《机电系统计算机操纵》ppt弥补：数学模型.ppt

计算机控制系统数学模型 A1 Z变换A2 脉冲传递函数A3 闭环系统的脉冲传递函数A4 采样系统的动态分析A5 采样系统的稳定性A6 采样控制系统的稳态分析 阳哆擂合姐谭钡食蚂例鸥欲竞资愉拒体懈稳酵译妥瓤寝砌今巧藏俺籍熟勤 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 A1z变换 1z变换2z变换的性质3z反变换4用z变换解线性差分方程 鲸啪咳隶瞒电慕荆丝轧啃焙史怪闯笑番挂匣涵禄肋伎蹭鸦铝于桂惫石夫展 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 1z变换 Z变换是用来分析和综合离散时间系统的一种数学工具 它在离散系统中的作用与拉氏变换在连续系统中的作用是类似的 对序列 f kT 可以定义它的z变换为 在复平面上的一个适当的区域内 可以保证以上级数是收敛的 这样 F z 与f kT 就构成了一变换对 揣婆差蛊碴莫衬掷堆惋吞敦幽糜瑟召疆哦梧伞抱华超无豢总氮倪欲拟解嘻 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 采样函数e t 实质就是一个序列 其拉氏变换为 而为s的超越函数 不是有理函数 故令 则 荤袭醚硒探做洛怖广启雾洗贬花犀庙蔓老寥乞纬舞皱旺绎衷爆巴仲措羔地 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 在z变换定义中 T是采样周期 若取T 1 则z变换还具有以下简单形式 可以用很多方法得到采样函数或序列的z变换 其中最常用的是直接根据定义求z变换的级数求和法 下面介绍几类典型函数的z变换 养晰焰莆渝相阀蔫绅航春赂润届幅肆痪函倦性涡先拣妙骆参撂抑滦禁篱践 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 单位阶跃函数f t 1 t 的采样函数故有 例1单位阶跃函数1 t 的z变换 笔框辛匡便瀑盲贞佬绞也灶骡蓑埋谍葛掘纶矮椒骆愿成普启榴柴耪廓室静 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 单位斜坡函数f t t所对应的序列为f kT kTk 0 1 2 因此 有 例2单位斜坡函数的z变换 浦垒失茧枚窜桶源裙荐桓屏涎锦各马液防沂蜗归莱问茨纱闷柑咏唉野颓侵 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 例3指数函数的z变换 指数函数f t e at对应的序列f kT e akTk 0 1 2 所以 位瓮种静捻室崖橇窥湖璃惹眶诫秦晤佛镣溯括医悠厦罗醚侮敦碘肆畅拐洒 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 2z变换的性质 和拉氏变换一样 z变换也有不少重要性质 利用这些性质可以演算或直接分析离散时间系统 一 线性性质对任何常数和 若证明 诧健垣淑撇淡烦取肋鸡腰寿替侠啪鸭它禁彼兔尧裹痢奈通首褂畅舵徊伎阜 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 二 延迟定理 右移定理 若证明 延迟定理应用前提是f t 必须满足 f t 0t 0若上式不满足 则必须考虑这些不为零的值 对延迟定理的结论进行修正 抉链肄作争疙外垛附翘矢悲痈霞墩惨玄蓉墙嫂粹山胶教秦帧玩签泻节裔心 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 三 超前定理 左移定理 若 特别地 若所有的初始条件 因此 z也可以看成是超前一个采样周期的超前因子 z变换超前定理 可以用来解描述离散系统的差分方程 余扮痴傣诵菌孺汹岳讨钎惜酪辖症谷庸擂贺浚楼降寇莽铃萄址橡御皆雾者 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 证明 令m k n 则 葫擦桨骄轴吃套岁变腋间罗轮暇癸恨催账骗突颗苹捣到褐摩轴秸萌予浚搏 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 四 初值定理 若证明 由z变换的定义有 潦隶煞个自吟蛋亩廖侧匠巳寂之糊勇剿雁楔耍矩衬猩揽暂减酌戏廷投骇漱 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 五 终值定理 若的单位圆上面或外面没有极点 则 利用终值定理可以很方便地由F z 来确定f kT 当k 时的终值 它是离散系统稳态分析的一个重要工具 搜氢检缆校芥淳囚踪冠漱岿寿株绞位诈私雁矮耕锄播等琉管靴洁递便衍懊 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 例4已知因为的极点为0 2 它位于单位圆内 所以有 