电磁场与电磁波的基本原理.ppt

第1章电磁场与电磁波的基本原理 1 1电磁场的基本方程1 2静电场1 3恒流电场1 4恒流磁场1 5平面电磁波 1 1电磁场的基本方程 一 电磁场中的基本场矢量电磁场中的基本场矢量有四个 电场强度E 电位移矢量D 磁感应强度B和磁场强度H 一 电场强度E场中某点的电场强度E定义为单位正电荷在该点所受的力 即 1 1 1 在上式中q为检验电荷的电量 它必须足够小 不致会影响原来的电场 F为q所受到的电场力 在国际单位制 SI 中 力F的单位为牛顿 N 电量q的单位为库仑 C 电场强度E的单位为伏 米 V m 二 电位移矢量D如果电解质中存在电场 则电介质中分子将被极化 极化的程度用极化强度P来表示 此时电介质中的电场必须用电位移矢量D来描写 它定义为式中 0为真空或空气的介电常数 0 885 10 12法拉 米 F m 在SI单位制中 D的单位为库仑 米2 C m2 1 1 2 对于线性媒质中某点的电极化强度P正比于该点的电场强度E 在各向同性媒质中某点的P和E方向相同 即式中 e为电极化率 它是没有量纲的纯数 不同的介质就有不同的 e 将式 1 1 3 代入式 1 1 2 得 1 1 3 1 1 4 式中 0 1 e 称为介质的介电常数 而 r 1 e称为介质的相对介电常数 对于各向异性介质 P的方向和E方向不一定相同 D的方向和E的方向也不一定相同 即 e和 为张量 三 磁感应强度B磁感应强度B是描写磁场性质的基本物理量 它表示运动电荷在磁场中某点受洛仑兹力的大小 假如 一个速度为v的电荷q在磁场中运动经过该点崐时 运动电荷q受到磁场力F的作用 则该点的磁感应强度B定义为 1 1 5 四 磁场强度H如果磁介质中有磁场 则磁介质被磁化 描写磁介质磁化的程度用磁化强度M来表示 此时磁介质中的磁场必须引入磁场强度H来描写 它定义为 1 1 6 式中 0为真空或空气的磁导率 0 4 10 7亨利 米 H m M和H的单位为安培 米 A m 在各向同性媒质中M和H方向相同 即有 1 1 7 将式 1 1 7 代入式 1 1 6 得B 0 H M 0 1 m H 0 rH H 1 1 8 式中 m称为媒质的磁极化率 它是一个没有量纲的纯数 0 1 m 称为媒质的磁导率 r 1 m称为相对磁导率 对于各向异性媒质 B和H及M和H方向不一定相同 即 和 m均为张量 二 全电流定律在普通物理中 曾经讨论了恒流磁场中的安培环路定律 即为上式表明 磁场强度H沿任一闭合回路的环流等于此闭合回路所包围的传导电流的代数和 那么这个定律是否适用于非恒流磁场呢 1 1 9 我们来分析电容器充放电的情况 如图1 1 1所示 在任何时刻穿过金属导体任一个横截面的电流总是相等的 但在电容器的两块极板间的传导电流等于零 因此 就整个电路而言 传导电流是不连续的 此时应用安培环路定律 图1 1 1 如取S1面 则有 如取S2面 则有 1 1 10 1 1 11 上式结果表明 在非恒流的磁场中 H的环流与闭合回路l为边界的曲面有关 选取不同的曲面 环流值就不同 这说明非恒流磁场中安培环路定律不再适用 后来麦克斯韦提出了位移电流的假设 修正了安培环路定律 使它适用于非恒流磁场 当电容器充 放电时 电容器极板上的电荷量q和电荷密度 S均随时间变化 流向极板的电流i dq dt 而其电流密度为Jd d S dt 在两极板间的电位移矢量D和穿过整个极板间截面的电位移通量 D SD均随时间变化 电位矢量D的大小等于极板上电荷密度 S 而电位移通量 D等于极板上的总电量 D S S 因此电位移矢量D和电位移通量随时间的变化率分别为 1 1 12 可见 极板间的电位移通量随时间的变化率d D dt在数值上等于极板间的电流id 而极板间电位移矢量随时间的变化率dD dt 在数值上等于板内的电流密度Jd 在电容器充电时 dD dt的方向和D的方向相同 而放电时 dD dt的方向和D的方向相反 因极板间不可能存在传导电流 因此 我们称d D dt为位移电流 dD dt为位移电流密度 即 1 1 13 引入位移电流以后 极板间的位移电流和电容器外的传导电流形成了全电流i 构成了电流的连续性 此时安培环路定律可以修正为 1 1 14 式中Jc和Jd分别为传导电流密度和位移电流密度 ic和id分别为传导电流和位移电流 三 电磁感应定律由全电流定律可知 变化的电场会产生磁场 那么变化的磁场能否产生电场呢 通过各种实验证明 变化的磁场也会产生电场 当穿过线圈所包围面积的磁通量随时间变化时 线圈内会产生感应电动势 如图1 1 2所示 它的大小等于磁通量随时间的变化率 它的方向是阻止磁通变化的方向 用数学式子表示为 1 1 15 图1 1 2 感应电势的存在 使得线圈中产生感应电流 即说明线圈中存在电场 