“平面几何”竞赛问题的简单剖析

1 平面几何平面几何 竞赛问题的简单剖析竞赛问题的简单剖析 平面几何是一门研究平面图形位置关系及相关性质的学科 初中重点学习的是推理几 何 是在学习知识的同时发展能力 是学习逻辑分析 论证的方法 促使学生逐渐具备可 持续发展的能力 本文选取一些试题作剖析 内容涵盖初中几何的大部分知识点 侧重归纳解题方法 探寻解题思想 期望以点带面起到抛砖引玉之作用 使大家能初步感受和把握初中数学竞 赛试题在几何层面命题的一些脉络 例例 1 如图 1 AOB 45 角内有一点 P PO 1 在角的两边上有两点 Q R 均不同于 点 O 则 PQR 的周长的最小值为多少 略解略解 如图 1 分别作点 P 关于 OA OB 的对称点 P1 P2 连接 OP1 OP2 P1P2 P1P2分别交 OA OB 于点 Q R P1P P2P 易证 P1O P2O PO 1 P1OP2 2 45 90 且 P1Q PQ P2R PR 则 PQR 的周长 P1P2 而在 Rt P1OP2中 显然 P1P2 22 12 2POPO 则 PQR 的周长的最小值为 关于最小此处证略 2 点评点评 含 45 或 135 角的三角形与直角 90 或正方形之间存在着内在联系 我们要善于挖 掘题设中的隐含条件并及时总结 两点之间线段最短是解决最小值类问题的重要基础依据 之一 对称变换是研究此类问题较常用的方法 例例 2 一个六边形的六个内角都是 120 连续四条边的边长 依次是 1 3 3 2 则该六边形的周长是多少 略解略解 如图 2 六边形 ABCDEF 的每个内角都为 120 且 AF 1 AB BC 3 CD 2 如图 2 延长相应的边分别交于三个点 P Q R 易证 PAF QBC RED PQR 均为等边三角形 而 PQ PA AB QB AF AB BC 7 所以 DE DR 7 QC CD 2 EF 7 PF ER 4 则该六边形的周长为 15 R Q P2 P1 P O B A RQ P F E DC B A 图 1 图 2 2 点评点评 把一般性问题特殊化或者把特殊性问题一般化是解某些竞赛题的常用方法 本题是 抓住六边形的每个内家为 120 这个特性 将其转化为特殊三角形 等边三角形 从而使问题得 解 例例 3 如图 3 P 是等边三角形 ABC 内的一个点 PA 2 PB 2 PC 4 求 ABC 的边长 3 略解略解 将 PAB 绕点 B 逆时针旋转 60 等到 HCB 再连接 HP 如图 3 易证 HPB 为等边三角形 则有 HP BP 2 而 HC PA 2 PC 43 所以 HC2 HP2 PC2 即 HCP 为 Rt 而 HC 2 PC 4 所以 CPH 30 则 CPB 90 所以 BC 27 点评点评 在特殊图形中 如正三角形 正方形 圆 探讨问题时 旋转是常用的方法之一 本题通过旋转后 巧妙地将三条长正好 为勾股数的一组边置于同一个三角形 从而使问题迎刃而解 例例 4 已知六边形 ABCDEF 中 M1 M2 M3 M4 M5 M6 分别为 AB BC CD DE EF FA 的中点 又 M1M4 M2M5 M3M6 都分别平分六边形 ABCDEF 面 积 如图 4 求证 M1M4 M2M5 M3M6 相交于一点 证明证明 设 M1M4 M2M5 相交于点 P 再连结 PM3 PM6 以及 PA PB PC PD PE PF 易知四边形 PABC 的面积 2 四边形 PM1BM2的面积 四边形 PDEF 的面积 2 四边形 PM4EM5的面积 因为 M1M4 M2M5都平分六边形 ABCDEF 面积 所以五边形 M1M4DCB 的面积 五边形 M2M5EDC 的面积 除去公共部分五边形 M2PM4DC 的 面积 可得四边形 PM1BM2面积 四边形 PM4EM5面积 由 得 四边形 PABC 的面积 四边形 PDEF 的面积 注意到 CPM3与 DPM3等积 CPM6与 DPM6等积 因此折线 M3PM6平分六边形 ABCDEF 的面积 但直线段 M3M6也平分六边形 ABCDEF 的面积 所以 M3PM6的 面积为 0 即点 P 应在 M3M6上 所以 M1M4 M2M5 M3M6 相交于一点 H P C B A P M6 M5 M4 M3 M2 M1 F ED C BA 图 3 图 4 3 点评点评 等底等高的两个三角形面积相等 