《随机事件的独立性》PPT课件.ppt

概率论与数理统计 一 事件的相互独立性 一 两个事件的独立性 由条件概率 知 一般地 这意味着 事件B的发生对事件A发生的概率有影响 然而 在有些情形下又会出现 1 4随机事件的独立性 概率论与数理统计 则有 1 引例 概率论与数理统计 2 定义1 注 1 说明 事件A与B相互独立 是指事件A的发生与事件B发生的概率无关 概率论与数理统计 2 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念 两事件相互独立 两事件互斥 例如 由此可见两事件相互独立但两事件不互斥 两事件相互独立 两事件互斥 概率论与数理统计 由此可见两事件互斥但不独立 又如 两事件相互独立 两事件互斥 概率论与数理统计 3 性质 1 必然事件 及不可能事件 与任何事件A相互独立 2 若事件A与B相互独立 则以下三对事件 也相互独立 注称此为二事件的独立性关于逆运算封闭 概率论与数理统计 甲 乙两人同时向敌人炮击 已知甲击中敌机的概率为0 6 乙击中敌机的概率为0 5 求敌机被击中的概率 解 设A 甲击中敌机 B 乙击中敌机 C 敌机被击中 依题设 A与B不互斥 P A P B 1 1 1 P A B 例1 概率论与数理统计 由于甲 乙同时射击 甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性 所以A与B独立 进而 0 8 概率论与数理统计 1 三事件两两相互独立的概念 二 多个事件的独立性 定义2 概率论与数理统计 2 三事件相互独立的概念 定义3 概率论与数理统计 三人独立地去破译一份密码 已知各人能译出的概率分别为1 5 1 3 1 4 问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少 例2 解 设三人各自译出的事件分别为A B C 则 三人中至少有一人能将此密码译出 的事件为 已知P A 1 5 P B 1 3 P C 1 4 由加法公式和独立性得 概率论与数理统计 在实际问题中 常常可根据实际意义来判断与应用事件的独立性 概率论与数理统计 设A1 A2 An为n个事件 若对于任意k 1 k n 及1 i1 i2 ik n 3 n个事件的独立性 定义4 若事件A1 A2 An中任意两个事件相互独立 即对于一切1 i j n 有 定义5 概率论与数理统计 注 概率论与数理统计 两个结论 概率论与数理统计 n个独立事件和的概率公式 设事件相互独立 则 也相互独立 即n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积 结论的应用 概率论与数理统计 则 至少有一个发生 的概率为 P A1 An 1 1 p1 1 pn 类似可以得出 1 p1 pn 概率论与数理统计 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0 4 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立 混合100个人的血清 求此血清中含有肝炎病毒的概率 解 则 例3 概率论与数理统计 依题设 概率论与数理统计 事件的独立性在可靠性理论中的应用 一个元件的可靠性 该元件正常工作的概率 一个系统的可靠性 由元件组成的系统正常工作的概率 设一个系统由2n个元件组成 每个元件的可靠性均为r 且各元件能否正常工作是相互独立的 求下列两个系统 和 的可靠性 例4 概率论与数理统计 系统 系统 解 设B1 系统 正常工作 概率论与数理统计 B2 系统 正常工作 考察系统 设C 通路 正常工作 D 通路 正常工作 每条通路正常工作 通路上各元件都正常工作 而系统 正常工作 两条通路中至少有一条正常工作 概率论与数理统计 系统 正常工作的概率 概率论与数理统计 考察系统 系统 正常工作 通路上的每对并联元件正常工作 B2 系统 正常工作 概率论与数理统计 所以 系统 正常工作的概率 练习 证明A B相互独立 概率论与数理统计 二 试验的独立性 1 定义6 设将试验E重复进行n次 且各次试验结果互不影响 则称这n次试验是相互独立的 也称为n重独立试验 记为En 概率论与数理统计 则称这n次重复试验为n重贝努里试验 简称为贝努里概型 若n次重复试验具有下列特点 2 n重贝努利 Bernoulli 试验 1 每次试验的可能结果只有两个A或 2 各次试验的结果相互独立 在各次试验中p是常数 保持不变 概率论与数理统计 实例1抛一枚硬币观察得到正面或反面 若将硬币抛n次 就是n重伯努利试验 实例2抛一颗骰子n次 观察是否 出现1点 就是n重伯努利试验 概率论与数理统计 例5设某射手每射一发子弹命中目标的概率 现对同一个目标重复射击3发子弹 试求恰有2发命中目标的概率 解 设事件 则有 事件B表示A在三次射击中恰好发生两次件 则可知由于事件相互独立 所以 概率论与数理统计 而其余两种方式相应的事件的概率也均为 由此得 同理 若重复射击4发子弹 同上设则 故一般地 对于n重贝努里试验 事件A恰好发生k次的概率问题有如下公式 概率论与数理统计 定理 如果在贝努里试验中 事件A出现的概率为p 0 p