勾股定理的历史与证明

精品文档 1欢迎下载 安溪六中校本课程之数学探秘 勾股定理史话勾股定理史话 一 勾股定理的历史一 勾股定理的历史 勾股定理是 人类最伟大的十个科学发现之一 是初等几何中的一个基本 定理 那么大家知道多少勾股定理的别称呢 我可以告诉大家 有 毕达哥拉 斯定理 商高定理 百牛定理 驴桥定理和埃及三角形等 所谓勾股定理 就 是指 在直角三角形中 两条直角边的平方和等于斜边的平方 这个定理有十分 悠久的历史 几乎所有文明古国 希腊 中国 埃及 巴比伦 印度等 对此 定理都有所研究 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理 相传是古希腊数学家兼哲学家毕 达哥拉斯 Pythagoras 公元前 572 公元前 497 于公元前 550 年首先发现 的 但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传 著名的希腊数学家欧几里 得 Euclid 公元前 330 公元前 275 在巨著 几何原本 第 卷 命题 47 中给出一个很好的证明 下图为欧几里得和他的证明图 中国古代对这一数学定理的发现和应用 远比毕达哥拉斯早得多 中国最 早的一部数学著作 周髀算经 的开头 记载着一段周公向商高请教数学 知识的对话 周公问 我听说您对数学非常精通 我想请教一下 天没有梯子 可以上去 地也没法用尺子去一段一段丈量 那么怎样才能得到关于天地得到 数据呢 商高回答说 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识 其中有 一条原理 当直角三角形 矩 得到的一条直角边 勾 等于 3 另一条直角边 股 等于 4 的时候 那么它的斜边 弦 就必定是 5 这个原理是大禹在治水的时候 就总结出来的呵 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话 那么周公 与商高的对话则可以确定在公元前 1100 年左右的西周时期 比毕达哥拉斯要早 了五百多年 其中所说的勾 3 股 4 弦 5 正是勾股定理的一个应用特例 所以 现在数学界把它称为 勾股定理 是非常恰当的 精品文档 2欢迎下载 在稍后一点的 九章算术 一书中 约在公元 50 至 100 年间 勾股定理 得到了更加规范的一般性表达 书中的 勾股章 说 把勾和股分别自乘 然 后把它们的积加起来 再进行开方 便可以得到弦 九章算术 系统地总结 了战国 秦 汉以来的数学成就 共收集了 246 个数学的应用问题和各个问题 的解法 列为九章 可能是所有中国数学著作中影响最大的一部 中国古代的 数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理 而且很早就尝试对勾股定理作理论 的证明 最早对勾股定理进行证明的 是三国时期吴国的数学家赵爽 赵爽创 制了一幅 勾股圆方图 用形数结合得到方法 给出了勾股定理的详细证明 右图 赵爽的这个证明可谓别具匠心 极富创新意识 在这幅 勾股圆方图 中 以弦为边长得到正方形 ABDE 是由 4 个相等的直角三角形再加上中间的那个 小正方形组成的 每个直角三角形的面积为 ab 2 中间的小正方形边长为 b a 则面积为 b a 2 于是便可得如下的式子 4 ab 2 b a 2 c2 化简后便可得 a2 b2 c2 亦即 c a2 b2 1 2 他用几何图形的截 割 拼 补来证明代数式之间的恒等关系 既具严密 性 又具直观性 为中国古代以形证数 形数统一 代数和几何紧密结合 互 不可分的独特风格树立了一个典范 以后的数学家大多继承了这一风格并且有 发展 只是具体图形的分合移补略有不同而已 例如稍后一点的刘徽在证明勾 股定理时也是用以形证数的方法 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证 明 在世界数学史上具有独特的贡献和地位 尤其是其中体现出来的 形数统一 的思想方法 更具有科学创新的重大意义 精品文档 3欢迎下载 二 勾股定理的证明二 勾股定理的证明 据不完全统计 勾股定理的证明方法已经多达 400 多种了 下面我便向大家介 绍几种十分著名的证明方法 证法 1 赵爽证明 以 a b 为直角边 b a 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形 则每个直 角三角形的面积等于 把这四个直角三角形拼成如图所示形状 Rt DAH Rt ABE HDA EAB HAD HAD 90 EAB HAD 90 ABCD 是一个边长为 c 的正方形 它的面积等于 c2 EF FG GH HE b a HEF 90 EFGH 是一个边长为 b a 的正方形 它的面积等于 证法 2 课本的证明 做 8 