促使电子作规则运动 从而形成感应电流 这个电场不是由电荷产生的 而是由磁通的变化产生的 故称它为感应电场 感应电场沿着任意的封闭曲线的积分应等于感应电势 用数学式子表示即为 1 1 16 由此得出一个结论 随时间变化的磁场会产生电场 而且磁通量的时间变化率愈大 则感应电动势愈大 电场愈强 反之则愈弱 同时 穿过一个曲面S的磁通量为 式中S面是以封闭曲线l为周界的任意曲面 将上式代入 1 1 16 式 就有 1 1 17 1 1 18 以上结论是由实验得到的 即假设S面的周界l一定是个导体线圈 而麦克斯韦把这个实验定律推广到包括真空在内的任意介质中 即认为变化磁场引起的感应电场的现象不仅发生在导体回路中 而且在一切介质中 只要有变化的磁场就会产生感应电场 麦克斯韦对安培环路定律和磁感应定律所作的推广 通过大量的实验证明是正确的 四 高斯定律在普通物理中讨论了静电场的高斯定律 即 1 1 19 式中V是封闭曲面S所包围的体积 q为封闭曲面S所包围的自由电荷电量的代数和 为S曲面所包围的自由电荷的体密度 五 磁通连续性原理在普通物理中讨论了恒流磁场的磁通连续性原理 即它表示磁感应线永远是闭合的 如果在磁场中取一个封闭面 那么进入闭合面的磁感应线等于穿出闭合面的磁感应线 这个原理可推广到任意磁场 即不仅适用于恒流磁场 而且适用于时变磁场 1 1 20 六 麦克斯韦方程组 一 麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程是电磁场的基本方程 是麦克斯韦在他提出位移电流的假设下 全面总结电场产生磁场和磁场产生电场的现象后提出来的 将式 1 1 14 1 1 18 1 1 19 和式 1 1 20 组合在一起就称为麦克斯韦方程组的积分形式 即 1 1 21 上述方程组中D和E J和E及B和H的关系 决定于媒质特性 对于各向同性媒质 则有 1 1 22 麦克斯韦方程组描写了D E B和H几个场矢量之间的基本关系 因此它是研究和分析电磁场和电磁波的依据 二 麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组的积分形式是讨论场中某一个区域内场矢量之间的关系的方程 在讨论实际问题时 经常需要知道场中某一点场矢量之间的关系 此时不能应用麦克斯韦方程组的积分形式来求解 而必须采用麦克斯韦方程组的微分形式 将麦克斯韦方程的积分形式转化为微分形式 既可以用矢量分析的方法进行推导 也可以利用物理概念进行分析 这里我们采用矢量分析的方法进行讨论 应用矢量分析中的散度定理 即 可将式 1 1 21 的第1和第2式分别变为应用矢量分析中的斯托克斯定理 即 可将式 1 1 21 的第三和第四式分别变为 现归纳如下 1 1 23 麦克斯韦方程的微分形式 只有两个旋度式是独立的 两个散度式子可以利用电荷守恒定律从两个旋度式子导出 七 电磁场的边界条件在讨论电磁场的实际问题时 经常会遇到两种不同媒质特性的分界面 在分界面上电磁场的分布规律称为边界条件 由于界面上的媒质特性是不连续的 故不能采用麦克斯韦方程组的微分形式 而只能采用麦克斯韦方程的积分形式来进行分析 一 边界上的电场强度E和磁场强度H电磁感应定律的积分形式为 1 1 24 为了要求边界上的电场强度E 把上式左边的积分的闭合回路取在媒质的分界面的两边 并使 l1和 l2与分界面平行且相等 矩形的两短边 h垂直于分界面且无限缩短并趋向于零 如图1 1 3所示 那么 式 1 1 24 的左边积分为 图1 1 3 而式 1 1 24 的右边积分当 h 0 S 0 时 由于B t不可能为无限大 故右边积分为零 即得到 1 1 25 此式表明 不同媒质分界面上的电场强度的切线分量是连续的 全电流定律的积分形式为 1 1 26 采用前面相同的方法 则上式左边的积分为 对于一般媒质 因Jc和D t均为有限值 故当 S 0时 式 1 1 26 右边积分等于零 于是得到磁场强度的边界条件为即不同媒质分界面上 磁场强度的切线分量是连续的 如果媒质2为理想导体 2为无限大 在分界面处电流密度Jc趋向于无限大 且有则式 1 1 26 的右边可以表示为 1 1 27 由此可以得到式中Jl为理想导体表面的面电流的线密度 它的方向与磁场强度相垂直 单位为A m 如图1 1 4所示 1 1 28 图1 1 4 二 边界上的电通密度D和磁通密度B高斯定律的积分形式为在分界面的两边作一个小的封闭圆柱体 如图1 1 5所示 S1和 S2分别为圆柱体的顶面和底面且相等 即 S1 S2 S 它们分别与分界面平行且无限接近 使圆柱面的侧面很小并趋近于零 则穿过圆柱体侧面的电通量可以略去不计 故式 1 1 29 的左边积分为 1 1 29 图1 1 5 若分界面上不存在自由电荷 