几种重要的连续型分布.ppt

1 几种重要的连续型分布 第五节 2 一 指数分布 ExponentialDistribution 定义如果随机变量X的概率密度为 记为 分布函数为 3 指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用 常常用它来作为各种 寿命 的分布的近似 例如 电子元件的寿命 电话的通话时间 微生物的寿命 随机服务系统中的服务时间等都可认为是近似服从指数分布 指数分布的一个重要性质就是 无后效性 或 无记忆性 具体叙述如下 证 4 假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命 则上式表明 在该元件已工作了s小时的条件下 它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间s无关 换句话说 如果元件在时刻s还 活着 则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布 而与它已工作了多长的时间无关 所以有时又称指数分布是 永远年轻 的 值得指出的是 我们可以证明 指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布 5 例1假设电话一次通话时间是一随机变量 服从参数为0 1的指数分布 假设某人到达电话亭时有一人正在通话 试求 解 1 此人至少需要等10分钟的概率 2 此人需要等10到20分钟的概率 6 二 正态分布 NormalDistribution 正态分布是概率分布中最重要的一种分布 这有实践与理论两方面的原因 实践方面的原因是 正态分布是自然界最常见的一种分布 例如测量的误差 炮弹的落点 人的身高与体重 农作物的收获量 波浪的高度等等都近似服从正态分布 一般来说 如果影响某一随机变量的因素很多 而每一个因素都不起决定性作用 且这些影响是可以叠加的 则这个随机变量服从正态分布 这点可用下一章的极限定理来加以证明 从理论方面来说 正态分布有许多良好的性质 如正态分布可以导出一些其他分布 而某些分布 如二项分布 泊松分布等 在一定的条件下可用正态分布来近似 7 正态分布在19世纪前叶由高斯加以推广 所以通常称为高斯分布 德莫佛 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式 这一公式被认为是正态分布的首次露面 高斯 8 不知你们是否注意到街头的一种赌博活动 用一个钉板作赌具 街头 请看 9 虽然玩这种赌博游戏十有八九是要输掉的 但仍有不少人总想碰碰运气 然而中大奖的概率实在是太低了 10 下面我们在计算机上模拟这个游戏 高尔顿 F Galton 钉板试验 11 平时 我们很少有人会去关心小球下落位置的规律性 人们可能不相信它是有规律的 一旦试验次数增多并且注意观察的话 你就会发现 最后得出的竟是一条优美的曲线 12 高尔顿钉板试验 这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线 13 1 正态分布的概率密度 定义如果随机变量X的概率密度为 14 正态分布密度函数的几何性态 1 对称轴 2 渐近线 3 单调性 15 4 顶点 最大值 5 两个拐点 正态分布密度函数的几何性态 16 正态分布密度函数的几何性态 17 正态变量的分布函数为 18 泊松积分 19 的正态分布称为标准正态分布 其密度函数和分布函数常用和表示 20 2 正态分布的期望与方差 奇函数 21 2 正态分布的期望与方差 22 3 一般正态分布与标准正态分布的关系 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布 定理 其分布函数为 则 证 23 书末P251附有标准正态分布函数数值表 表中给的是x 0时 x 的值 当 x 0时 24 若X N 0 1 例2 解 25 这个公式把一般正态变量的概率计算转换为标准正态分布来计算 26 例3 解 27 例4 解 查表得 28 例5 这在统计学上称作 3准则 三倍标准差原则 29 30 例6设某批鸡蛋每只的重量X 以克计 服从正态分布 X N 50 25 1 求从该批鸡蛋中任取1只 其重量不足45克的概率 2 从该批鸡蛋中任取1只 其重量介于40克到60克之间的概率 3 若从该批鸡蛋中任取5只 试求恰有两只鸡蛋不足45克的概率 4 从该批鸡蛋中任取1只其重量超过60克的概率 5 求最小的n 使从中任选n只鸡蛋 其中至少有1只鸡蛋的重量超过60克的概率大于0 99 解 1 31 设Y为5只鸡蛋中重量不足45克的鸡蛋数 则Y B 5 0 1587 故所求概率为 2 2 0 9773 1 0 9546 3 32 设Z表示n只鸡蛋中重量大于60克的鸡蛋数 则Z B n 0 0228 4 5 因为 欲使 即 解得 33 解 例7若入学考试中各个考生的总分数服从正态分布N 400 1002 共有2000人参加考试 假定只录取前300名 求分数线a 使考生总分超过a的概率等于升学率 设X表示考试总分 则 34 例8若某人从甲地到乙地有两条路线可走 第一条路线过市区 路程短但拥挤 所需时间 分 服从正态分布N 50 100 第二条线路沿环城路走 路程长但阻塞少 所需时间 分 服从正态分布N 60 16 问 1 假如有70分钟可用 应选哪条路 2 若只有65分钟 又应走哪条路 解 记行走时间为t 1 若有70分钟可用 走第一条路线能及时赶到的概率为 35 走第二条路线能及时赶到的概率为 因此 若有70分钟可用 应选第二条路线 解 记行走时间为t 1 若