个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为 a b 斜边长为 c 再做三个边长分别为 a b c 的正方形 把它们像上图那样拼成两个正方形 从图上可以看到 这两个正方形的边长都是 a b 所以面积相等 即 精品文档 4欢迎下载 整理得 证法 3 1876 年美国总统 Garfield 证明 以 a b 为直角边 以 c 为斜边作两个全等的直角三角形 则每个直角三角形 的面积等于 把这两个直角三角形拼成如图所示形状 使 A E B 三点在一 条直线上 Rt EAD Rt CBE ADE BEC AED ADE 90 AED BEC 90 DEC 180 90 90 DEC 是一个等腰直角三角形 它的面积等于 又 DAE 90 EBC 90 AD BC ABCD 是一个直角梯形 它的面积等于 精品文档 5欢迎下载 趣闻 在 1876 年一个周末的傍晚 在美国华盛顿的郊外 有一位中年人正 在散步 欣赏黄昏的美景 他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德 他 走着走着 突然发现附近的一个小石凳上 有两个小孩正在聚精会神地谈论着 什么 时而大声争论 时而小声探讨 由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小 孩走去 想搞清楚两个小孩到底在干什么 只见一个小男孩正俯着身子用树枝 在地上画着一个直角三角形 于是伽菲尔德便问他们在干什么 只见那个小男 孩头也不抬地说 请问先生 如果直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4 那么斜边长为多少呢 伽菲尔德答到 是 5 呀 小男孩又问道 如果 两条直角边分别为 5 和 7 那么这个直角三角形的斜边长又是多少 伽菲尔 德不加思索地回答到 那斜边的平方一定等于 5 的平方加上 7 的平方 小 男孩又说道 先生 你能说出其中的道理吗 伽菲尔德一时语塞 无法解 释了 心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步 立即回家 潜心探讨小男孩 给他留下的难题 他经过反复的思考与演算 终于弄清楚了其中的道理 并给 出了简洁的证明方法 1876 年 4 月 1 日 伽菲尔德在 新英格兰教育日志 上 发表了他对勾股定理的这一证法 1881 年 伽菲尔德就任美国第二十任总统后 来 人们为了纪念他对勾股定理直观 简捷 易懂 明了的证明 就把这一证 法称为 总统 证法 证法 4 欧几里得证明 做三个边长分别为 a b c 的正方形 把它们拼成如图所示形状 使 H C B 三点在一条直线上 连结 BF CD 过 C 作 CL DE 交 AB 于点 M 交 DE 于点 L AF AC AB AD FAB GAD FAB GAD FAB 的面积等于 GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半 矩形 ADLM 的面积 同理可证 矩形 MLEB 的面积 正方形 ADEB 的面积 矩形 ADLM 的面积 矩形 MLEB 的面积 即 精品文档 6欢迎下载 证法 5 利用相似三角形性质证明 如图 在 Rt ABC 中 设直角边 AC BC 的长度分别为 a b 斜边 AB 的长为 c 过点 C 作 CD AB 垂足是 D 在 ADC 和 ACB 中 ADC ACB 90 CAD BAC ADC ACB AD AC AC AB 即 同理可证 CDB ACB 从而有 即 证法 6 邹元治证明 以 a b 为直角边 以 c 为斜边做四个全等的直角三角形 则每个直角三角形 的面积等于 把这四个直角三角形拼成如图所示形状 使 A E B 三点在一 条直线上 B F C 三点在一条直线上 C G D 三点在一条直线上 Rt HAE Rt EBF AHE BEF 精品文档 7欢迎下载 AEH AHE 90 AEH BEF 90 HEF 180 90 90 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形 它的面积等于 c2 Rt GDH Rt HAE HGD EHA HGD GHD 90 EHA GHD 90 又 GHE 90 DHA 90 90 180 ABCD 是一个边长为 a b 的正方形 它的面积等于 证法 7 利用切割线定理证明 在 Rt ABC 中 设直角边 BC a AC b 斜边 AB c 如图 以 B 为圆心 a 为半径作圆 交 AB 及 AB 的延长线分别于 D E 则 BD BE BC a 因为 BCA 90 点 C 在 B 上 所以 AC 是 B 的切线 由切割线定理 得 精品文档 8欢迎下载 即 证法 8 作直角三角形的内切圆证明 在 Rt