则式 1 1 29 右边积分为零 于是得到界面上无自由电荷时的电通密度的边界条件为 1 1 30 即表明在无自由电荷的分界面上 电通密度的法向分量是连续的 若分界面上存在自由电荷时 并设电荷的面密度 S 则由高斯定律可以得到 1 1 31 磁通连续性定理的积分形式为 采用上面相同的方法 便可得到 1 1 32 即分界面上磁感应强度的法向分量永远连续 因此电磁场的边界条件可归纳如下 1 1 33 八 交变电磁场的能量及能流电磁场中能量守恒定律可由麦克斯韦方程导得 下面写出具体推导过程 麦克斯韦方程的两个旋度式为 应用矢量恒等式 1 1 35 将式 1 1 34 代入上式 便得到 1 1 36 对于各向同性媒质 则有下列关系 1 1 37 将式 1 1 37 代入式 1 1 36 便得到 将上式对电磁场空间中任取一个封闭面S所包围的体积V作体积分 则有 应用散度定理上式变为 1 1 38 1 2静电场 一 静电场的基本方程从麦克斯韦方程组知道 电场和磁场是不可分割的统一整体 但在某些特殊情况下 电场和磁场可以单独地表现出来 例如 对于观察者来说在静止不动的电荷周围 只能发现电场 在静止不动的永久磁铁周围 只能发现磁场 因此 我们就有可能将电场和磁场分开来加以研究 静电场是电磁现象中的一种特殊情况 即电荷相对观察者来说是静止不动的 因此静电场是不随时间变化的 这样麦克斯韦方程组的微分形式可简化为 1 2 1 上式表明电场和磁场是相互独立的 可以分开来加以讨论 于是静电场的基本方程为 1 2 2 因此 静电场是无旋场 即静电场所在的空间电场强度的旋度处处为零 静电场又是一个有源场 即电通密度矢量来自空间电荷分布 二 高斯定律由静电场的基本方程知道 静电场是一个有源场 即 把它写成积分形式 即为静电场的高斯定律 1 2 3 即在静电场中穿过任意闭合曲面的电位移通量等于闭合曲面内所包围的自由电荷电量的代数和 这是静电场的一个重要性质 在一般情况下 当给定电荷分布时 不能直接应用高斯定律来求电位移矢量D 因为它只给出D沿闭合面的通量 根据通量一般无法求出任意一点的D 但当电荷是按一定的对称性分布时 我们只要选择一个合适的高斯面 使得高斯面上各点的D值相等 且D的方向永远和高斯面相垂直 在这种情况下 应用高斯定律就很方便地求得静电场中某点的电场强度 例题1 2 1设电荷均匀分布在半径为a的介质球内 其体电荷密度为 求该电荷产生的电场分布 球内的介电常数为 球外为 0 解 由于电荷分布是球对称分布 因此可应用高斯定律来求解 只要以球心为圆心 以距球心距离r为半径作一个高斯面 在这个高斯面上的电位移矢量处处相等 且方向垂直于高斯面 因此在各个区域内 离球心为r处的电场强度分别为 1 在球内 r a 图1 2 1 2 在球外 r a 得 三 电位 电位梯度 一 电位由静电场的基本方程可知 静电场是个无旋场 根据矢量分析 任何一个无旋矢量场均可用一个标量场来表示 即因此 静电场同样可用一个标量的电位函数来描写 它具有明确的物理意义 它和电场力对电荷所作的功有关 根据电场强度E的定义 E表示单位正电荷在场中所受的电场力 当单位正电荷在电场力的作用下 由A点经过l到B点 则电场力对单位正电荷所作的功为 1 2 4 由于静电场是无旋场 故有 1 2 5 此式表明 单位正电荷在电场力的作用下移动一个闭合回路 则电场力对单位正电荷所作的功为零 例如 对于如图1 2 2所示的闭合路径ANBMA 则有 1 2 6 图1 2 2 由此可见 在静电场中当电荷在电场力的作用下发生位移时 电场力对电荷所作的功仅和电荷位移的起点和终点的坐标有关 而和电荷位移的路径无关 因此式 1 2 4 可以表示 1 2 7 把单位正电荷从A点移到B点 电场力所作的功称为A点到B点的电位差 即 1 2 8 如果我们选择场中某点P作为参考零电位点 即令其电位为零 则有 1 2 9 因此 场中任意一点的电位是单位正电荷在电场力的作用下从该点移到参考零电位点电场力所作的功 由上面的分析可知 电位是标量 它的计算要比电场强度矢量的计算方便得多 因此 我们常采用电位来描写电场 当电荷分布已知时 可以求出场中任一点的电位 例如 求点电荷产生电场中的电位 如果取距点电荷距离为rp的一点作为参考点 则距点电荷距离为r一点的电位为 1 2 10 如取rp 则C 0 对于体 面及线电荷密度分别为 V S及 l的电荷分布时 则空间任一点的电位分别为 1 2 11 式中r为源点到场点的距离 C决定于参考点的位置 在电场中将相同电位的各个点联成一个面称为等位面 在等位面上移动电荷 电场力既不对电荷作功 电荷也不会获得能量 即E dl 0 1 2 12 这表明电场强度矢量必与等位面相正交 而且由于场中任意点都有一个确定的电位值 因此 等位面绝不会相交 