补充各种进制及其转换.ppt

第三章补充进制及其相互转换 1 进位计数制 2 十进制数与二进制数之间的转换 3 十进制数与八 十六进制数之间的转换 4 二进制数与八 十六进制数的转换 5 数字在计算机内的表示 1 进位计数制 根据不同的进位原则 可以得到不同的进位制 在日常生活中 人们广泛使用的是十进制数 有时也会遇到其他进制的数 例如 钟表上 六十秒钟为一分钟 六十分钟为一小时 即为六十进制 在计算机中 最常使用的是 1 十进制 2 二进制 3 八进制 4 十六进制 1 十进制十进制记数法有两个特点 它有十个不同的记数符号 0 1 2 9 每一位数只能用这十个记数符号之一来表示 称这些记数符号为数码 它采用逢十进一的原则计数 小数点前面自右向左 分别为个位 十位 百位 千位等 相应地 小数点后面自左向右 分别为十分位 百分位 千分位等 各个数码所在的位置称为数位 每个数位上的基数我们称为 权 例如 十进制数666 66个位的6表示其本身的数值 而十位的6 表示其本身数值的十倍 即6 10 百位的6 则代表其本身数值的一百倍 即6 100 而小数点右边第一位小数位的6表示的值为6 0 1 第二位小数位的6表示的值为6 0 01 因此这个十进制数可以用多项式展开写成 666 66 6 102 6 101 6 100 6 10 1 6 10 2 2 二进制为什么采用二进制 数字符号表示简单容易 只要选用双态元件 如单向导电元件 磁性元件 发光元件 就可以十分简单地表示出数位上的数字0和1了 因此代价低廉 容易实现和使用 运算规则简单 使计算机实现运算的逻辑结构构造简单 二进制记数法也有两个特点 它有两不同的记数符号 即数码 0和1 它采用逢二进一的原则计数 也就是说 进位基数是2 数码在不同的数位所代表的值也是不相同的 各数位的 权 是以2为底的幂 例如 10110 1 2 1 24 0 23 1 21 0 20 1 2 1 22 5 10任意一个二进制数B 可以展开成多项式之和 即B bn 12n 1 bn 22n 2 b121 b020 b 12 1 b m2 m 二进制记数法各数位的 权 整数部分从小数点开始向左分别为1 2 4 8 16 32 小数部分的 权 从小数点向右分别为0 5 0 25 0 125 二进制的运算0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 100 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 3 八进制数八进制记数法的两个特点是 采用八个不同的记数符号 即数码 0 7 采用逢八进一的进位原则 在不同的数位 数码所表示的值等于数码的值乘上相应数位的 权 例如 456 45 8 4 82 5 81 6 80 4 8 1 5 8 2 302 578125 10 一般地 任意一个八进制数可以表示为 C cn 18n 1 cn 28n 2 c181 c080 c 18 1 c m8 m在上式中 Ci只能取0 7之一的值 八进制的基数是8 4 十六进制十六进制记数法也有两个特点 它采用十六个不同的记数符号 即数码 0 9及A B C D E F 其中A表示十进制数10 B表示11 C表示12 D表示13 E表示14 F表示15 它采用逢十六进一的进位原则 各位数的 权 是以16为底数的幂 例如 2AF 16 2 162 A 161 F 160 2 162 10 16 15 1 687 10 一个任意的十六进制数可以表示为 D dn 116n 1 dn 216n 2 d1161 d0160 d 116 1 d m16 m在上式中 di可以取0 F之一的值 十六进制的基数是16 2 十进制数与二进制数之间的转换 1 二进制数转换成十进制数 2 十进制整数转换成二进制整数 3 十进制小数转换成二进制小数 4 任意十进制数转换成二进制数 1 二进制数转换成十进制数根据公式 B bn 12n 1 bn 22n 2 b121 b020 b 12 1 b m2 m将待转换的二进制数按各数位的权展开成一个多项式 求出该多项式的和就可以了 例如 1101 01 2 1 23 1 22 0 21 1 20 0 2 1 1 2 2 13 25 10 2 十进制整数转换成二进制整数逐次除2取余法 用2逐次去除待转换的十进制整数 直至商为0时停止 每次所得的余数即为二进制数码 先得到的余数在低位 后得到的余数排在高位 例如 将83转换成二进制数 逐次除2取余 283124112200210025122011 得到的余数从先至后依次为 1 1 0 0 1 0 1可得到 83 10 1010011 2 3 十进制小数转换成二进制小数 乘2取整法 逐次用2去乘转换的十进制小数 将每次得到的整数部分 0或1 依次记为二进制小数b 1 b 2 b m 例如 将0 8125转换为二进制小数 逐次乘2取整 0 8125 21 625 21 25 20 5 21 0 可得 0 8125 10 0 1101 2 值得注意的是 并非每一个十进制小数都能转换为有限位的二进制小数 此时可以采用0舍1入的方法进行处理 类似于十进制中的四舍五入的方法 例如 将0 335转换为二进制小数 精确到0 001 0 335 20 67 21 34 20 68 21 36 可得 0 335 10 0 0101 2 0 011 2 4 任意十进制数转换成二进制数对于任意一个既有整数部分 又有小数部分的十进制数 在转换为二进制数时 只要将它的整数部分和小数部分分别按除2取余和乘2取整的法则转换 最后把所得的结果用小数点连接起来即可 必须注意 逐次除2取余的余数是按从低位到高位的排列顺序与二进制整数数位相对应的 逐次乘2取整的整数是按从高位向低位的排列顺序与二进制小数数位相对应的 其共同特点是以小数点为中心 逐次向左 