学案4基本不等式及应用.ppt

从近几年的高考试题看 均值不等式 a b R 的应用一直是高考命题的热点 在选择题 填空题 解答题中都有可能出现 它的应用范围涉及高中数学的很多章节 且常考常新 但是它在高考中却不外乎大小判断 求最值 求取值范围等 因此2012年的高考复习 要注意复习方向 1 如果a b R 那么 当且仅当时取 2 如果a b是正数 那么 当且仅当时取 3 通常把叫做基本不等式 a 0 b 0 a2 b2 2ab a b a b 若a 0 b 0 a b 2 则下列不等式对一切满足条件的a b恒成立的是 写出所有正确命题的编号 ab 1 2 a2 b2 2 a3 b3 3 2 考点1基本不等式 分析 由基本不等式和其变形式判断 化不等式为基本不等式的形式 解析 ab 1 成立 欲证 即证a b 2 2 即2 0 显然不成立 欲证a2 b2 a b 2 2ab 2 即证4 2ab 2 即ab 1 由 知成立 a3 b3 a b a2 ab b2 3 a2 ab b2 a b 2 3ab 4 3ab ab 由 知 ab 不恒成立 欲证 2 即证 2 即ab 1 由 知成立 故填 评析 熟练掌握基本不等式及其几种变形式 应用均值不等式判断命题的真假的关键是看是否符合均值不等式的条件 即a2 b2 2ab成立的条件是a b R 而成立的条件是a 0且b 0 若a b是正数 则这四个数的大小顺序是 a b是正数 而 又a2 b2 2ab 2 a2 b2 a b 2 因此 已知x 0 y 0 x 2y 2xy 8 则x 2y的最小值是 A 3B 4C D 分析 在x 2y 2xy中2xy与x 2y有联系 x 2y 2 故可由基本不等式建立求x 2y的最小值的不等式 考点2利用基本不等式求最值 解析 x 2y 2xy 8 x 2y 2 8 x 2y 令x 2y t 则t 8 t2 4t 32 0 t 2 2 36 又x 0 y 0 t 0 t 4 即x 2y 4 成立时x 2 y 1 x 2y的最小值为4 故应选B 评析 1 利用均值不等式求最值需注意的问题 各数 或式 均为正 和或积为定值 等号能否成立 即 一正 二定 三相等 这三个条件缺一不可 2 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧 而拆与凑的目标在于使等号成立 且每项为正值 必要时需出现积为定值或和为定值 3 当多次使用均值不等式时 一定要注意每次是否能保证等号成立 并且要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 因此在利用均值不等式处理问题时 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤 而且也是检验转换是否有误的一种方法 若正实数x y满足2x y 6 xy 则xy的最小值是 解析 由x 0 y 0 2x y 6 xy 得2x y 2 6 当且仅当2x y时 取 即 2 2 6 0 3 5 0 又 0 3 即xy 18 xy的最小值为18 围建一个面积为360m2的矩形场地 要求矩形场地的一面利用旧墙 利用的旧墙需维修 其他三面围墙要新建 在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口 如图所示 已知旧墙的维修费用为45元 m 新墙的造价为180元 m 设利用的旧墙长度为x 单位 m 修建此矩形场地围墙的总费用为y 单位 元 1 将y表示为x的函数 2 试确定x 使修建此矩形场地围墙的总费用最小 并求出最小总费用 考点3基本不等式的实际应用 解析 1 如图 设矩形的另一边长为am 则y 45x 180 x 2 180 2a 225x 360a 360 由已知xa 360 得a y 225x 360 x 0 2 x 0 225x 2 10800 y 225x 360 10440 当且仅当225x 时 等号成立 即当x 24m时 修建围墙的总费用最小 最小总费用是10440元 评析 在应用均值不等式解决实际问题时 要注意以下四点 1 设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数 2 建立相应的函数关系式 确定函数的定义域 3 在定义域内只需再利用均值不等式 求出函数的最值 4 回到实际问题中去 写出实际问题的答案 某公司一年购买某种货物400吨 每次都购买x吨 运费为4万元 次 一年的总存储费用为4x万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x 吨 解析 1 基本不等式 1 注意不等式成立的条件a 0 b 0 当a 0 b 0时 分别叫做这两个正数的算术平均数 几何平均数 因此 该不等式又可记作两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 2 基本不等式具有将 和式 转化为 积式 与将 积式 转化为 和式 的放缩功能 在证明或求最值时 要注意应用这种转化思想 2 创设应用基本不等式的条件 1 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧 而拆与凑的目标在于使等号成立 且每项为正值 必要时出现积为定值或和为定值 因此 通常称 一正 二定 三等 2 当多次使用基本不等式时 一定要注意每次是否能保证等号成立 并且要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 因此在利用基本不等式处理问题时 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤 而且也是检验转换是否有误的一种方法 1 基本不等式具有将 和式 转化为 积式 与将 积式 转化为 和式 的放缩功能 在证明或求最值时 要注意这种转化思想的应用 2 创设应用基本不等式的条件 1 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧 而拆与凑的目标在于使等号成立 且每项为正值 必要时出现积为定值或和为定值 2 当多次使用基本不等式时 一定要注意每次是否能保证等号成立 并且要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 因此在利用基本不等式处理问题