二 电位梯度虽然利用标量电位求解静电场比较方便 但描写电场的基本物理量还是电场强度矢量 因此有必要找到空间某一点电位 和电场强度矢量E的关系 如图1 2 3所示的两个等位面 A和 B无限靠近 它们之间的电位差为d 则 可见 当E和dl方向相同时 则d 0 即沿着电场方向电位是降低的 故有 式中E 是E在dl方向上的投影 l是电位对l的方向导数 1 2 13 因此 电场强度E沿着任意l方向的投影等于该方向上电位的方向导数的负值 如果选取dl方向使电位沿着这方向增加最快 即 l具有正的最大值 则 l max等于电场强度E的数值 而dl的方向和E的方向相反 由矢量分析知道 大小等于 l max 方向为使 l获得最大增量的方向的矢量 称为标量函数 的梯度 用符号grad 或 表示 即 1 2 14 四 电位的泊松方程和拉普拉斯方程对于静电场的求解 一般采用电位函数作为辅助量 并导出标量电位的微分方程 然后解标量电位方程求出电位分布 最后根据电位和电场强度的关系式 求出电场强度的分布 下面我们来推导标量电位微分方程 对式 1 2 14 两边取散度 并应用两个关系式 便得 1 2 15 上式称为标量电位的泊松方程 即在有电荷分布空间中的电位满足泊松方程 而对于没有电荷分布的空间 即 0 则式 1 2 15 变为上式称为拉普拉斯方程 即表明在没有电荷分布的空间中的电位满足拉普拉斯方程 式中为二阶微分算符 在各种坐标系中 有不同的表达式 见附录一 1 2 16 例题1 2 2如图1 2 4所示的金属球壳 其内壳半径为a 外壳半径为b 球壳厚度可不计 设内球壳电位为Ua 外球壳电位为Ub 求球壳间的电位分布及崐电场强度分布 解 由于球壳内无电荷分布 故电位满足拉普拉斯方程 在球坐标中 图1 2 4 由于电位分布是球对称的 即 0 因此上式简化为 上式对r两次积分 得到 式中常数C1和C2可由边界条件来确定 其边界条件为 将此边界条件代入上式 解得 在球坐标中 五 静电场的边界条件在两种介质的介电常数分别为 1和 2的分界面上 由于介质性质的变化 电场也会相应发生变化 在分界面两侧的介质中场量之间的关系称为分界面上的边界条件 静电场的边界条件可由静电场的基本方程导出 也可以直接从电磁场的边界条件得到 即有 1 2 17 可见 在两种不同介质的分界面上电场强度的法向分量总是不连续的 其原因在于介质分界面上存在束缚电荷 其束缚电荷的密度为 1 2 18 根据上述边界条件 可以求出没有电荷分布的分界面上电场强度矢量方向的改变情况 假设 1介质中的电场E1与分界面的法线成 1的夹角 而 2介质中电场E2与分界面的法线成 2的夹角 崐则由式 1 2 17 可方便得到 1 2 19 图1 2 5 六 电容两导体电容的定义为 当两导体带有异性电荷时 电量Q与两导体间的电位差之比 即 1 2 20 导体电容是与导体的形状 尺寸和周围介质的分布有关的常数 如果把其中一个导体移到无限远处 则两导体间的电位差即为另一个导体的电位 此时两导体的电容即为孤立导体的电容 其电容量为该导体的电量Q与电位 之比 例题1 2 3已知同轴线内外导体半径分别为a和b 内外导体间填充介电常数为 的介质 求同轴线单位长度上的分布电容 解 设同轴线内外导体单位长度上所带的电荷量分别为 l和 l 应用高斯定律很易求得介质内的电场强度E为 1 2 21 于是内外导体之间的电位差为 故单位长度上的电容为 有两个导体以上的系统称为多导体系统 这系统中的每个导体所带的电量都会影响所有导体的电位 在线性介质中 应用叠加原理可得到每个导体的电位和各个导体所带的电荷量的关系 假设N个导体所带的电量分别为q1 q2 q3 qN N个导体的电位分别为 1 2 3 N 则有 1 2 22 上式中pij都是常数 称为电位系数 具有相同下标的称为自电位系数 具有不同下标的称为互电位系数 每个电位系数与导体的形状 相对位置以及介质特性有关 而与导体所带的电量无关 当各个导体的电位已知时 则可从式 1 2 22 解出各个导体所带的电量为 1 2 23 式中 ij称为静电感应系数 具有相同下标的称为自静电感应系数 具有不同下标的称为互静电感应系数 由式 1 2 23 可以得到 ij的定义 例如 1 2 24 1 2 25 可见 11为除导体1以外其余导体都接地时 导体1上的电荷量和自身电位之比值 ij为除导体j以外其余导体都接地时导体i上电荷量和导体j的电位之比值 可以证明互感应系数具有互易特性 即 ij ji 1 2 26 我们令Cij ij Ckk k1 k2 kN 则式 1 2 23 可改写为 式中Cij称为部分电容 具有相同下标的称为自部分电容 具有不同下标的称为互部分电容 从式 1 2 27 可以看出 1 2 27 1 2 28 1 2 