等比数列学案_1

1 / 19等比数列学案本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址文章来源m 第 3 课时等比数列的前 n 项和知能目标解读1.掌握等比数列的前 n 项和公式的推导方法-错位相减法，并能用其思想方法求某类特殊数列的前 n 项和.2.掌握等比数列前 n 项和公式以及性质，并能应用公式解决有关等比数列前 n 项的问题.在应用时，特别要注意q=1 和 q1 这两种情况.3.能够利用等比数列的前 n 项和公式解决有关的实际应用问题.重点难点点拨重点：掌握等比数列的求和公式，会用等比数列前 n 项和公式解决有关问题.难点：研究等比数列的结构特点，推导等比数列的前 n项和的公式及公式的灵活运用.学习方法指导1.等比数列的前 n 项和公式（1）设等比数列an，其首项为 a1，公比为 q，则其前n 项和公式为2 / 19na1 (q=1)Sn=.(q1)也就是说，公比为 q 的等比数列的前 n 项和公式是 q 的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在 q=1 处.因此，使用等比数列的前 n 项和公式，必须要弄清公比 q 是可能等于 1 还是不等于 1，如果 q 可能等于 1，则需分 q=1 和q1 进行讨论.（2）等比数列an中，当已知 a1,q(q1)，n 时，用公式 Sn=，当已知 a1,q(q1)，an 时，用公式 Sn=.2.等比数列前 n 项和公式的推导除课本上用错位相减法推导求和公式外，还可以用下面的方法推导.(1)合比定理法由等比数列的定义知：=q.当 q1 时，=q,即=q.故 Sn=.当 q=1 时，Sn=na1.(2)拆项法Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)当 q1 时，Sn=.3 / 19当 q=1 时，Sn=na1.(3)利用关系式 Sn-Sn-1=an(n2)当 n2 时，Sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+qSn-1Sn=a1+q(Sn-an)即(1-q)Sn=a1(1-qn)当 q1 时，有 Sn=,当 q=1 时，Sn=na1.注意：(1)错位相减法，合比定理法，拆项法及 an 与 Sn 的关系的应用，在今后解题中要时常用到，要领会这些技巧.(2)错位相减法适用于an为等差数列，bn为等比数列，求anbn的前 n 项和.3.等比数列前 n 项和公式的应用（1）衡量等比数列的量共有五个：a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知，解决等比数列问题时，这五个量中只要已知其中的任何三个，就可以求出其他两个量.（2）公比 q 是否为 1 是考虑等比数列问题的重要因素，在求和时，注意分 q=1 和 q1 的讨论.4.等比数列前 n 项和公式与函数的关系(1)当公比 q1 时，令 A=，则等比数列的前 n 项和公式可写成 Sn=-Aqn+A 的形式.由此可见，非常数列的等比数列4 / 19的前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比 q=1 时，因为 a10，所以 Sn=na1 是 n 的正比例函数（常数项为 0 的一次函数）.(2)当 q1 时，数列 S1,S2,S3,Sn,的图像是函数y=-Aqx+A 图像上的一群孤立的点.当 q=1 时，数列S1,S2,S3,Sn,的图像是正比例函数 y=a1x 图像上的一群孤立的点.知能自主梳理1.等比数列前 n 项和公式（1）等比数列an的前 n 项和为 Sn,当公比 q1 时，Sn=;当 q=1 时，Sn=.(2)推导等比数列前 n 项和公式的方法是.2.公式特点（1）若数列an的前 n 项和 Sn=p(1-qn)(p 为常数)，且q0,q1，则数列an为 .（2）在等比数列的前 n 项和公式中共有 a1,an,n,q,Sn五个量，在这五个量中知求.答案1.（1）na1(2)错位相减法2.（1）等比数列（2）三二思路方法技巧命题方向等比数列前 n 项和公式的应用5 / 19例 1设数列an是等比数列，其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3,求此数列的公比 q.分析应用等比数列前 n 项和公式时，注意对公比q 的讨论.解析当 q=1 时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；当 q1 时，=3a1q2,因为 a10,所以 1q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,解得 q=-.综上所述，公比 q 的值是 1 或.说明（1）在等比数列中，对于 a1,an,q,n,Sn 五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量.（2）等比数列前 n 项和问题，必须注意 q 是否等于 1，如果不确定，应分 q=1 或 q1 两种情况讨论.（3）等比数列前 n 项和公式中，当 q1 时，若已知a1,q,n 利用 Sn=来求；若已知 a1,an,q,利用 Sn=来求.变式应用 1在等比数列an中,已知 S3=,S6=,求 an.解析S6=,S3=,S62S3，q1.= = 6 / 19得1+q3=9,q=2.将 q=2 代入，得 a1=,an=a1qn-1=2n-2.