《高等数学》(同济六版上)期末模拟试题[1]

高等数学高等数学 试卷 同济六版上 一试卷 同济六版上 一 一 选择题 本题共 5 小题 每小题 3 分 共 15 分 1 若函数 则 x x xf lim 0 xf x A 0 B C 1 D 不存在1 2 下列变量中 是无穷小量的为 A B C D 1 ln 0 x x ln 1 xx cos 0 x x 2 2 2 4 x x x 3 满足方程的是函数的 0 x fx xfy A 极大值点 B 极小值点 C 驻点 D 间断点 4 函数在处连续是在处可导的 xf 0 xx xf 0 xx A 必要但非充分条件 B 充分但非必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非 必要条件 5 下列无穷积分收敛的是 A B C D 0 sin xdxdxe x 0 2 dx x 0 1 dx x 0 1 二 填空题 本题共 5 小题 每小题 3 分 共 15 分 6 当 k 时 在处连续 2 0 0 x ex f x xkx 0 x 7 设 则 xxyln dx dy 8 曲线在点 0 1 处的切线方程是 xey x 9 若 为常数 则 Cxdxxf2sin C f x 得分评卷人 得分评卷人 10 定积分 dx x xx 5 5 4 23 1 sin 三 计算题 本题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 11 求极限 x x x 2sin 24 lim 0 12 求极限 2cos 1 2 0 lim x t x edt x 13 设 求 1ln 25 xxey dy 14 设函数由参数方程所确定 求和 xfy ty tx arctan 1ln 2 dy dx 2 2 dx yd 15 求不定积分 2 12 sin3 dx xx 16 设 求 0 1 0 1 x ex f x x x 2 0 1 f xdx 四 证明题 本题共 2 小题 每小题 8 分 共 16 分 17 证明 dxxx nm 1 1 0 dxxx mn 1 1 0 Nnm 18 利用拉格朗日中值定理证明不等式 当时 0ab ln babba baa 五 应用题 本题共 2 小题 第 19 小题 8 分 第 20 小题 10 分 共 18 分 19 要造一圆柱形油罐 体积为 V 问底半径 r 和高 h 各等于多少时 才能使表面积最小 20 设曲线与所围成的平面图形为 A 求 2 xy 2 yx 1 平面图形 A 的面积 2 平面图形 A 绕轴旋转所产生的旋转体的体积y 得分评卷人 得分评卷人 得分评卷人 高等数学高等数学 试卷 同济六版上 二试卷 同济六版上 二 1 单项选择题 本大题有 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 1 1 0 sin cos xxxxxf A 0 2 f B 0 1 f C 0 0 f D f x 不可导 2 2 133 1 1 3 xxx x x x A xx 与 是同阶无穷小 但不是等价无穷小 B xx 与 是等价无穷 小 C x 是比 x 高阶的无穷小 D x 是比 x 高阶的无穷小 3 3 若 0 2 x F xtx f t dt 其中 f x 在区间上 1 1 二阶可导且 0fx 则 A 函数 F x 必在 0 x 处取得极大值 B 函数 F x 必在 0 x 处取得极小值 C 函数 F x 在 0 x 处没有极值 但点 0 0 F 为曲线 yF x 的拐点 D 函数 F x 在 0 x 处没有极值 点 0 0 F 也不是曲线 yF x 的拐点 4 4 2 1 0 xfdttfxxfxf A 2 2 x B 2 2 2 x C 1x D 2x 2 填空题 本大题有 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 5 5 x x x sin 2 0 31 lim 6 6 cos xf x x x x x xfd cos 7 7 lim coscoscos 222 21 n n nnnn 8 8 2 1 2 1 2 2 1 1arcsin dx x xx 3 解答题 本大题有 5 小题 每小题 8 分 共 40 分 9 9 9 设函数 yy x 由方程 sin 1 xy exy 确定 求 y x 以及 0 y 得分评卷人 得分评卷人 得分评卷人 10 10 d 1 1 7 7 x xx x 11 11 1 32 102 0 dxxf