29 即C11为所有导体都和导体 相联时 导体 上的电荷量与其自身的电位之比值 如图1 2 6 a 所示 而C12为除导体 以外所有导体都接地时 导体 上所带的电荷量与导体 和 之间的电位差的比值 如图1 2 6 b 所示 图1 2 6 图1 2 7 必须指出 在多导体系中 任意两个导体之间的互部分电容Cij 或任一导体对地的自部分电容 与前面定义的两导体间的电容不同 Cij和其它部分电容组成的等效电容才是多导体中两个导体间的电容 三个导体和大地的等效电容的示意图如图1 2 7所示 1 3恒流电场 一 恒流电场的基本方程恒流电场是指不随时间变化的电流所产生的电场 恒流电场中电荷是不断运动的 微观上来说是不规则的 但宏观上来说 电荷分布在任何时间是不变的 因此 恒流电场的性质和静电场是可以比拟的 如果导电媒质外部电介质中没有电荷分布 则麦克斯韦方程可简化为 1 3 1 即恒定电流在导体外部产生的电场和没有电荷分布空间的静电场具有相同的性质 电场也是无旋场 为了保持电流恒定不变 导电媒质中任何一个体积V内的电荷量必须不随时间变化 此时电荷运动达到动态平衡 即任何时刻流入体积内的电荷量等于从该体积内流出的电荷量 换言之 从包围此体积的闭合面穿出的J的通量为零 又因为从闭合面流出的电流等于单位时间内体积中电荷的减少量 故有 由散度定理得 1 3 2 1 3 3 因上式与体积V的选择无关 故被积函数应等于零 即 1 3 4 上式即为恒流电场下导电媒质中的电流连续性原理的微分形式 导电媒质中电流密度与电场强度之间的关系为 1 3 5 上式为欧姆定律的微分形式 为导电媒质的电导率 单位为S m 于是得到导电媒质中的电场的基本方程为 1 3 6 二 恒流电场的边界条件由于在电导率分别为 1和 2的分界面上有电荷的积聚 故电流要发生突变 根据恒流场在导电媒质中的基本方程可导出恒流电场的边界条件 由于导电媒质中恒流电场的基本方程式和无电荷分布区域的静电场基本方程形式完全相同 由此导出的边界条件也相仿 这里不作推导 仅给出结果如下 1 3 7 上式表明 在两种导电媒质的分界面上 电流密度的法向分量连续 电场强度的切向分量连续 电流密度矢量与分界面的法线之间的夹角的正切之比等于两导电媒质的电导率之比 在导电媒质与电介质的分界面上 由于电介质完全不导电即 2 0 则必有J2 0 并得到Jn2 Jn1 0 即表明导电媒质中不可能存在电流密度的法向分量 电流线必与界面重合 三 恒流电场与静电场的比拟从前面分析知道 导电媒质中的恒流电场和没有电荷分布的介质中的静电场的基本方程是相似的 而且可以证明两种情况下的电位均满足拉普拉斯方程 将两种场的基本方程重写如下 以资比较 静电场恒流场基本方程 边界条件 由此可见 导电媒质中J和介质中D相对应 导电媒质的电导率 和电介质的介电常数 相对应 由于导电媒质中恒流电场与电介质中静电场相似 因此电导的计算与电容相似 如果两电极形状和边界条件均相同 则两电极间的电导G与电容C之间存在下列关系 因此 只要将电容的计算公式中的 换成 就可以得到电导的计算公式 电导的倒数即为电阻 下面举例说明 1 3 8 例题1 3 1同轴线的内外半径分别为a和b 内外导体间的介质的电导率为 因而内外导体间有漏电流 试求单位长度上内外导体间的漏电阻 如图1 3 1所示 解 这里采用静电比拟的方法求解十分方便 由例题1 2 3求得同轴线单位长度上电容计算公式为 由于两者边界条件相同 只要用 来代替上式中 即可得到同轴线到漏电导的计算公式为 故漏电阻为 1 4恒流磁场 一 恒流磁场的基本方程恒定电流产生的磁场称为恒流磁场 即空间电流的分布状态是不随时间变化的 因此恒流磁场也是不随时间变化的 描写磁场的物理量磁感应强度B和磁场强度H仅是空间坐标的函数 由麦克斯韦方程可以得到恒流磁场的基本方程为 由方程看出 恒流磁场和恒流电场不同 恒流磁场是有旋场 即在有电流分布的空间任意点磁场强度H的旋度等于该处的电流密度 恒流磁场又是无源场 磁感应强度的散度处处为零 即磁感应线是无头无尾的封闭线 但在无电流分布的空间中的恒流磁场的方程为 1 4 1 1 4 2 二 矢量磁位在静电场中 引入了标量电位函数的物理量 由于磁场是有旋场 因而在有电流分布的空间不存在一个梯度的负值处处等于磁场强度的标量位函数 因此在磁场中 必须引入一个矢量磁位函数 由毕奥 沙瓦定律可以发现 磁感应强度可以用另一个矢量的旋度来表示 毕奥 沙瓦定律为 1 4 3 式中J为源点的电流密度 r为源点到场点的距离 B为场点产生的磁感应强度 利用矢量等式 因为是对场点的微分运算 而J是源点的函数 因此 J 0 故有 因此式 1 4 3 可以改写为 因为J是源点坐标的函数 故对场点坐标算符 可以移到积分号外面 故有 由此可见 