命题方向等比数列前 n 项的性质例 2在等比数列an中，已知 Sn=48,S2n=60,求S3n.分析利用等比数列前 n 项的性质求解.解析an为等比数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列，(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)S3n=+S2n=+60=63.说明等比数列连续等段的和若不为零时，则连续等段的和仍成等比数列.变式应用 2等比数列an中，S2=7，S6=91,求 S4.解析解法一：an为等比数列，S2，S4-S2，S6-S4 也为等比数列，（S4-7）2=7（91-S4） ，解得 S4=28 或-21.S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,S4=28.解法二：S2=7,S6=91,q1.7 / 19=7=91得 q4+q2-12=0,q2=3,q=.当 q=时，a1=,S4=28.当 q=-时，a1=-,S4=28.探索延拓创新命题方向等比数列前 n 项和在实际问题中的应用例 3某公司实行股份制，一投资人年初入股 a 万元，年利率为 25%，由于某种需要，从第二年起此投资人每年年初要从公司取出 x 万元.（1）分别写出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和；（2）写出第 n 年年底，此投资人的本利之和 bn 与 n 的关系式（不必证明） ；（3）为实现第 20 年年底此投资人的本利和对于原始投资 a 万元恰好翻两番的目标，若 a=395,则 x 的值应为多少?(在计算中可使用 lg2)解析(1)第一年年底本利和为 a+a25%=,8 / 19第二年年底本利和为（）+()25%=,第三年年底本利和为（）+()25%=(+)x.(2)第 n 年年底本利和为bn=(+)x.(3)依题意，有395(+)x=4395,x=. 设=t,lgt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.t=100,代入解得 x=96.变式应用 3某大学张教授年初向银行贷款 2 万元用于购房，银行货款的年利息为 10，按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息）.若这笔款要分 10 年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？解析第 1 次还款 x 元之后到第 2 次还款之日欠银行20000（110）x=20000x,第 2 次还款 x 元后到第 3 次还款之日欠银行20000(1+10%)-x(1+10%)-x=20000,9 / 19第 10 次还款 x 元后，还欠银行 20000-x,依题意得，第 10 次还款后，欠款全部还清，故可得20000（1）x=0,解得 x=3255(元).名师辨误做答例 4求数列 1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,的前 n 项和.误解所求数列的前 n 项和 Sn=1+a+a2+a3+a=.辨析所给数列除首项外，每一项都与 a 有关，而条件中没有 a 的范围，故应对 a 进行讨论.正解由于所给数列是在数列 1,a,a2,a3,中依次取出 1 项，2 项，3 项，4 项，的和所组成的数列.因而所求数列的前 n 项和中共含有原数列的前（1+2+n）项.所以 Sn=1+a+a2+a.当 a=0 时，Sn=1.当 a=1 时，Sn=.当 a0 且 a1 时，Sn=.课堂巩固训练一、选择题1.等比数列an的公比 q=2，前 n 项和为 Sn，则=（）答案c10 / 19解析由题意得=.故选 c.2.等比数列an的前 3 项和等于首项的 3 倍，则该等比数列的公比为（）A.-2 或或-1答案c解析由题意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,q2+q-2=0,q=1 或 q=-2.3.等比数列2n的前 n 项和 Sn=（）+1-2答案D解析等比数列2n的首项为 2，公比为 2.Sn=2n+1-2,故选 D.二、填空题4.若数列an满足：a1=1,an+1=2an（nN+） ，则 a5=;前 8 项的和 S8=.（用数字作答）答案16255解析考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式.q=2,a5=a1q4=16,S8=28-1=255.5.在等比数列an中，Sn 表示前 n 项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q=.答案311 / 19解析a3=2S2+1,a4=2S3+1,两式相减，得 a3-a4=-2a3,a4=3a3,q=3.三、解答题6.在等比数列an中，已知 a6-a4=24，a3a5=64，求数列an的前 8 项和.解析解法一：设数列an的公比为 q，根据通项公式 an=a1qn-1，由已知条件得a6-a4=a1q3(q2-1)=24,a3a5=(a1q3)2=64,a1q3=8.将 a1q3=-8 代入式，得 q2=-2,没有实数 q 满足此式，故舍去.将 a1q3=8 代入式，得 q2=4,q=2.当 q=2 时，得 a1=1,所以 S8=255;当 q=-2 时，得 a1=-1，所以 S8=85.