xxx xxe xf x 12 12 设函数 xf 连续 1 0 g xf xt dt 且 0 lim x f x A x A为常数 求 g x 并讨 论 g x 在 0 x 处的连续性 13 13 求微分方程 2lnxyyxx 满足 1 1 9 y 的解 4 解答题 本大题 10 分 14 14 已知上半平面内一曲线 0 xxyy 过点 01 且曲线上任一点M x y 00处切 线斜率数值上等于此曲线与x轴 y轴 直线x x 0所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和 求此曲线方程 5 解答题 本大题 10 分 15 15 过坐标原点作曲线 xyln 的切线 该切线与曲线 xyln 及 x 轴围成平面图形 D 1 求 D 的面积 A 2 求 D 绕直线 x e 旋转一周所得旋转体的体积 V 6 证明题 本大题有 2 小题 每小题 4 分 共 8 分 16 16 设函数 xf 在 0 1 上连续且单调递减 证明对任意的 0 1q 1 00 q f x d xqf x dx 17 17 设函数 xf 在 0 上连续 且 0 0 xdxf 0cos 0 dxxxf 证明 在 0 内至少存在两个不同的点21 使 0 21 ff 提示 设 x dxxfxF 0 得分评卷人 得分评卷人 得分评卷人 高等数学高等数学 试卷 同济六版上 三试卷 同济六版上 三 一 填空题 每题一 填空题 每题 3 分 分 1 则 x xf 1 1 xff xfff x x x x x xf xff 11 1 1 1 1 1 1 x x x xxff xfff 11 1 1 1 1 2 已知 则 3 111 lim 3 0 x kx x k 1 3 1 31 1 3 1 lim 11 lim 3 2 0 3 0 k k kkx x kx xx 3 若在可导 且 则 xf 0 xx x xfxaxf x lim 00 0 3 4 0 x f a 3 4 lim lim 0 00 0 00 0 ax f a xa xfxaxf a x xfxaxf xx 4 则 1 112 x x x f x f 32 2 1 1 1 x xf x xxf 5 设 则 1ln 2 0 xdttf x 2 f 25 6 2 1 4 1 2 1 2 22 22 2 f x xx xf x x xf 6 若满足 且 则 xf 0 xgxfxf 0 lim 0 x xg x 0 f 1 lim 0 lim 0 00 x xgx x fxf f xx 7 0sin 5 xdx 8 方程的通解是 0 xqyxpy dxxpdxxp edxexqCy 9 在极坐标下 由曲线 围成的平面图形 1 2 21 的面积 dA 2 12 1 2 2 10 则 a tax x dtte x 1 1 lim a 得分评卷人 因为 所以2 aax x e x 1 1 lim a a t a t a t eaetedtte 1 a 2 计算题 每题 7 分 1 且 求 1 12 x x fy 2 sin xxf dy 解 因为 所以 22 1 3 1 12 1 12 1 2 1 12 x x x f x xx x x fy dx x x x dy 2 2 1 12 sin 1 3 2 求曲线在点的法线方程 tey tex t t cos 2sin 1 0 解 2cos22 sinttex t sin costtey t 2 1 0 t dx dy 12 xy 3 Cedee e dxexxx x x 12 1 1 2 1 4 1 1 0 1 0 1 0 1 0 eexeexex eedeedxeedxe xxxx 5 43 4 1 2 3 1 1max 3 1 4 1 4 3 3 1 3 1 1 1 4 2 3 4 32 xxdxxdxdxxdxxx 6 解 1 4 arcsin2 1 1 2 1 1 0 1 0 2 1 0 xxd x xx dx 解 2 令 1 0 1 0 1 1 1 dx x x xxx dx t x x 1 2 2 1t t x dt t t dx 22 1 2 所以 4 arctan2 1 1 2 1 21 1 0 0 2 0 222 2 1 0 tdt t dt t t t t t xx dx 7 求的通解yxyyx 解 原方程化为 所以原方程的通解为 ydyxdxydxxdy 2 1 22 yxdxyd Cyxyx 22 2 8 求二阶方程的通解 x eyy 2 4 解 特征方程为 特征根为 齐次方程的通解为 