场点的磁感应强度B可以用另一个矢量的旋度来表示 令该矢量为矢量磁位A 即 1 4 4 1 4 5 A是个矢量 在直角坐标中三个分量分别与电流密度J的三个分量有关 即 1 4 6 如果电流分布在表面S上和细导线回路中则矢量磁位分别为 1 4 7 在静电场中 当给定体电荷密度 时 场中某点的电位为 1 4 8 1 4 9 将式 1 4 6 和式 1 4 8 相比较 可以得出结论 A的每一个分量必满足下列泊松方程 1 4 10 当然 矢量磁位A也一定满足泊松方程 1 4 11 例题1 4 1用矢量磁位计算如图1 4 1所示的同轴线中的磁感应强度B 解 采用圆柱坐标系 其拉普拉斯算符为 因J azJz 故有A azAz 又因场分布具有轴对称性 且假设同轴线为无限长 则有 故式 1 4 10 变为 将上式两边积分两次 便得 图1 4 1 下面分别对三个区域进行求解 三个区域中的Az Jz B 及积分常数分别用下标1 2和3表示 当r r1时 因在r 0处 A1应为有限值 则必有C1 0 故 当r1 r r2时 Jz J2 0故 当r r1时 当r1 r r2时 当r2 r r3时 式中的积分常数由边界条件求得在r r1处 得 即 得 必须指出 由于磁场是有旋场 因而在有电流分布的空间不可能存在一个标量函数 即磁场不是一个位场 而在没有电流分布的空间内 磁场强度的旋度为零 故在无电流分布的空间内的磁场也可应用标量位函数来进行分析 和静电场相似 我们令 1 4 12 式中 m为标量磁位 标量磁位也满足拉普拉斯方程 即 1 4 13 因此对于没有电流分布空间内的磁场的求解 只要解标量磁位的拉普拉斯方程 并结合边界条件求出合适的解 m 然后再由式 1 4 12 求出磁场强度H 三 恒流磁场的边界条件磁场在不同媒质分界面上的边界条件同样可由电磁场边界条件式 1 1 33 得到 1 4 14 若分界面上没有面电流分布时 则有 1 4 15 图1 4 3 即在没有电流分布的分界面上磁场强度的切线分量和磁感应强度的法向分量均连续 由式 1 4 15 可以导出磁场在没有电流分布的分界面上的折射规律为 1 4 16 当 1 2时 则 1 2 图1 4 2给出了 1 2的情况 由式 1 4 15 看出 当 1 2时 即使 1取得很大 2还是很小 四 电感在静电场中我们定义电荷和电压的比值为电容 在恒流磁场中 我们定义穿过闭合回路磁通与该回路中的电流的比值为电感 电感可分自感和互感 自感又可分内自感和外自感 下面我们分别讨论之 一 自感设有一闭合回路中通有电流I 穿过该闭合回路的磁通为 m 则该回路的自感为 1 4 17 现有如图1 4 3所示的单匝线圈中通有电流I 则穿过该线圈的磁通可由矢量磁位的闭合积分求得 即 1 4 18 对于细导线我们假设电流集中于导线的轴线l1上 则矢量磁位A为 1 4 19 将上式代入式 1 4 18 得 1 4 20 上式为二重积分 式中r为dl1与dl2间的距离 故单匝线圈的自感为 1 4 21 对于多匝线圈 且假定各个线圈紧密绕在同一个位置 此时产生磁场的电流可以看成是NI N为线圈的匝数 则穿过线圈每匝的磁通为 1 4 22 由于通过每一匝线圈的磁通都相同 故N匝线圈穿过的总磁通为 N 因此多匝线圈的自感为 1 4 23 式中L为相同尺寸单匝线圈的自感 多匝线圈的自感与匝数平方成正比 假设载流导线所构成的回路尺寸远比导线的截面尺寸大 则导线内部的磁场可以认为和无限长直导线内部的磁场相同 并假设导线的截面积为圆形 其半径为R 导线材料的磁导率为 如图1 4 4所示 下面讨论它的内自感 应用安培定律 求得导线内部距轴线r处的磁通密度为 1 4 24 因为磁通密度线是以轴为圆心 r为半径的圆 则在r处穿过dr厚度 l长度截面的磁通为 这些磁通仅和 r R 2I的电流相交链 因此和这部分电流相交链的磁链为 故总的磁链为 1 4 25 因此长度为l的圆形截面导线的内电感为 1 4 26 单位长度上的内自感为 1 4 27 上式表明 单位长度上的内电感和导线的截面尺寸无关 仅和导线的磁导率有关 磁导率愈大 内自感愈大 图1 4 4 二 互电感当两个闭合回路靠得比较近时 如图1 4 5所示 一个回路中通有电流I1时 则在第二个回路l2中产生的交链磁链为 1 4 28 式中A21是I1在第二回路处产生的矢量磁位 即 1 4 29 图1 4 5 将上式代入式 1 4 28 得 1 4 30 则回路l1对回路l2的互感为 1 4 31 可以证明 M21 M12 M 式 1 4 21 和式 1 4 31 相比较可知导线回路的外自感就等于导线几何轴线l1构成的回路与内侧边线l2构成回路间的互感 例题1 4 2设双线传输线间的距离为D 两导线的半径均为r D r 求每单位长度的外自感 解 如图1 4 