龙贝格求 积分

精品文档 1欢迎下载 龙贝格 龙贝格 RombergRomberg 求积法 求积法 1 1 算法理论算法理论 Romberg 求积方法是以复化梯形公式为基础 应用 Richardson 外推法导出的 数值求积方法 由复化梯形公式 可以化为 2 2 22 2 bfhafaf h T 2 2 1 21 1 2 hafhbfaf h T 2 1 211 hafhT 一般地 把区间 a b 逐次分半 k 1 次 k 1 2 n 区间长度 步长 为 其中 mk 2k 1 记 k k m ab h k T 1 k T 由 从而 1 k T 12 2 1 2 1 1 1 1 k m j kkk hjafhT 1 b a dxxf 1 k T 12 2 k fh ab 按 Richardson 外推思想 可将 1 看成关于 误差为的一个 k h 2 k hO 近似公式 因而 复化梯形公式的误差公式为 2 b a dxxf 1 k T 4 2 2 1 kk hKhK 1 2 i i kih K 取 有 3 1 k h k h 2 1 b a dxxf 1 1 k T 1 2 1 2 2 1 i i ki i hK 误差为的误差公式 2 j hO j k T 1 j k T 14 1 1 1 1 j j k j k TT 2 2 误差及收敛性分析误差及收敛性分析 1 误差 对复化梯形公式误差估计时 是估计出每个子区间上的误差 然后 将 n 个子区间上的误差相加作为整个积分区间上的误差 精品文档 2欢迎下载 2 收敛性 记 由于hxi n i iin xfxf h fT 0 1 2 2 1 1 01 n i n i iiii xxfxxf 上面两个累加式都是积分和 由于在区间上可积可知 只要 xf ba 的分划的最大子区间的长度时 也即时 它们的极限都等于 ba0 n 积分值 可见 只要在区间上的可积的条件满足 由复 fI xf baRieman 化梯形求积公式计算所得复化梯形值序列都收敛于实际积分值 fTn fI 3 3 算法 算法 1 输入 a b epsilon 2 令 b a 计算 1 h 11 T 2 1 bfaf h 3 令 k 2 k h 1 2 1 h 4 令 计算 k m 1 2 k 12 2 1 2 1 11 1 1 k m j kkkk hjafhTT 5 for j 2 3 k 14 1 1 11 1 j jkjk jkkj TT TT 6 if 输出 return 1 jkjk TT jk T 7 k k 1 跳转 4 k h 1 2 1 k h 8 结束 4 4 实例实例 用龙贝格算法计算积分值 I 1 0 2 1 8 dx x 5 5 龙贝格求积源程序 龙贝格求积源程序 Romberg method for Integral Projectname hu1 cpp Executable file hu1 exe 精品文档 3欢迎下载 Date 2004 12 By Hu Bentao include stdafx h include stdio h include iostream h include math h include conio h include stdlib h define N1 20 define N2 20 double fun double x 被积函数设置 return 8 1 x x void Romberg double a double b double fun double double epsilon int i j k double h b a temp double T 20 20 FILE fp if fp fopen 200402157 txt w NULL 将运算的中间结果和最 终结果保存到文件 200402157 txt puts nopen file error n return fflush stdin fprintf fp n 龙贝格求积计算的中间结果 printf n 龙贝格求积计算的中间结果 T 1 1 h fun a fun b 2 fprintf fp nT 1 1 f T 1 1 printf nT 1 1 f T 1 1 k 2 h 2 while 1 temp 0 for i 1 i pow 2 k 2 i temp fun a 2 i 1 h T k 1 temp h T k 1 1 2 fprintf fp nT d 1 f t k T k 1 printf nT d 1 f t k T k 1 for j 2 j k j 精品文档 4欢迎下载 T k j T k j 1 T k j 1 T k 1 j 1 pow 4 j 1 1 fprintf fp T d d f t k j T k j printf T d d f t k j T k j j if fabs T k j T k j 1 epsilon fprintf fp n 积分结果 tI f cout endl OK endl T k j T k j fprintf fp f t T k j 积分值输出 printf n 积分结果 tI f cout endl OK endl T k j T k j printf f t T k j 积分值输出 break k 1 h 2 fclose fp hu1 cpp Defines the entry point for the console application include stdafx h include stdio h include iostream h include math h include conio h include stdlib h extern void Romberg double a double b double fun double double epsilon extern double fun double x int main int argc char argv double a b epsilon cout endl a 输入积分下限 cout b 输入积分上限 cout epsilon 输入计算精度