两角和与差的正弦

最高考 一轮数学 课堂过关 第 1 页 两角和与差的正弦 余弦和 正切公式 对应学生用书 文 理 49 50 页 掌握两角和与差的三角函数公式 能运用两 角和与差的正弦 余弦和正切公式进行简单 的三角函数式的化简 求值及恒等式证明 了解用向量的数量积推导出两角差的余 弦公式的过程 能从两角差的余弦公式推 导出两角和的余弦 两角和与差的正弦 两 角和与差的正切公式 体会化归思想的应 用 1 必修 4P106习题 1 改编 计算 cos42 cos18 cos48 sin162 的结果等于 答案 1 2 解析 原式 sin48 cos18 cos48 sin18 sin 48 18 sin30 1 2 2 必修 4P104习题 5 改编 已知 tan tan 则 tan 6 3 7 6 2 5 答案 1 解析 tan tan 1 6 6 tan 6 tan 6 1 tan 6 tan 6 3 7 2 5 1 3 7 2 5 最高考 一轮数学 课堂过关 第 2 页 3 必修 4P94习题 2 1 改编 若 sin 则 3 5 2 2 cos 5 4 答案 2 10 解析 由 sin 得 cos 由两角和与差的余弦公式得 2 2 3 5 4 5 cos cos cos sin sin cos sin 5 4 5 4 5 4 2 2 2 10 4 sin 47 sin 17 cos 30 cos 17 答案 1 2 解析 因为 sin 47 sin 30 17 sin 30 cos 17 sin 17 cos 30 所以原式 sin 30 sin 30 cos 17 sin 17 cos 30 sin 17 cos 30 cos 17 1 2 5 必修 4P110 例 6 改编 已知 sin sin 则的值为 2 1 10 1 tan tan 答案 2 3 解析 法一 5 1 sincos 10 3 cossin 10 1 sincoscossin 2 1 sincoscossin 从而 2 3 5 10 3 sincos cossin tan tan 法二 x tan tan 5 sin sin 5 1 1 1 tan tan 1 tan tan tantan tantan coscos sin coscos sin x x x 即 2 3 tan tan 2 3 最高考 一轮数学 课堂过关 第 3 页 1 两角差的余弦公式推导过程 设单位圆上两点 P1 cos sin P2 cos sin 则 P1OP2 向量 a cos sin b cos sin OP1 OP2 则 a b a b cos cos 由向量数量积的坐标表示 可知 a b cos cos sin sin 因而 cos cos cos sin sin 2 公式之间的关系及导出过程 3 公式 cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 4 asin bcos sin 其中 a2 b2 cos sin tan 的终边所在象限由 a b 的符号来确定 a a2 b2 b a2 b2 b a 备课札记 题型 1 三角函数式的化简与给角求值 例 1 1 化简 tan tan tantan 6 6 3 6 6 2 求值 2sin 50 sin 10 1 tan 10 32sin280 解 1 原式 tan tan tan 6 6 1 tan 6 tan 6 3 6 6 3 2 原式 sin 80 2sin50 sin10 cos10 3sin10 cos10 2 2 sin 50 cos 10 sin 10 cos 60 10 2 2sin 50 10 2 22 3 26 变式训练 最高考 一轮数学 课堂过关 第 4 页 1 化简 sin 75 cos 45 cos 15 3 2 计算 sin50 1 3tan10 cos20 cos80 1 cos20 解 1 原式 sin 45 30 cos 45 cos 45 30 3 sin 45 cos 45 cos 45 cos 45 sin 45 0 3 2 1 2 3 2 3 2 2 因为 sin50 1 tan10 sin50 sin50 1 3 cos10 3sin10 cos10 2sin40 cos10 cos80 sin10 sin210 1 cos20 2sin210 2 所以 sin50 1 3tan10 cos20 cos80 1 cos20 1 cos20 2sin210 2 题型 2 给值求值 求角问题 例 2 已知 0 tan cos 2 2 1 2 2 10 1 求 sin 的值 2 求 的值 解 1 tan 2 1 2 sin sin 2sin cos 2 2 2 2 2sin 2cos 2 sin2 2 cos2 2 2tan 2 1 tan2 2 2 1 2 1 1 2 2 4 5 2 0 sin cos 2 4 5 3 5 又 0 0 2 由 cos 得 sin 2 10 7 2 10 sin sin sin cos cos sin 7 2 10 3 5 2 10 4 5 25 2 50 2 2 由 得 2 3 4 或求cos 2 2 得 3 4 变式训练 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 以 Ox 轴为始边作两个锐角 它们的终边分 别与单位圆相交于 A B 两点 已知 A B 的横坐标分别为 求 2 10 2 5 5 1 tan 的值 2 2 的大小 最高考 一轮数学 课堂过关 第 5 页 