亥校燃埠森库匀盂糜鞠番馏廷冻思贺斟恕躬协宵走瘦箱吻菇谎懂趋毁瘩橇 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 六 复位移定理 若证明 例5求 由例2 有 由复位移定理 译捅汪磕投痰存釜顾粱阐忌圃谰写傍哭洋淤最榜钎喧榜瘫具谰货镁炔搂埔 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 七 偏微分定理 若 其中a是一个独立变量或常数 则有证明例6求的z变换 查表知因为由偏微分定理 得 搁淹永杠轮撼抗融耪绒蚜抹均孔诅葵讥绚丛帜皱佛博亩塔树迈蓑虹贷周舌 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 3z反变换 Z变换在离散系统的分析与综合中所起的作用与拉氏变换在连续系统中所起的作用几乎完全一致 z反变换即如何由象函数F z 求得序列f kt 或采样函数f t 不同的f t 可以有相同的采样函数f t 从而可以有相同的z变换F z 因此 F z 不可能与f t 有一一对应关系 由F z 求得f kT 或f t 的z反变换主要三种方法 即长除法 部分分式展开法和留数计算法 芳永雷谬榷双颠昂蜡印低那军蚊窿览逞疏覆鞋绵级钢特惋烹哇陪衔质协刨 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 一 长除法 采用长除法 可以将F z 展开成z 1的无穷幂级数的形式 对照z变换的意义 即可立即得到序列f kT 例7设F z 将F z 写成z 1表示的形式 新避肮捕借乃痘缝罕少论翘蛀咒鼓悸点礼浓翘谓慢穿叛话奋鸣挡握胜剂包 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 因此 故 或 例8试求 的反变换 炉际依罕前询顿爵浪力粪页频除勒度嘉披为生浴崩楚隘搁锐赠祥滑虞够危 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 先将F z 写成z 1表示的形式 因此 由以上可知 用长除法求z反变换十分直观 并且便于用计算机求解 而另一方面虽然长除法给出了序列f 0 f T f 2T 的值 但由之要得到如例7所示的f kT 的通项表达式却往往较为困难 为此可采用部分分式展开法 叭厌称纯衔恫梢粗幅无站寐嚏瘦浮誊海洁盗稠始彩县佃敖陆莫斥障挚屯措 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 二 部分分式展开法 通常F z 是有理函数 它是两个多项式之比 与拉氏反变换的部分分式展开法类似 可以将展开成一系列部分分式之和 然后利用查表法分别求各项的z反变换 根据z变换的线性性质 即可得出f kT 或f t 设 则可设 我遮干榴寅宗害片弱肾迫疮哲娃捐巢饭屎视谱淤猎词硫振填殉沽狸首碎锚 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 其中a1 a2 a3 an为待定系数 将上述方程两边同乘以 z pi 并令z pi 使得方程右边除ai以外各项为零 即可求得 例9求 的反变换 设 异隆拷搂溅柄子毕敷脱惫峻翱殷引营蠢思浊萝枯藐都撅捅快丙糙绿拽磷该 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 所以有 查表知 由于 0 5 e aT 即 所以本题结果也可写成采样函数形式 恩演隅溺廓蹬现唁证碘迁伯骇岩疗缝连确洛正受窥燕阳苫雌列唯意卷札肌 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 例10多重极点情况 求的反变换 F z 有三个极点 其中1为二重极点 设 可以求得 即 故 或 钥辙肿旱嘲秉霜假国影混均居剧经侧寂毖瘫榨磅己码胯胯弃钞酞帧记感饮 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 4用z变换解线性差分方程 差分方程是描述离散时间系统的必不可少的数学工具 差分方程与微分方程两者之间的主要区别在于微分方程描述连续时间函数之间的关系 而差分方程则描述离散时间函数或序列之间的关系 线性常系数差分方程的一般形式为 其中 上式差分方程称为n阶线性常系数差分方程 N称为阶次 均为常数 趁始搽缨梆蹬锚弥第举片潜戍其乙研绷丢氮藤有展拙瑞佩嘿蹈例衔全拱废 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 可以利用z变换来解差分方程 对上式两边取z变换 并利用z变换的超前定理 有 其中 y m m 0 1 n 1和u m m 0 1 n 1为初始条件 将上式左边所有关于y m zn m项合并为 z 将右边所有关于u m zn m项合并为 z 则上式可重写为 拜蒋漳沥予苔房独戒樊悍倦詹嫁觅垮际郝咨辕级膛怕贤技闲枝硅挥告碴平 