三角形一边的中线平分这个三角形的面积 等 定理或者推论在面积割补内容中既是基本知识点 运用又相当广泛 在推理中要根据题目条件 恰当地加以运用 会比较轻松并有技巧地解决问题 例例 5 已知 如图 5 在 ABC 中 A B C 1 2 4 求证 111 ABACBC 证明证明 作 ABC 的外接圆及弦 BD 使 BD BC 则 BAD BAC 又 CAB CDB BCD CDB CAD 2 CAB CBA ADC ABD ACD ACB DCB ACB CDB ACB CAB 3 CAB 2 CAB CDB CBA CDB ADC CDB ADB 由 A B C D 四点共圆以及托勒密定理得 BC AD BD AC AB CD 即 BC AB BC AC AB AC 即 111 ACABBC 点评点评 形如这样的式子在转化为整式形式时变为 bc ac ab 其形式和托勒密定 111 abc 理类似 通常可以试试托勒密定理 从而需要构建以 a b c c 为边及 a b 为对角线的圆内 接四边形 当然 这种形式的等式也可以采用其他证明方法 比如 转化为线段的比例式 cba 111 1 1 b c a c 2 b cb a c 3 c b a ba 1 可证 和两个同分母的分式分别相等 例如 当 m n p 时等式成立 a c a b p m p n 2 可证明 c a b c b 四条线段成比例 关鍵是作出 b c 的差 3 可证明 a b a b c 四条线段成比例 关鍵是作出 a b 的和 例例 6 已知 O 和 O1相交于 P 外公切线 AB A B 是切点 AP 交 O 于 C BP 交 O1于 D CE 和 O1切于点 E 如图 6 求证 CE CB 证明证明 过点 P 作两圆公切线 PQ 交 AB 于 Q 由切线长定理 得 QP QA QB APB 是 Rt APB Rt D C B A O1 O Q P E D C B A 图 5 4 BC 是 O 的直径 BC AB 根据射影定理 得 BC2 CP CA CE 切 O1于 E 根据圆幂定理 得 CE2 CP CA CE CB 点评点评 竞赛数学在课本知识的基础上补充一些知识是必要的 本例所涉及射影定理 亦即直 角三角形中成比例线段定理 如图 7 BCACCDAB ABBDBC ABADAC BDADCD ABCD RACB 2 2 2 t 1 圆幂定理亦即圆中成比例线段定理 如图 8 若 ABCD 四点共圆 AB CD 交于 P 则 PA PB PC PD PT2 PT 切圆于 T 例例 7 已知 如图 9 四边形 ABCD 中 过点 B 的直线交 AC 于 M 交 CD 于 N 且 CD CN AC AM S ABC S ABD S BCD 1 3 4 求证 M N 平分 AC 和 CD 证明证明 设 S ABC 1 则 S ABD 3 S BCD 4 S ACD 3 4 1 6 设 k 0 k 1 连结 AN CD CN AC AM 根据高相等的三角形面积的比等于底的比 得 S ACN 6k k CD CN S S ACD ACN S AMN 6k k 6k2 k S AC AM S ACN AMN S BCN 4k k CD CN S S BCD BCN D C B A P T D C B A P D C B A N M D C B A 图 6 图 7 图 8 图 9 5 S ABM k S BMC 1 k k AC AM S S ABC ABM S ACN S AMN S MNC S BCN S BMC 6k 6k2 4k 1 k 6k2 k 1 0 k 或 k k 不合题意 舍去 2 1 3 1 3 1 k CD CN AC AM 2 1 AM MC CN ND 即 M N 平分 AC 和 CD 点评点评 有一类平面几何的证明 可以根据图形性质引入参数 布列方程 通过计算来完 成 我们称它为参数法 其关键是正确选定参数和准确的进行计算 联系数量间关系的变数 叫做参变数 简称参数 例例 8 已知 点 O 是 ABC 的外心 BE CD 是高 如图 10 求证 AO DE 证明证明 延长 AO 交 ABC 的外接圆于 F 连接 BF O 是 ABC 的外心 AF 是 ABC 外接圆的直径 ABF Rt BE CD 是高 BDC CEB Rt B C E D 四点共圆 