《数值分析教程》PPT课件.ppt

计算方法 第一章引论 一 数值分析的概念 地位和特点 1数值分析的研究对象 课程简介 3 先看两个例子 例1求方程x2 2sinx 在区间 1 2 内的根 理论上可知显然找不出根的解析式 即无法求出精确解 例2用Cramer法则求解n元线性方程组 显然理论上可行 且有精确表达式 实际计算时会出现什么问题呢 若记 则有 n阶线性代数方程组 克莱姆算法 若A是非奇异矩阵 则方程组有唯一解 记D detA 应用Cramer法则可得 即 其中 利用Cramer法则求解方程组需要进行的乘法和除法的次数为 利用计算机高速的简单运算 加 减 乘 除 去实现各种复杂的功能 数值分析的本质 科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件 Matlab Mathematica Maple MathCADetc 为工具 以数学模型为基础进行模拟研究 现代科学的三个组成部分 科学理论 科学实验 科学计算 2 数值分析的地位 促使一些边缘学科的相继出现 计算数学 计算物理学 计算力学 计算化学 计算生物学 计算地质学 计算经济学 等等 实际问题 在建立了数学模型之后 并不能立刻用计算机直接求解 还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法 即将数学模型中的连续变量离散化 转化成一系列相应的算法步骤 编制出正确的计算程序 再上机计算得出满意的数值结果 总的来看 数值分析这门课具有以下几个特点 1 数值分析是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的学科 2 面向计算机 要根据计算机的特点提供实际可行的有效算法 3 有可靠的理论分析 能任意逼近并达到精度要求 对近似算法要保证收敛性和数值稳定性 3 数值分析的特点 4 要有好的算法复杂性 即时间复杂度和空间复杂度要小 5 要有数值试验 二 数值分析的研究内容 理论上课时数 30上机实验时数 0 参考书 1 计算方法 c语言版 第1版 靳天飞等 清华大学出版社 2010 6 教材 1 数值分析 第5版 李庆扬等 清华大学出版社 2008 12 2数值计算的误差 2 1误差的来源与分类 用计算机解决科学计算问题时 需要经历以下几个环节 数值结果是指在选择某种数值方法之后 编制程序正确 输入初始数据正确的情形下所获得的结果 实际问题的精确解与用计算机计算出来的数值结果之间就有差异 这种差异在数学上称为误差 模型误差 ModelingError 从实际问题中抽象出数学模型时产生的误差 观测误差 MeasurementError 通过测量得到模型中参数的值导致输入数据的误差 方法误差 截断误差 TruncationError 近似求解时产生的误差 舍入误差 RoundoffError 由于计算机字长有限而在数值运算的每一步所产生的误差 大家一起猜 1 1 e 解法之一 将作Taylor展开后再积分 舍入误差 RoundoffError 0 747 由截去部分 excludedterms 引起 由留下部分 includedterms 引起 设是某实数的精确值 是它的一个近似值 则称为近似值的绝对误差 简称误差 2 2误差与有效数字 定义2 1绝对误差 相对误差 称为的相对误差 常用表示 定义2 3有效数字 significantdigits 用科学计数法 记 其中 若 即的截取按四舍五入规则 则称为有n位有效数字 精确到 注 0 2300有4位有效数字 而0 0023只有2位有效 12300如果写成0 123 105 则表示只有3位有效数字 数字末尾的0不可随意省去 例 设x1 1 73 x2 1 7321 x3 1 7320是其近似值 问它们分别有几位有效数字 3位5位4位 定理2 1有效数字与相对误差的关系 有效数字 相对误差限 已知x 有n位有效数字 则其相对误差限为 相对误差限 有效数字 解 例 有效数字 2 3求函数值和算术运算的误差估计 初始数据引起计算函数值的误差 函数值A 的绝对误差 略去高阶项 基本运算中的误差估计 例假定某长方形运动场的长为x 宽为y 并实地测得其长x 100 30米 宽y 80 50米 若x 和y 的误差限都是0 005米 试求其面积s的近似值s 的误差限和相对误差限 由两个数的积的相对误差限估计式得 解 据题意 由两个数的积的误差限估计式得 例在计算球的体积时 为了使相对误差限为1 问测量半径r时允许的相对误差限为多少 从而有 解 计算球的体积公式为 设体积 的近似值为 半径 的近似值为 则 得到相对误差限估计式为 这说明 测量半径r时允许的相对误差限为1 300 3病态问题 数值稳定性与避免误差危害 问题 对于y f x 若用x 取代x 将对y产生什么影响 3 1病态问题与条件数 条件数很大时 初始数据的微小误差可能引起结果A的很大误差 对数学问题而言 如果输入数据有微小扰动 引起输出数据 即数学问题的解 有很大扰动 则称数学问题是病态问题 否则称为良态问题 例 计算 公式一 注意此公式精确成立 Whathappened 3 2数值方法的稳定性 考察第n步的误差 公式 注意此公式与公式一在理论上等价 方法 先估计一个IN 再反推要求的In n N 可取 取 考察反推一步的误差 以此类推 对n N有 误差逐步递减 这样的算法称为稳定的算法 stablealgorithm 在我们今后的讨论中 误差将不可回避 算法的稳定性会是一个非常重要的话题 定义 一个算法如果输入数据有扰动 即有误差 而计算过程中舍入误差不增长 则称此算法是数值稳定的 否则称此算法为不稳定的 1 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法 2 避免两个相近的数相减 3 要防止大数 吃掉 小数 2 应选用数值稳定性的计算方法 2 简化计算步骤和公式 设法减少运算次数 避免误差危害的若干原则 3 3避免误差危害的若干原则 避免两个相近的数相减 当遇到两个相近的数相减时 参与运算的数应当多保留几位有效数字或者变换原来公式以避免这种情况的发生 由前面公式可知 可以看到 如果两个相近的数相减 则 而相对误差限就会比较大 故有效数字位会大大减少 较小 例给定 若使用计算机计算有 应如何变换公式使有效数字位增加 若使用计算器取四位有效数字计算 解 使用计算器计算取四位有效数字得 从而得到 但由于 而使用计算器取四位有效数字得 所以有 这说明变换公式后能使有效数字位由1位增加到3位 几种经验性避免方法 当 x 1时 取右端的有限项近似代替左端 要防止小数被大数 吃掉 而使有效数字位损失 例求一元二次方程 在数值运算中 如果两个参与运算的数相差太大 则小数有可能被大数 吃掉 而使有效数字位损失 从而影响计算结果的可靠性 的根 远远大于 解 求一元二次方程的根可以使用公式 有可能 可能损失有效数字位 使计算结果出现错误 按新的求根公式计算得到方程两个准确根为 例如 在只有7位有效数字的计算机系统上使用求根公式解方程 得到的两个根为 要避免这种错误的发生 可以修改求根公式为 要注意减少运算的次数 对于一个计算问题 如果能减少运算次数的话 我们不仅能减少计算时间 提高运行的速度 而且还可以减少误差的积累 如果把原式子改写为 解 按公式直接计算每一项后 再把每一项求和 就要进行 则计算n次多项式的算法可以是 按秦九韶算法计算n次多项式的值 只需要n次乘法和n次加法 的值 例计算n次多项式 次乘法和n次加法 例计算ln2的近似值 要求误差小于10 解 计算量太大 各项的舍入误差会损失和的有效数字 b 用级数计算 用前9项 即取m 8 计算就能达到精度要求 a 用级数计算 分母接近零的数会产生溢出错误 因而产生大的误差 此时可以用数学公式化简后再做 避免做除数绝对值远远小于被除数绝对值的