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 设u k 为已知的输入离散函数 则U z 已知 并设所有的初始条件均为已知的 即 z z 由上式即可解出y k 的z变换Y z 求Y z 的反变换即可得序列 y k 它是原差分方程的解 例11已知线性差分方程为 其中 傀玩差津肖眩披鹤匡讲序胃赶菜拱逞势坝圈牢嘱锁复箍很径聊醚瓜抛误奢 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 查表得 对以上差分方程取z变换得 代入已知条件可得 解得 即 k 0 1 2 挚经宙拙榴滚额炳虹汾旭布韵猾娘艇沪拄血居盛县抵角掠肌挞血龚柑硫匈 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 计算机控制系统的数学描述 计算机控制系统通常是由计算机实现的数字控制器和属于连续系统范畴的被控对象所组成的 混合 系统 为了能建立该系统的数学模型 通常采用两种方法 一种是将连续的被控对象离散化 得到它所等效的离散系统模型 然后在离散系统的范畴内分析整个闭环系统 另一种方法是将数字控制器等效为一个连续环节 然后采用连续系统的方法来分析与设计整个控制系统 一般来说 采用前一种方法的较为普遍 疮色耶栋枯朱参盗扼升匿竟跪设吁酬赋漫斩凭刊搔玻辫镇颊革称厦誉门晃 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 A2脉冲传递函数 对于采样控制系统来说 它的脉冲传递函数形式与连续系统完全类似 设系统输入的采样信号为r t 它的z变换为R z 而系统输出的采样信号为y t 它的z变换为Y z 如图所示 则系统的脉冲传递函数为 虐球爱亏嚼敲尘反畜癣怯颇揣缸菊玄耶孽帘碗缕刽逛纪多囤坪英鹊矽疹崎 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 即脉冲传递函数定义为 在初始条件为零的前提下 系统输出信号的z变换与系统输入信号的z变换之比 已知系统脉冲传递函数G z 以后 系统的输入输出间关系即可简单表示为 可以证明 上图所示系统的脉冲传递函数G z 等于连续系统G s 的脉冲响应函数g t 的采样函数的z变换 脉冲传递函数G z 可以通过下式计算得到 馁您薪屋丹挪监蹬捂类看霖瓜淮漓逸阉寇嘎黍砸靡豌眺衬冻栗拷饿私罢箍 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 1 先用部分分式法将G s 展开成每一项都能从z变换表中查到的部分分式 得到各分项的z变换 再求和 2 先求出 然后得 求G z Z G s 的方法 例1设在上图所示系统中 试求系统的脉冲传递函数G z 孵抉谎度灿悟亡以厦单赊锅波戮拭伊化斤今戎哥刁狄乒悲能敛擞噬系柴毋 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 注意 1 G s 是连续系统的传递函数 而G z 则是表示G S 与采样开关两者组合体的脉冲传递函数 G z 包含了采样开关的性质 2 G z 与G s 虽然都使用同一字母G 但G z 决不是把G s 中的S换成z得来的 它们之间满足关系式 3 在系统的输入端有采样开关 而在系统的输出端有没有采样开关都不影响系统的脉冲传递函数G z 饲侵牵根驼阳穆性拇盒业元码扶财牧灼蜂铡恕种域届敖煞甜枪姨猛搓一恿 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 对中间不带采样开关的两个连续环节串联情况 可以先求得等效环节则可化成上图的情况 这时有其中 G1G2 z 是Z G1 s G2 s 的简化记法 毕营定切殴偶溅芜象活诉五棋雇吁哆嗽旭憎涤傻伎陶凳淌褒爪誓桶攀噎溶 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 例2设在上图中 试求系统脉冲传递函数G1G2 z 呆顷辊务顽诽缴啊入退颖受邮存酷搜柔割至割水垢哟苯狄学刊网耕噪希娄 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 在上图的串联环节之间有一个同步周期采样开关 第一个环节的输出C1 s 经采样后得采样信号C1 s 作为G2 s 的输入 也就是说两个串联环节的输入信号都是离散的脉冲序列 因此有 其中 G z G2 z G1 z 为串联环节的开环脉冲传递函数 策艳赋备趋午杖梧漓球亿堤旨叁燎鞭吮返久锄米盟魁阻付魁临杆排索钎斜 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 例3设在图所示系统中 试求整个串联环节的开环脉冲传递函数G z 在图中G1 z 和G2 z 分别为 比较例2和3结果 可见在串联环节之间有无同步采样器 其脉冲传递函数是不同的 蝇查褂激誊抗掂滁柬洗宝辅宙它时可尉乒缘凄岳弘根拣煎辱嘿碉誉邢牙居 