设原方程的一04 2 r2 2 1 r xx eCeCY 2 2 2 1 得分评卷人 个特解为 代入方程得 所以原方程的通解为 x axey 2 x exay 2 12 x exay 2 1 4 4 1 a xxx xeeCeCy 22 2 2 1 4 1 3 已知曲线与在点处有公切线 求 0 axayxyln 00 yx 1 常数与切点 5 分 2 曲线与轴所围的几何图形的面积 4 分 a 00 yxx 3 该图形饶轴旋转所成的旋转体的体积 5 分 x 解 1 因为 所以 由此得 x a y 2 x y 2 1 xx a1 2 1 a x ayln1 1 ea 2 0 ex 1 0 y 2 2 1 6 1 3 1 1 2 1222 1 0 222 eeedyyeeA y 3 2 ln 22 1 2 0 2 ee dxxdx e x V 高等数学高等数学 试卷 同济六版上 四试卷 同济六版上 四 1 填空题 每题 2 分 共 18 分 1 函数在上连续 则 0 1 1 sin 0 x x x xax xf 1 a 2 因为 x x x sin 31ln lim 0 3 3 lim sin 31ln lim 00 x x x x xx 3 当时 是关于的 阶无穷小 0 x11 2 xx 因为 所以是关于的 2 阶无穷小 1 11 2 lim 11 lim 2 0 2 2 0 xx x xx 11 2 xx 4 已知 则 2 0 x f h xfhxf h 2 lim 00 0 4 2 2 2 lim2 2 lim 0 00 0 00 0 xf h xfhxf h xfhxf hh 5 2 2 324 sin dxxxx 得分评卷人 得分评卷人 5 64 5 2 sin 2 0 5 2 2 324 xdxxxx 6 已知则 0 2 dtexf x t 0 f 因为 则 2 x exf 2 2 x xexf 0 0 f 7 dxxfdxxfd 8 微分方程 称为 三阶线性 微分方程 5 xyyx 9 方程的通解为 042 yyxeCCy x 2 2 21 2 填择题 每题 2 分 共 10 分 1 设则是的 A 0 0 0 11 1 x xxx xf0 x xf A 可去间断点 B 无穷间断点 C 连续点 D 跳跃间断点 解 因为 0 0 2 111 lim lim 00 f x x xf xx 2 函数在点处的导数是 D 2 xxf2 x A 1 B 0 C 1 D 不存在 3 已知的一个原函数是 则 C xf 2 x e dxxf x A B C D 2 2 2 x ex 2 2 2 x ex Cxe x 12 2 2 dxxfxxf 解 因为 所以 22 2 xx xeexf Cexdxxfxxfdxxf x x 2 12 2 4 积分中值定理 其中 B b a abfdxxf A 是 a b 内任一点 B 是 a b 内必存在的某一点 C 是 a b 内唯一的某一点 C 是 a b 内中点 5 方程是 B 0 ln ln dyyxydxy A 可分离变量方程 B 线性方程 C 齐次方程 D 以上都不对 3 解答题 每题 4 分 共 40 分 1 求极限 1 3 1 lim 3 1 1 1 lim sin arctan lim 2 0 2 2 0 3 0 xx x x xx xxx 得分评卷人 得分评卷人 2 求极限0 1 12 lim1 1ln 1 lim 1 4 00 2 0 2 x xx dtt x x x x 3 已知 求 arcsin x ey y 解 x e e y x x 2 1 1 1 2 4 已知 求 y xey 1 dx dy 解 y y yy xe e yeyxey 1 5 设 存在 求 x efy x f 2 2 dx yd dx dy 解 xx efey 2xxxx efeefey 6 求Cxxdxdxx 655 12 12 1 12 12 2 1 12 7 求 dxxx 1ln 解 Cxxxx dx x xxxdx x x xx dx x x xxdxxdxxx 1ln 2 1 1 4 1 1ln 2 1 1 1 1 2 1 1ln 2 1 1 11 2 1 1ln 2 1 12 1 1ln 2 1 1ln 2 1 1ln 22 2 2 2 2 22 8 求 1 0 22 1dxxx 解 设 则 txsin 2 4cos1 8 1 2sin 4 1 cossin1 4 0 4 0 2 4 0 22 1 0 22 dtttdttdttdxxx 9 求dxxe x 0 解 1 0 0 00 dxexexde