解法二：因为an是等比数列，所以依题意得a24=a3a5=64,a4=8,a6=24+a4=248.因为an是实数列，所以0,故舍去 a4=-8,而 a4=8，a6=32，从而 a5=16.公比 q 的值为 q=2,12 / 19当 q=2 时，a1=1,a9=a6q3=256,S8=255;当 q=-2 时，a1=-1，a9=a6q3=-256,S8=85.课后强化作业一、选择题1.等比数列an中，a2=9,a5=243,则an的前 4 项和为（）答案B解析公式 q3=27,q=3,a1=3,S4=120.2.已知等比数列的前 n 项和 Sn=4n+a，则 a=（）A.-4B.-答案B解析设等比数列为an ，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,a3=S3-S2=48,a22=a1a3,即 144=(4+a)48，a=-1.3.已知等比数列的公比为 2，且前 5 项和为 1，那么前 10项和等于（）13 / 19答案B解析解法一：S5=1a1=S10=33,故选 B.解法二：a1+a2+a3+a4+a5=1a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=12532S10a1+a2+a9+a10=1+32=33.4.已知等比数列an中，公比 q 是整数，a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前 8 项和为（）答案Da1+a1q3=18解析由已知得，a1q+a1q2=12解得 q=2 或.q 为整数，q=2.a1=2.S8=29-2=510.5.设an是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和，已知 a2a4=1,S3=7，则 S5=（）答案B14 / 19解析设公比为 q,则 q0,且 a23=1,即 a3=1.S3=7,a1+a2+a3=+1=7,即 6q2-q-1=0,q=或 q=-(舍去)，a1=4.S5=8（1-）=.6.在等比数列an （nN+）中，若 a1=1,a4=,则该数列的前 10 项和为（）答案B解析a1=1,a4=,q3=,q=.S10=21-（）10=2-,故选 B.7.已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比 q 等于（）B.-2c.D.-答案AS3=3,解析S6=27,得=9,解得 q3=8.q=2,故选 A.15 / 198.正项等比数列an满足 a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列bn的前 10 项和是（）-25答案D解析an为正项等比数列，a2a4=1,a3=1,又S3=13,公比 q1.又S3=13,a3=a1q2,解得 q=.an=a3qn-3=()n-3=33-n,bn=log3an=3-n.b1=2,b10=-7.S10=25.二、填空题9.等比数列，-1，3，的前 10 项和为.答案-解析S10=-.10.（XX北京文，12）在等比数列an中，若a1=,a4=4,则公比 q=;a1+a2+an=.答案2,2n-1-解析本题主要考查等比数列的基本知识，利用等比数列的前 n 项和公式可解得.=q3=8，所以 q=2，所以 a1+a2+an=2n-1-.16 / 192n-1(n 为正奇数)11.已知数列an中，an=，则 a9=.2n-1（n 为正偶数）设数列an的前 n 项和为 Sn，则 S9=.答案256377解析a9=28=256，S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.12.在等比数列an中，已知对于任意 nN+,有a1+a2+an=2n-1,则 a21+a22+a2n=.答案4n-解析a1+a2+an=2n-1,a1+a2+an-1=2n-1-1(n2),两式相减，得 an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,a2n=(2n-1)2=22n-2=4n-1,a21+a22+a2n=4n-.三、解答题13.在等比数列an中，已知 a3=1，S3=4，求 a1 与 q.S3=4解析（1）若 q1,则，a3=a1q2=1从而解得 q=1 或 q=-.q=-17 / 19q1,.a1=6S3=3a1=4q=1（2）若 q=1,则，.a3=a1=1a1=1q=-q=1综上所述得，或.a1=6a1=114.(XX大纲文科，17)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn.分析设出公比根据条件列出关于 a1 与 q 的方程.求得 a1 与 q 可求得数列的通项公式和前 n 项和公式.解析设an的公比为 q，由已知有：a1q=6a1=3a1=2.解得或6a1+a1q2=30q=2q=3(1)当 a1=3,q=2 时，an=a1qn-1=32n-1Sn=3(2n-1)(2)当 a1=2,q=3 时，an=a1qn-1=23n-1Sn=3n-1.综上，an=32n-1,Sn=3(2n-1)或 an=23n-1,Sn=3n-1.18 / 1915.已知实数列an是等比数列，其中 a7=1,且a4,a5+1,a6 成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)数列an