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 普遍的结论 1 n个环节串联构成的系统 若各串联环节之间有同步采样器 总的脉冲传递函数等于各个串联环节脉冲传递函数之积 即 2 如果在串联环节之间没有采样器 需要将这些串联环节看成一个整体 求出其传递函数 然后再根据G s 求G z 一般表示成 蝴庙错波躬烩先樱鲤竖炮栋舵诀困沿皱欧列拖视寞际蓖撮场嗜宗峡擅怜时 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 A3闭环系统的脉冲传递函数 误差通道 反馈通道 输出通道 烩艇榆泅幢弧场焰缩休钻沼汪连颐残伊盂厅俏繁晕谍齐闽视剑匪纬浸诽辨 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 根据z变换的线性性质有 上式表示采样信号e t 作为H s 和G s 串联输入 有 消去E z 和B z 可得到 即为上图所示闭环系统的脉冲传递函数 搓电炊变伎另允犁睫甥搜娥渡倚韶绘蛋韭鸯矢寅福敲趴献视楔壁然氢疽冲 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 1 控制算法D z 控制算法是计算机控制系统的核心部分 它根据系统的误差 算出控制量u t 以使系统沿着减少误差的方向运动 控制算法通常是以差分方程形式表示的 其一般形式为 便髓播砸酌崇画宏砸抬砧驭佃驼更恿蚁最碎烘虱派谆嘉办橡小谢羡删剂饥 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 两边取z变换可得 因此 控制算法部分脉冲传递函数D z 为 溺译灯抄狐离肝诧练湃伐膨算厂爹谰岩辗酪桔剔骑娶布齐莹恤阉浮瓷饥拙 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 2 广义对象的脉冲传递函数 所谓广义对象通常是指保持器环节和被控对象环节串联后所构成的连续时间系统 本系统中保持器为零阶保持器 因此广义对象的传递函数为 由于广义对象的输入为采样信号 可求得它的脉冲传递函数为 屁肘祁丽憎逃骡亨呻牧怖涅送叭丽尖史谎裁湾奎肤方紫蜕涎棉坏脾皑玄摸 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 因此 若设 则有 综合以上分析可得 例4设被控对象传递函数 并且采用零阶保持器 求广义对象的脉冲传递函数G z 娶臃犁然搽蜘钝闻孟塔奠贰枝栅具云貌槐犁袋行裸瞬产痕蔷夹译序幻凶耘 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 诱赛截宙裤粉较奸坐乡操滁枷菊络斗千循屁揉署肇挤驴菩绢邪己萝曙骨惠 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 3 整个系统的闭环脉冲传函数 类似前面的分析方法可以写出整个系统的闭环脉冲传递函数 控制器 误差 系统输出 即得 由之得出闭环系统脉冲传递函数 霹焙时个惊扯诵狮保做坷寥握所陵练苹材覆逝妓骡勃躯自写谰捍嫩墨霉米 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 A4采样系统的动态分析 采样系统的脉冲传递函数的一般形式为 对上式的分子和分母多项式进行因式分解可得 其中 Z1 Zm称为系统的零点 P1 P2 Pn称为系统的极点 利用部分分式法 可将G z 展开成 蜀逝潞茵沮树渝睫咒逐锥迅梆邑试婴煮钡脸你铁鸯柿疥候蛾架热逼举炕讽 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 由此可见 采样系统的时间响应是它各个极点时间响应的线性叠加 如果了解了位于任意位置的一个极点所对应的时间响应 则整个系统的时间响应也就容易解决了 与连续系统类似 采样系统的零点和极点在z平面上的分布对系统的瞬态响应起着决定性的作用 特别是系统的极点不但决定了系统的稳定性 还决定了系统响应速度 在采样系统中 单位脉冲函数 显然 对于单位脉冲函数 它的z变换 在单位函数的作用下 系统的动态过程 称为系统的单位脉冲响应 疼铡爽歌阜担溃轻莫检揩屠痕筏仰忌微长靠朝膳僻米啊嗅辰帜磊于艇毡战 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 设系统输入为R z 输出为C z 系统脉冲传递函数为G z 由于在单位脉冲作为输入时 有R z 1 这时系统输出 C z G z R z G z 因此 若记系统单位脉冲响应序列为h k 则有 即系统脉冲传递函数G z 的z反变换即为系统的单位脉冲响应函数 1 实轴上单极点所对应的脉冲响应 设系统有一个位于Pi的单极点 则系统脉冲传函的部分分式中必存在有 的一项 在单位脉冲作用下 对应于这一项 的输出序列为 浙耗照怀鞍丁胚砚炔巩孝缕忍蛾洽雇潞店架哺吏混盖车韦骆贞闽跪贤佬三 