6所示 假设A和B两导线中的电流分别为I和 I 则根据安培定律 可求得在垂直于两导线的平面上 且与导线A相距为x处的磁通密度为 图1 4 6 与单位长度传输线相交链的磁通为 于是 单位长度的电感为 1 5平面电磁波 一 理想介质中的均匀平面波所谓理想介质是指线性 均匀 各向同性的非导电媒质 在理想介质的无源区域 即 0 J 0 中的麦克斯韦方程为 1 5 1 将上式第一式两边取旋度 即 将式 1 5 1 的第二式代入上式 得到 利用矢量恒等式 又因 于是得到 1 5 2 同理 将式 1 5 1 的第二式两边取旋度 采用上面相同的方法得到 1 5 3 式 1 5 2 和式 1 5 3 为理想介质中电场和磁场的波动方程 这个方程为矢量波动方程 若取直角坐标系 则分别可以定出x y和z方向三个标量波动方程 但由于讨论的电磁波为均匀平面波 波阵面内各点场强相等 若假设电磁波的传播方向为z方向 横向电场取向为x方向 则横向磁场取向定为y方向 即Ey Hx 0 而且有 对于时变电磁场若要满足上式则必有Hz 0和Ez 0 可见在无限大理想介质中的平面波没有电磁场的纵向分量 这种电磁波称为横电磁波或TEM波 于是两个矢量波动方程简化为以下两个标量波动方程 并将上式代入式 1 5 1 第一和第二式分别得到 和 对于正弦变化的均匀平面波 上式用复数表示 即为复数形式的波动方程 又称亥姆霍茨方程 即 1 5 4 1 5 5 若令 2 k2 则 1 5 6 如果只考虑向正z轴方向传播的波时 式 1 5 6 波动方程解的复数形式为 将上式写成瞬时形式为 1 5 7 图1 5 1 上式表明 理想介质中的均匀平面波沿着电磁波的传播方向振幅不变 相位不断滞后 如图1 5 1所示 等相位面移动的速度为电磁波的相速度 电磁波的等相位方程为 t kz 常数上式对t微分 即可求得电磁波的相速度为 1 5 8 并等于媒质中的光速 相速 频率和波长的关系为 1 5 9 可见媒质中电磁波的波长也和媒质特性有关 0为自由空气中的波长 亦称为工作波长 电场强度和磁场强度的关系 可由麦克斯韦方程的旋度式得到 1 5 10 对于匀均平面电磁波 上式变为 其复数形式为 1 5 11 比值 称为理想介质中的均匀平面电磁波的波阻抗 它完全决定于媒质特性参量 在空气媒质中的波阻抗为 1 5 12 由此可见 理想介质中的波阻抗是个实数 表明空间某一点的电场和磁场在时间上是同相的 下面讨论理想介质中平面电磁波的能流密度矢量 即复数坡印亭矢量 根据定义 1 5 13 例题1 5 1频率为3GHz的平面电磁波 在理想介质 r 21 r 1 中传播 计算该平面波的相位常数 相速度 相波长和波阻抗 若Ex0 01V m 计算磁场强度及能流密度矢量 解 相位常数 相波长 波阻抗 磁场强度在y方向 其振幅为 能流密度矢量为 二 导电媒质中的平面波具有一定电导率的媒质称为导电媒质 电磁波在这种媒质中传播会产生传导电流 于是全电流定律微分形式的复数表达式为 1 5 14 式中 j 称为复介电常数 它是复数 采用与推导理想介质中波动方程相同方法 可以得到导电媒质中的波动方程为 1 5 15 上式和理想媒质中平面电磁波的波动方程相比 形式完全相似 所不同的仅是导电媒质中的介电常数是个复数 对于电场取向为x方向的均匀平面电磁波 则波动方程可简化为 1 5 16 1 5 17 1 5 18 为衰减常数 如果只考虑向正z方向传播时 式 1 5 16 波动方程的解为 1 5 19 上面结果表明 导电媒质中均匀平面波 沿着波的传播方向振幅按指数衰减 导电媒质的电导率 愈大 频率愈高 则振幅衰减愈快 而且波的相位常数是频率的函数 因此相速度也是频率的函数 这种电磁波称为色散波 导电媒质中的波阻抗是个复数 即 1 5 20 一 的情况将用二项式定理展开 并略去高次项 得 1 5 21 1 5 23 用相同方法 将波阻抗简化为 1 5 23 二 的情况对于 的良导体 传导电流远大于位移电流 则和可简化为 1 5 24 而 1 5 25 由此可见 当电磁波进入良导体以后 很快就衰减完 因此高频电磁波只能存在于良导体表面的一薄层内 这种电磁波趋向于导体表面的效应称为趋肤效应 通常用透入深度 表示电磁波在导体内的衰减快慢或电磁波在导体内的穿透能力 透入深度 定义为进入良导体的电磁波场强衰减到原值的1 e所穿透的距离 根据定义 则有Ex0e 1 e Ex0 即 1 5 26 下面讨论导电媒质中的能流密度矢量 因E和H不同相 且E超前H一个相角 假设E的相角为零 则H的相角为 即 1 5 27 功率流密度的平均值为式中 为波阻抗的相角 即电场强度超前磁场强度的相位角 对于良导体 4 导电媒质中的均匀平面波的电场和磁场的分布规律如图1 5 2所示 可见导电媒质中均匀平面波的振幅沿传播方向按指数衰减 