在 问f x0 如何找可能的拐点 下页 动画演示 提示如果在x0的左右两侧f x 异号 则 x0 f x0 是拐点 在拐点 x0 f x0 处f x0 0或f x0 不存在 只有f x0 等于零或不存在 x0 f x0 才可能是拐点 下页 拐点连续曲线y f x 上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点 讨论如何确定曲线y f x 的拐点 如果 x0 f x0 是拐点且f x0 存在 问f x0 如何找可能的拐点 例9求曲线y 2x3 3x2 2x 14的拐点 解y 6x2 6x 12 只有f x0 等于零或不存在 x0 f x0 才可能是拐点 如果在x0的左右两侧f x 异号 则 x0 f x0 是拐点 下页 例10求曲线y 3x4 4x3 1的拐点及凹 凸的区间 解 1 函数y 3x4 4x3 1的定义域为 4 列表判断 在区间 0 和 2 3 上曲线是凹的 在区间 0 2 3 上曲线是凸的 点 0 1 和 2 3 11 27 是曲线的拐点 0 0 1 11 27 下页 只有f x0 等于零或不存在 x0 f x0 才可能是拐点 如果在x0的左右两侧f x 异号 则 x0 f x0 是拐点 讨论曲线y x4是否有拐点 提示y 4x3 y 12x2 当x 0时 y 0 在区间 内曲线是凹的 因此曲线无拐点 例11 解 二阶导数无零