右两边排列 3 十进制数与八 十六进制数之间的转换 1 八进制 十六进制数转换成十进制数 2 十进制数转换成八进制 十六进制数 1 八进制 十六进制数转换成十进制数同二进制数到十进制数的转换一样 分别套用相应公式 例如 456 45 8 4 82 5 81 6 80 4 8 1 5 8 2 302 578125 10 C cn 18n 1 cn 28n 2 c181 c080 c 18 1 c m8 m 例如 2AF 16 2 162 A 161 F 160 2 162 10 16 15 1 687 10 D dn 116n 1 dn 216n 2 d1161 d0160 d 116 1 d m16 m 2 十进制数转换成八进制 十六进制数分别采用除8取余法 对小数部分为乘8取整法 除16取余法 对小数部分为乘16取整法 注意 在进行十进制数转换成十六进制数的过程中 对于采用除16取余法得到的余数和采用乘16取整法得到的整数 若为10 15之间的数值 最后要分别用字符A B C D E F代替 4 二进制数与八 十六进制数的转换 1 二进制数转换成八进制数 2 八进制数转换成二进制数 3 二进制数转换成十六进制数 4 十六进制数转换成二进制数 1 二进制数转换成八进制数因为23 8 所以三位二进制数位相当于一个八进制数位 它们之间存在简单直接的关系 三位一并法 从待转换的二进制数的小数点开始 分别向左 右两个方向进行 将每三位合并为一组 不足三位的以0补齐 注意 整数部分在前面补0 小数部分在末尾补0 然后每三位二进制数用相应的八进制码 0 7 表示 即完成二 八转换工作 八进制数码与二进制分组的关系列表如下 例1 将 101010001 001 2转换成八进制数 首先以小数点为中心 分别向左右两个方向每三位划分成一组 以逗号作为分界符 101 010 001 001 然后 每三位用一个相应八进制数码代替 即得 101010001 001 2 521 1 8 例2 将 10010001 0011 2转换成八进制数 首先分组 以逗号作为分界符 10 010 001 001 1小数点的左边 有一组 10 不足三位 应该补一位0 即应补为 010 小数点的右边 有一组 1 不足三位 应该补两位0 即应补为 100 则补0后的分组情况为 010 010 001 001 100 即得 10010001 0011 2 221 14 8 2 八进制数转换为二进制数此为上述转换的逆过程 将每一位八进制数码用三位二进制数码代替 即 一分为三 例3 将 576 35 8转换成二进制数 将八进制数的每位数码依次用三位二进制数代替 即得 576 35 8 101111110 011101 2 3 二进制数转换为十六进制数因为24 16 因此四位二进制数与一位十六进制数是完全对应的 四位一并法 从待转换的二进制数的小数点开始 分别向左 右两个方向进行 将每四位合并为一组 不足四位的以0补齐 然后每四位二进制数用一个相应的十六进制码 0 F 表示 即完成二 十六转换工作 十六进制数码与二进制分组的关系列表如下 例4 将 10110001 0011 2转换成十六进制数 首先以小数点为中心 分别向左右两个方向每四位划分成一组 以逗号作为分界符 1011 0001 0011 然后 每四位用一个相应十六进制数码代替 即得 10110001 0011 2 B1 3 16 4 十六进制数转换为二进制数与八 二转换类似 采用 一分为四 的方法 把每个十六进制数码用四位二进制数代替就完成了十六 二转换工作 例6 将 576 35 16转换成二进制数 将八进制数的每位数码依次用三位二进制数代替 即得 576 35 16 010101110110 00110101 2 5数字在计算机内的表示 1 正数与负数 2 原码 补码 反码 3 定点数和浮点数 1 正数与负数在计算机中数的符号也是用数码来表示的 一般用 0 表示正数的符号 1 表示负数的符号 并放在数的最高位 例如 01011 2 11 10 11011 2 11 10 2 原码 补码 反码原码表示法 用符号位和数值表示带符号数 正数的符号位用 0 表示 负数的符号位用 1 表示 数值部分用二进制形式表示 反码表示法 正数的反码与原码相同 负数的反码为对该数的原码除符号位外各位取反 补码表示法 正数的补码与原码相同 负数的补码为对该数的原码除符号位外各位取反 然后在最后一位加1 数的原码表示适合于进行乘除运算 补码用于进行加减运算 补码表示法规则 正数补码与原码同负数补码的步骤是先求原码 反码 最后一位加1 11 补 01011 11 补 原码 11011 反码 10100 最后一位加1 10101 3 定点数和浮点数 定点表示 小数点位置固定浮点表示 小数点位置不固定 定点数表示法定点表示 Fixedpoint 是指在表示一个数时使小数点的位置固定不变 根据小数点位置固定的方法不同 定点表示有定点整数和定点小数两种 前者只能表示纯整数 故将小数点固定在数的最低位之后 后者只能表示纯小数 将小数点固定在数的最高位之前 定点数的运算规则比较简单 但不适宜对数值范围变化比较大的数据进行运算 定点表示法的局限 定点数表示数的范围受字长限制 表示数的范围有限 定点表示的精度有限以上两种定点数的表示 计算机均可采用 目前的微型机中多采用定点整数形式 这里需强调的是 小数点位置为假想位置 当机器设计时将表示形式约定好 则各种部件及运算线路均按约定形式进行设计 定点数在计算机内的表示 如果是定点小数 如 0 100111 0 100111 则16位字节表示如图 浮点数表示法浮点数可以扩大数的表示范围 浮点数由两部分组成 一部分用以表示数据的有效位 称为尾数 一部分用于表示该数的小数点位置 称为阶码 一般阶码用整数表示 尾数大多用小数表示 一个数N用浮点数表示可以写成 N M Re其中 M称为浮