解 由条件得 cos cos 2 10 2 5 5 为锐角 sin sin 1 cos2 7 2 101 cos2 5 5 因此 tan 7 tan sin cos sin cos 1 2 1 tan 3 tan tan 1 tan tan 7 1 2 1 7 1 2 2 tan2 2tan 1 tan2 2 1 2 1 1 2 2 4 3 tan 2 1 tan tan2 1 tan tan2 7 4 3 1 7 4 3 为锐角 0 2 2 3 2 3 4 题型 3 有限制条件的求值 证明及综合应用问题 例 3 已知 sin msin 2 m 1 求证 tan tan 1 m 1 m 证明 由 2 得 sin m sin 即 sin cos cos sin m sin cos cos sin 即 1 m sin cos 1 m cos sin 两边同除以 1 m cos cos 得 tan tan m 1 即等式成立 1 m 1 m 备选变式 教师专享 已知 且 sin cos 2 2 2 6 2 1 求 cos 的值 2 若 sin 求 cos 的值 3 5 2 最高考 一轮数学 课堂过关 第 6 页 解 1 因为 sin cos 2 2 6 2 两边同时平方 得 sin 1 2 又 所以 cos 21 sin2 3 2 2 因为 2 2 所以 2 2 又 sin 得 cos 3 5 4 5 cos cos cos cos sin sin 3 2 4 5 1 2 3 5 4 3 3 10 1 2015 江苏 已知 tan 2 tan 则 tan 的值为 1 7 答案 3 解析 tan 则 tan 3 2 tan 1 2tan 1 7 2 2015 无锡期末 将函数 y cosx sinx x R 的图象向左平移 m m 0 个单位长度 3 后 所得到的图象关于 y 轴对称 则 m 的最小值是 答案 6 解析 函数 y cosx sinx x R 的图象向左平移 m m 0 个单位长度后 所得到的 3 函数是 y 2sin 其图象关于 y 轴对称 则 m k k Z 则 m 的最小值 x m 3 3 2 是 6 3 2015 南京模拟 已知 sin 0 x 则 4 x 5 13 4 cos2x cos 4 x 答案 24 13 解析 因为 x 所以 x 因为 sin 所以 cos 又 0 4 4 0 4 4 x 5 13 4 x 12 13 cos2x cos sin2 2sin x cos 2coscos 所以原式 2 2 4 x 4 x 4 4 x 4 x 4 x 2cos 4 x 24 13 4 2015 金陵中学联考 在 ABC 中 已知 sinA 13sinBsinC cosA 13cosBcosC 则 最高考 一轮数学 课堂过关 第 7 页 tanA tanB tanC 的值为 答案 196 解析 由题意 cosA cosB cosC 均不为 0 由 sinA 13sinBsinC cosA 13cosBcosC 两式相除得 tanA tanBtanC 又由 cosA 13cosBcosC 且 cosA cos B C sinAsinB cosAcosB 所以 sinAsinB 14cosAcosB 所以 tanBtanC 14 又 tanB tanC tan B C 1 tanBtanC tanA 1 tanBtanC 所以 tanA tanB tanC tanAtanBtanC 196 1 已知 均为锐角 且 tan 则 tan cos sin cos sin 答案 1 解析 tan cos sin cos sin tan tan 1 tan 1 tan 4 均为锐角 即 4 4 tan tan 1 4 2 函数 f x sin x 2 2sin cos x 的最大值为 答案 1 解析 f x sin x 2 2sin cos x sin x 2sin cos x sin x cos cos x sin 2sin cos x sin x cos cos x sin sin x sin x f x 的最大值为 1 3 已知 sin 2 5 5 1 求 sin的值 4 a 2 求 cos的值 5 6 2a 解 1 因为 sin 2 5 5 所以 cos 1 sin2 2 5 5 最高考 一轮数学 课堂过关 第 8 页 故 sin sin cos cos sin 4 a 4 4 2 2 2 5 5 2 2 5 5 10 10 2 由 1 知 sin2 2sin cos 2 5 5 2 5 5 4 5 cos2 1 2sin2 1 2 5 5 2 3 5 所以 cos coscos2 sinsin2 5 6 2a 5 6 5 6 3 2 3 5 1 2 4 5 4 3 3 10 4 已知函数 f x sin cos x R x 7 4 x 3 4 1 求 f x 的最小正周期和最小值 2 已知 cos cos 0 求证 f 2 2 0 4 5 4 5 2 1 解 f x sinxcos cosxsin cosxcos sinxsin sinx cosx 2sin 7 4 7 4 3 4 3 422 所以 T 2 x 4 f x min 2 2 证明 cos cos cos sin sin 4 5 cos cos cos sin sin 4 5 得 cos cos 0 于是由 0 cos 0 2 2 故 f f 2 2 0 2 1 1 三角函数式的化简要遵循 三看 原则 一看角 二看名 三看式子结构与特 征 2 对于给角求值问题 往往所给角都是非特殊角 解决这类问题的基本思