2008年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理).doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类） 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷1至2页，第卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3本卷共10小题，每小题5分，共50分。参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A，B相互独立，那么 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i是虚数单位，（A）1（B）1（C）i（D） i（2）设变量 则目标函数的最大值为（A）2（B）3（C）4（D）5（3）设函数（A）最小正周期为的奇函数（B）最小正周期为的偶函数（C）最小正周期为的奇函数（D）最小正周期为的偶函数（4）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（A）（B）（C）（D）（5）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为（A）6（B）2（C）（D）（6）设集合的取值范围是（A）（B）（C）（D）（7）设函数（A）在其定义域上是增函数且最大值为1 （B）在其定义域上是减函数且最大值为0 （C）在其定义域上是减函数且最大值为1（D）在其定义域上是增函数且最大值为0（8）已知函数的解集是（A）（B）（C）（D）（9）已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是增函数，令 （A）（B）（C）（D）（10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（A）1344种（B）1248种（C）1056种（D）960种第卷20080804注意事项： 1答卷前将密封线内的项目填写清楚. 2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上. 3本卷共12小题，共100分.题号二 三总分 （17） （18） （19） （20） （21） （22）得分得分评卷人 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中 横线上.（11）的二项展开式中的系数是 （用数字作答）.（12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 .（13）已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线 与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为 .（14）如图，在平行四边形ABCD中， .（15）已知数列 .（16）设若仅有一个常数使得对于任意的满足方程 的取值的集合为 .三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.得分评卷人 （17）（本小题满分12分） 已知 （）求的值； （）求得分评卷人 （18）（本小题满分12分） 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与P，且乙投球2次均未命中的概率为 （）求乙投球的命中率P； （）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.得分评卷人 （19）（本小题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD中。底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD= （）证明AD平面PAB； （）求异面直线PC与AD所成的角的大小； （）求二面角PBDA的大小.得分评卷人 （20）（本小题满分12分） 已知函数 （）若曲线的解析式： （）讨论函数的单调性； （）若对于任意的的取值范围.得分评卷人 （21）（本小题满分14分） 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是一条渐近线的方程是 （）求双曲线C的方程； （）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.得分评卷人 （22）（本小题满分14分） 在数列为与 （）求 （）求数列的通项公式； （）设数学（理工类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。20080804（1）A （2）D （3）B （4）C （5）B（6）A （7）D （8）C （9）A （10）B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分24分。（11）40 （12）24 （13）（14）3 （15） （16）2三、解答题（17）本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。 （I）解法一：因为，于是 解法二：由题设得 （II）解：因为 （18）本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。 （I）解：设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B。由题意得 （II）解：由题设和（I）知可能的取值为0，1，2，3，故0123P（19）本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。 （I）证明：在PAD中，由题设PA=2，AD=2，PD=，可得PA2+AD2=PD2，于是ADPA，在矩形ABCD中，ADAB，又PAAB=A，所以AD平面PAB。 （II）解：由题设，BC/AD，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角。在PAB中，由余弦定理得由（I）知AD平面PAB，PB平面PAB，所以ADPB，因而BCPB，于是PBC是直角三角形，故所以异面直线PC与AD所成的角的大小为 （III）解：过点P作PHAB于H，过点H作HEBD于E，连结PE。 因为AD平面PAB，PH平面PAB，所以ADPH，又ADAB=A，因而PH平面ABCD，故HE为PE在平面ABCD内的射影。由三垂线定理可知，BDPE，从而PEH是二面角PBDA的平面角。由题设可得，（20）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力，满分12分。 （I）解： （II）解：+00+极大值极小值所以内是减函数。 （III）解：由（II）知，中的较大者，（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力，满分14分。 （I）解：设双曲线C的方程为由题设得所以双曲线C的方程为（）解：设直线l方程为点M，N的坐标满足方程组 将式代入式，得整理得此方程有两个不等实根，于是，且整理得.由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（）满足从而线段MN的垂直平分线的方程为此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为由题设可得整理得将上式代入式得，整理得解得所以k的取值范围是（22）本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的根式念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分14分（）解：由题设有，解得，由题设又有解得.（）解法一：由题设进一步可得猜想当时，等式成立.当时用数学归纳法证明如下；（1）当时，等式成立.（2）假设当时等式成立，即.由题设， 的两边分别减去的两边，整理得从而这就是说，当时等式也成立3.根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立.综上所述，等式对任何的都成立.再用数学归纳法证明.（1）当时，等式成立.（2）假设当时等式成立，即，那么这就是说，当时等式也成立，根据（1）和（2）可知