同斜边的直角三角形顶点共圆 ADE ECB F AGD ABF Rt 即 AO DE 点评点评 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质 常用的有 同弧所对的圆周角相等 圆内接 四边形对角互补 外角等于内对角 圆心角 圆周角 弧 弦 弦心距的等量关系 圆中 成比例线段定理 相交弦定理 切割线定理 因此在解题可以根据需要画出辅助圆 同步练习同步练习 一 填空题一 填空题 1 如图 11 ABC 中 BAC 135 AD BC BD 4 DC 6 则 S ABC G O C B A D F E 图 10 6 2 凸八边形 ABCDEFGH 的八个内角相等 边 AB BC CD DE EF FG 的长分别为 7 4 2 5 6 2 则该八边形的周长 3 如图 12 A B C D 是圆周上的四点 且弦 AB 8 弦 CD 4 则图 AAAA ABCDACBD 中两个弓形 阴影 的面积和 4 2010 年全国 如图 13 在平面直角坐标系 xOy 中 多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O 0 0 A 0 6 B 4 6 C 4 4 D 6 4 E 6 0 若直线 l 经过点 M 2 3 且将多边形 OABCDE 分割成面积相等的两部分 则直线 l 的函数 表达式是 二 选择题二 选择题 5 2010 年全国 如图 14 在四边形 ABCD 中 B 135 C 120 AB BC 2 3 CD 则 AD 边的长为 42 2 4 2 A B C D 2 66464 622 6 已知 如图 15 圆内接四边形 ABCD 的边 AB BC CD DA 的长分别为 25 39 52 60 则圆的直径长为 D C B A O D C B A 39 25 52 60 D C B A 图 11 图 12 图 13 图 14 图 15 7 A 62 B 63 C 65 D 66 三 解答题三 解答题 7 已知 在梯形 ABCD 中 AB CD O 是 AC 和 BD 的交点 OE AB 交 BC 于有 E 如图 16 求证 OECDAB 111 8 设一直线截 ABC 三边 AB BC CA 或延长线于 D E F 如图 17 那么 梅涅劳斯 Menelaus 定理 1 FA CF EC BE DB AD 9 2010 年全国 如图 18 ABC 为锐角三角形 P Q 为边 BC 上的两点 ABP 和 ACQ 的外接圆圆心分别为 O1和 O2 试判断 BO1的延长线与 CO2的延长线的交点 D 是否 可能在 ABC 的外接圆上 并说明理由 参考答案参考答案 1 答 10 提示 如图 19 分别作 EBA ABC ECA ACB 再过点 A 分别作 AF BE AG CE 易知 E 90 AD AF AG EF EG 利用勾股定理易求得 AD 的值 后略 G F E D C B A m M O D C E D C B A E O DC BAF E D C B A 图 16图 17 图 18 8 2 答 32 提示 易求该八边形每个内角为 135 则可以构造出矩形 且矩形每个顶点2 处得到一个等腰直角三角形 从而根据勾股定理可得解 3 答 10 16 提示 如图 20 作直径 AE 连接 BE 易得 相当于把 AA CmDBME 通过一定角度的旋转而得到 后略 A CmD A BME 4 答 提示 如图 21 延长 BC 交 x 轴于点 F 连接 111 33 yx OB AFCE DF 且相交于点 N 连接 由已知得点 M 2 3 是 OB AF 的中点 即点 M 为矩形 ABFO 的中心 所以直线 把矩形 ABFO 分成面积相等的两部分 又因为点 N 5 2 是矩形 CDEF 的中心 所以 l 过点 N 5 2 的直线把矩形 CDEF 分成面积相等的两部分 于是 直线即为所求的直线 MNl 设直线 的函数表达式为 则 lykxb 23 52 k b kb 解得 故所求直线 的函数表达式为 1 3 11 3 k b l 111 33 yx 5 答 D 提示 如图 22 过点 A D 分别作 AE DF 垂直于直线 BC 垂足分别为 E F 由已知可得 BE AE CF DF 2 于是 EF 4 62 266 过点 A 作 AG D