锐角三角函数与解直角三角形复习课件.ppt

鉴江中学于孙潮 1 本章内容有锐角三角函数的概念 解直角三角形及解直角三角形的应用 在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数 一定要先把这个角放在直角三角形中 并且三角函数值与边无关 2 锐角 的取值范围及变化情况 3 特殊角的三角函数值 4 同一锐角 的三角函数之间的关系 1 平方关系 sin2 cos2 1 5 互余两角的三角函数之间的关系 6 解直角三角形的依据 在Rt ABC中 C 90 A B C的对边分别为a b c 除直角C外 其余五个元素之间有以下关系 1 三边关系 a2 b2 c2 勾股定理 2 锐角之间的关系 A B 90 互余关系 3 边角关系 解直角三角形时 要注意适当选用恰含一个未知数的关系式 任意锐角的正弦 切 值等于它的余角的余弦 切 值 任意锐角的余弦 切 值等于它的余角的正弦 切 值 7 解直角三角形的分类 例如 选用关系式归纳为口诀 已知斜边求直边 正弦余弦很方便 已知直边求直边 正切余切理当然 已知两边求一边 勾股定理最方便 已知两边求一角 函数关系要选好 已知锐角求锐角 互余关系要记好 已知直边求斜边 用除还需正余弦 计算方法要选择 能用乘法不用除 8 有关解直角三角形的应用题 应用解直角三角形的知识解决实际问题的时候 常用的几个概念 1 仰角 俯角 视线与水平线所成的角中 视线在水平线上方的叫做仰角 在水平线下方的叫做俯角 如图1 2 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角 用字母表示 坡度 坡比 坡面的铅垂高度h和水平宽度的比叫做坡度 用字母i表示 即 如图2 3 方位角 从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角 叫做方位角 如图3中 目标A B C的方位角分别为 4 方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角叫做方向角 如图4中 目标A B C D的方向角分别表示北偏东 南偏东 南偏西 北偏西 又如 东南方向 指的是南偏东角 一 基础题型分析 例1 分析 解法二 利用同角的三角函数的关系式 sin2B cos2B 1 例2 A 30 2 B 90 A 90 30 60 解法二 1 在Rt ABC中 无论什么条件下 分别求解各未知元素时 应尽量代入已知中的数值 少用在前面的求解过程中刚算出的数值 以减少以错传误的机会 A 30 说明 解法一 在Rt ABC中 如图3 例3 当45 cos B sin cos C tan cot D tan 1 分析 如图4 设 A 则BC AC 解法一 利用三角函数定义 应选A 其余三项也可根据定义证明不成立 解法二 化为同名三角函数 利用增减性比较大小 根据锐角的正弦 切 的增减性可知 应选A 其它两项也不成立 解法三 找标准量45 角比较 45 sin45 cos cos45 sin45 cos45 sin cos 同理tan cot 应选A 例4 A 等腰非等边三角形B 等边三角形C 直角非等腰三角形D 等腰直角三角形 分析 所以 A 60 B 60 应选B 例5 为锐角 若m 2 下列四个等式中不可能成立的是 分析 根据三角函数值的取值范围 有 判断可知cos 选项不可能成立 应选B 例6 分析 题目涉及到同角 的正余弦的和差 可以考虑应用关系式 sin2 cos2 1解题 注意 开平方要取正负 因为题中不能确定sin 与cos 的大小 例7 在Rt ABC中 C 90 a c 12 b 8 求cosB 解 二 综合题型分析 例8 已知 如图5 ABC中 B 30 ADC 45 ACB 120 D是BC上一点 若CD 8 求BD的长 A BDC 图 5 30 45 120 解法一 过A作AE BC的延长线于E ACB 120 ACE 60 ADC 45 DE AE E 解法二 如图6 过D作DF BC于D 交AB于F A BDC 图 6 30 45 120 F 易证得 FAD DAC 15 FD BC ADC 45 ADF ADC 45 在 ADF和 ADC中 ADF ADC DF DC 8 在Rt BDF中 例9 如图7 已知MNBE和ABCD都是正方形 MC与AB相交于F 已知sin 分析 实质上是已知比值求比值的问题 不过它是特殊的比值问题 因为这里两条线段的比是直角三角形中两条边的比值问题 锐角 或 是Rt MNC的锐角 或 是Rt EMF的一个锐角 这样就有三种解法 求tan 从图形直观上看 就是把 放在Rt AME中 求出AE和ME 或用某个字母x的代数式表示AE和ME即可 解 在Rt MNC中 设MN 5x MC 13x 则NC 12x ME MN NB 5x BC NC NB 7x 例10 在 ABC中 C 90 A 15 AB 12 求S ABC C A 图 8 15 解法一 如图8 取AB的中点D 连结CD 过C作CE AB于E AB 12 A ACD 15 CDB 30 在Rt CDE中 B E D 解法二 如图9 把 ACB沿AC翻折 得到 ACD C A 图 9 D 则 ACD ACB DAC CAB 15 DAB 30 AD AB 12 过点D作DE AB于E DE AD sin30 6 B E 例11 如图湖泊的中央有一个建筑物AB 某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60 然后 自C处沿BC方向行100m到D点 又测得其顶部A的仰角为30 求建筑物的高 结果保留根号 分析 本题的关键在于 1 DB CB 100 2 Rt ABC与Rt ADB有一条共同的线段AB 因此只要利用Rt ABC和Rt ADB分别用AB表示出DB和CB即可列出方程DB CB 100 问题便可迎刃而解 解 设AB x 例3 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时 发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只 正以24海里 时的速度向正东方向航行 为迅速实施检查 巡逻艇调整好航向以26海里 时的速度追赶在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下 问 1 需几小时才能追上 点B为追上的位置 2 确定巡逻艇的追赶方向 精确到0 1 分析 1 此题可利用于方程来解决 设需t小时追上 然后根据直角三角形三边满足勾股定理来列出一个关于 t 的一元二次方程 从而求出时间t 2 要求B点的方位角 首先应理解方位角在几何图中的表示方法 然后借助正弦函数值以及计算器来求出B的方位角 解 设需t小时才能追上 2 在Rt AOB中 即巡逻艇的追赶方向为北偏东67 4 A B O 例5 如图 某货船以20海里 时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处 经16小时的航行到达 到达后必须立即卸货 此时接到气象部门通知 一台风中心正以40海里 时的速度由A向北偏西60 方向移动 距台风中心200海里的圆形区域 包括边界 均会受到影响 1 问B处是否会受到影响 请说明理由 2 为避免受到台风的影响 该船应在多少小时内卸完货物 北 A B 西 C 分析 台风中心在AC上移动 要知道B处是否受影响 只要求出B到AC的最短距离并比较这个最短距离与200的关系 若大于或等于200海里则受影响 若小于200海里则不受影响 2 要使卸货过程不受台风影响 就应在台风中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时间内卸完货 弄清楚这一点 再结合直角三角形边角关系 此题就不难得到解决 北 C 60 西 BA D E F 解 1 过B作BD AC于D 根据题意得 BAC 30 在Rt ABD中 B处会受到影响 2 以B为圆心 以200海里为半径画圆交AC于E F 如图 则E点表示台风中心第一次到达距B处200海里的位置 在Rt DBE中 DB 160 BE 200 由勾股定理可知DE 120 在Rt BAD中 AB 320 BD 160 由勾股定理可知 该船应在3 8小