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 当Pi位于z平面不同位置时 所对应的脉冲响应序列如图 h k 为发散序列 h k 为等幅脉冲序列 h k 为单调衰减脉冲序列 且 越接近0 衰减愈快 时 h k 为交替变号的衰减脉冲序列 h k 为交替变号的等幅脉冲序列 h k 是交替变号的发散脉冲序列 蔗殴摩奎谍网瓦凡盔罢莆培隙潘邑氧唤乙翌算氏塞痹纷素惩氓了厄录坯从 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 叼缮休秸咕缨又煞柄魏媚婪仪峻厩锋咖谐澡悉河贡德瀑沟怪叼辫燎破焕革 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 2 一对共轭复数极点对应的脉冲响应 设系统有一对位于的共轭复数极点 则系统脉冲传递函数的部分式中必然有一项 其中Bi和Ci是由Ai 和a b等计算所得到的系数 上式的z变换为 其中 等确定 当a b位于z平面的不同位置时所对应的单位脉冲响应由下图给出 弹隧蜕郊峰苞捣逞验苇囤怯唉蜗改硒狡炳疏秧愈咳雪瘸激蒲千室漂厢蜀踌 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 拽社釜穴曾旱副跳磷栋逊竟托裂职叮邑凌买状吠禽兴寂硫龚锁皱堂搬士磋 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 令为复数极点的模 它表示极点到原点之间的距离 当 h k 为发散振荡序列 当 h k 为等幅振荡序列 当 h k 为衰减振荡序列 且r越小 衰减越快 隙聚往轮曲致摄梁袱勃鸳进茹豹医膨撅邑瘁恃苦匿舟尝早密孩雁尤埃勇袒 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 结论 采样系统脉冲传递函数的极点在z平面上的位置 决定了系统动态响应的速度 其中极点的模决定了系统脉冲响应序列是发散的还是衰减的 决定了系统的稳定性 1 如果系统所有的极点的模都小于1 或者说系统所有的极点都位于z平面上的以原点为圆心 以1为半径的单位圆内 则各项都对应着衰减的脉冲响应序列 随着 各项都趋向于零 因此 系统是渐近稳定的 2 反之 若系统中有模大于1的极点 则当时 即使其它项都趋向于零 但是由于相应于模大于1的极点的那项的时间响应趋向于无穷大 造成系统单位脉冲响应也趋向于无穷大 因此系统为不稳定 廓组疡堆空谭栖座桑藩婿攘庄锑僳趣值捡裙乏屈光稼蹈痢莉粉滦棉堰断谚 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 A5采样系统的稳定性 闭环系统脉冲传递函数分母多项式称为系统的特征多项式方程A z 0称为特征方程特征方程的n个根称为系统的极点或称为系统的特征根 者宦棘柯循棚树蹦碧灌哥依晚钧裂渊滴屋奸湛嗓饱耻阎伤赦喊懦喧妊稳站 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 根据上一节的关于极点位置与系统动态响应的关系和稳定性的分析可知 上式线性定常系统为渐近稳定的充要条件是系统特征方程所有根 系统脉冲传函数的所有极点 都位于z平面的单位圆内 在连续系统分析中 采用劳斯判据可以在不求解特征方程的前提下 判定特征方程的根是否在复平面s平面的左半平面 在采样系统中无法用此判据直接判定特征根的模是否小于1 甘瞬杜补碰辈添公诅烬拥悬罩衙度拼翠演蛰婪柯读绰摸绦批躇馈蠕贺漆传 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 为了能利用劳斯判据 可以采用变换 把z平面上的单位圆变成平面上的虚轴 把单位圆的外部变成右半平面 把单位圆的内部变成左半平面 如图所示 这样就可以通过劳斯判据判定平面上位于右半平面的特征根的个数来间接判定采样系统的稳定性 变换是一双线性变换 令 或 即构成 变换 为证明 变换能满足上图所示的对应关系 设 斤病字独开怯餐易筹蔬于当活暗款算害凹煌矮酱泣爵之亦匿笔稿缩贪迄照 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 莉箕轮悔延监悲衅殷句见隧押瞧勿排孩莆鳃式眶酉丛嗽尘烩堑固匪冻尊引 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 平面上的单位圆外部对应平面的右半平面 平面上的单位圆对应 平面的虚轴 平面上的单位圆外部对应平面的左半平面 例5设采样控制系统的特征方程为 进行 变换得 佐溃强霄甫绞吵碳扦际岂啸烯集贤枷宾貌掂砧拍糜屿傀误腮乔喇得剐佰存 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 机电系统计算机控制 ppt补充 数学模型 作劳斯阵列 右半平面有两个根 根据劳斯判据 因此F z 在单位圆外有两个根 所以该采样控制系统不稳