相位沿传播方向不断落后 在时间相位上电场强度超前磁场强度一个小于 4的相角 1 5 28 图1 5 2 三 电磁波的极化电磁波的极化是指电场强度矢量在空间的取向 在讨论沿z方向传播的均匀平面波时 若电场只有Ex分量 则电磁波的极化方向为x方向 若电场只有Ey分量 则电磁波的极化方向为y方向 一般情况下 电场Ex和Ey都可能存在 且这两个分量的振幅和相位不一定相同 设两个分量的瞬时值为 1 5 29 一 线极化波如果两个分量相位相同 或相反 即 x y 则任何瞬间合成的电场强度大小为 1 5 30 合成电场强度与x轴正方向的夹角为 1 5 31 可见 合成电场强度的大小随时间变化 而方向始终不变 电场矢量的端点在空间所描绘出来的轨迹为一直线 这种电磁波称为线极化波 如图1 5 3所示 图1 5 3 二 圆极化波如果电场强度的两个分量的振幅相等 相位相差 2 即Ex0 Ey0 x y 2 此时两个分量的瞬时值为 则合成场强的大小为 1 5 32 合成场强的方向与x轴的夹角有如下关系 1 5 33 由此可见 合成电场强度的振幅不随时间变化 而合成电场强度的方向以角频率 在xoy平面上作旋转 即电强度矢量端点的轨迹是一个圆 称为圆极化波 当合成场E的旋转方向与电磁波的传播方向符合右螺旋关系时 这个圆极化波称为右旋圆极化波 如E1 反之称为左旋圆极化波 如E2 如图1 5 4所示 三 椭圆极化波如果电场强度的两个分量的相位差既不为0 又不为 2 即 x y 0 2的一般情况 通过数学演算 从解析几何可知合成电场强度E的端点轨迹为一个椭圆 故称为椭圆极化波 和圆极化波相同 可分右旋椭圆极化波和左旋椭圆极化波 如图1 5 5所示 线极化波和圆极化波都可以看成是椭圆极化波的特例 任一线极化波又可以分解为两个振幅相等 旋转方向相反的圆极化波 图1 5 4 图1 5 5 四 正弦平面波在不同媒质分界面上的垂直入射当正弦平面波垂直投射到两种不同媒质的分界面上 因为两种媒质有不同的波阻抗 因此在两种媒质中的E和H的比值不同 电磁波既要满足媒质中的波动方程 又要满足分界面上的边界条件 此时电磁波在分界面上必然会产生反射和折射现象 这里讨论两半无限大媒质分界面上的垂直入射情况 假设分界面与xoy平面相重合 z 0为 1 1的媒质 z 0为 2 2的媒质 并假设入射波方向为正z方向 则入射波电场Ei和磁场Hi一定平行于分界面 如假定电场强度矢量的入射波Ei 反射波Er及折射波Et的正方向均为正x方向 则根据传播方向分别定出磁场强度矢量的入射波Hi 反射波Hr及折射波Ht的方向 如图1 5 6所示 图1 5 6 根据分界面上电磁场的边界条件 当场量随时间按正弦规律变化时 在z 0的分界面上有 1 5 34 根据电磁波在媒质中的传播规律 又有 1 5 35 将式 1 5 35 代入式 1 5 34 的第二式 可得 1 5 36 联立求解式 1 5 34 和式 1 5 36 得到 1 5 37 1 5 38 R与T可表示为 分界面上的反射场强和折射场强求得以后 就可利用波的传播规律求得两种媒质中任意一点的场强 在z 0的第一媒质中 离界面距离为z处的场强为该点的入射波场强和反射波场强之和 即 在z 0的第二媒质中 离界面距离为z处的场强为 1 5 41 1 5 42 式中k1为第一媒质的波数 k2为第二媒质的波数 如果第二媒质为理想导体 则有Et0 0 即R 1 T 0 1 5 43 将上式代入式 1 5 41 则在第一媒质中 离界面距离为z处的场强为 1 5 44 1 5 45 图1 5 7 例题1 5 2正弦平面波由自由空间向一理想介质 r 4 r 1 垂直入射 设入射波场强Ei0 1V m 1 求反射系数R和折射系数T 2 求分界面上场强 Er0 Hi0 Hr0 El0及Hl0 3 求距界面为 4 3及 2的自由空间内的场强 解 1 2 3 五 正弦平面波在不同媒质分界面上的斜入射当正弦平面波以任意入射角向分界面斜入射时 电场强度E和磁场强度H在分界面上不仅有切线分量 而且还有法向分量 而边界条件只和切线分量有关 切线分量又和波的极化有关 一 正弦平面波在媒质分界面上的反射和折射规律以垂直极化波为例 平行极化波相同 来讨论正弦平面波在分界面上的反射和折射规律 首先我们令Ki Kr Kt分别表示入射波 反射波和折射波的波矢量 r为空间任意一点的矢径 i r和 t分别表示入射波 反射波和折射波与分界面的法线方向的夹角 其中 1 5 46 五 正弦平面波在不同媒质分界面上的斜入射当正弦平面波以任意入射角向分界面斜入射时 电场强度E和磁场强度H在分界面上不仅有切线分量 而且还有法向分量 而边界条件只和切线分量有关 切线分量又和波的极化有关 当平面波斜入射到分界面上时 入射方向与