《数值计算方法》试题集及答案(1-6)-2..

精品文档 1欢迎下载 计算方法计算方法 期中复习试题期中复习试题 一 填空题 一 填空题 1 已知 3 1 3 2 1 2 0 1 1 fff 则用辛普生 辛卜生 公式计算求得 3 1 dxxf 用三点式求得 1 f 答案 2 367 0 25 2 1 3 2 2 1 1 fff 则过这三点的二次插值多项式中 2 x的系数为 拉格朗日插值多项式为 答案 1 2 1 2 1 3 1 2 3 2 2 1 2 xxxxxxxL 3 近似值 0 231x 关于真值 229 0 x 有 2 位有效数字 4 设 xf 可微 求方程 xfx 的牛顿迭代格式是 答案 1 1 n nn nn xf xfx xx 5 对 1 3 xxxf 差商 3 2 1 0 f 1 4 3 2 1 0 f 0 6 计算方法主要研究 截断 误差和 舍入 误差 7 用二分法求非线性方程f x 0 在区间 a b 内的根时 二分n次后的误差限为 1 2 n ab 8 已知f 1 2 f 2 3 f 4 5 9 则二次 Newton 插值多项式中x2系数为 0 15 11 两点式高斯型求积公式 1 0 d xxf 1 0 32 13 32 13 2 1 d ffxxf 代数 精度为 5 12 为了使计算 32 1 6 1 4 1 3 10 xxx y 的乘除法次数尽量地少 应将该 表达式改写为 1 1 64 3 10 x tttty 为了减少舍入误差 应将表达式 精品文档 2欢迎下载 19992001 改写为 19992001 2 13 用二分法求方程 01 3 xxxf 在区间 0 1 内的根 进行一步后根的所在区 间为 0 5 1 进行两步后根的所在区间为 0 5 0 75 14 计算积分 1 5 0 dxx 取 4 位有效数字 用梯形公式计算求得的近似值为 0 4268 用辛卜生公式计算求得的近似值为 0 4309 梯形公式的代数精度为 1 辛卜生公式的代数精度为 3 15 设 46 2 16 1 0 0 fff 则 1 xl 2 1 xxxl xf 的二次牛 顿插值多项式为 1 716 2 xxxxN 16 求积公式 b a k n k k xfAxxf d 0的代数精度以 高斯型 求积公式为最高 具 有 12 n 次代数精度 17 已知f 1 1 f 3 5 f 5 3 用辛普生求积公式求 5 1 d xxf 12 18 设f 1 1 f 2 2 f 3 0 用三点式求 1 f 2 5 19 如果用二分法求方程04 3 xx在区间 2 1 内的根精确到三位小数 需对分 10 次 20 已知 31 1 1 1 2 1 10 23 3 xcxbxax xx xS 是三次样条函数 则 a 3 b 3 c 1 21 10 xlxlxl n 是以整数点 n xxx 10 为节点的 Lagrange 插值基函数 则 n k k xl 0 1 n k kjk xlx 0 j x 当 2 n 时 3 2 0 4 xlxx kk n k k 3 24 xx 22 区间 ba 上的三次样条插值函数 xS 在 ba 上具有直到 2 阶的连续导 数 23 改变函数 f xxx 1 x 1 的形式 使计算结果较精确 xx xf 1 1 24 若用二分法求方程 0 xf 在区间 1 2 内的根 要求精确到第 3 位小数 则需要 对分 10 次 精品文档 3欢迎下载 25 设 21 10 2 23 3 xcbxaxx xx xS 是 3 次样条函数 则 a 3 b 3 c 1 26 若用复化梯形公式计算 1 0 dxe x 要求误差不超过 6 10 利用余项公式估计 至少 用 477 个求积节点 27 若 4 321 f xxx 则差商 2 4 8 16 32 f 3 28 数值积分公式 1 1 2 1801 9 f x dxfff 的代数精度为 2 选择题 1 三点的高斯求积公式的代数精度为 B A 2 B 5 C 3 D 4 2 舍入误差是 A 产生的误差 A 只取有限位数 B 模型准确值与用数值方法求得的准确值 C 观察与测量 D 数学模型准确值与实际值 3 3 141580 是 的有 B 位有效数字的近似值 A 6 B 5 C 4 D 7 4 用 1 x近似表示 ex所产生的误差是 C 误差 A 模型 B 观测 C 截断 D 舍入 5 用 1 3 x 近似表示 3 1x 所产生的误差是 D 误差 A 舍入 B 观测 C 模型 D 截断 6 324 7500 是舍入得到的近似值 它有 C 位有效数字 A 5 B 6 C 7 D 8 7 设f 1 1 f 0 3 f 2 4 则抛物插值多项式中x2的系数为 A A 0 5 B 0 5 C 2 D 2 8 三点的高斯型求积公式的代数精度为 C A 3 B 4 C 5 D 2 9 D 的 3 位有效数字是 0 236 102 A 0 0023549 103 B 2354 82 10 2 C 235 418 D 235 54 10 1 10 用简单迭代法求方程 f x 0 的实根 把方程 f x 0 表示成 x x 则 f x 0 的根是 B 精品文档 4欢迎下载 A y x 与 x 轴交点的横坐标 B y x 与 y x 交点的横坐标 C y x 与 x 轴的交点的横坐标 D y x 与 y x 的交点 11 拉格朗日插值多项式的余项是 B 牛顿插值多项式的余项是 C A f x x0 x1 x2 xn x x1 x x2 x xn 1 x xn B 1 1 n f xPxfxR n nn C f x x0 x1 x2 xn x x0 x x1 x x2 x xn 1 x xn D 1 1 1 x n f xPxfxR n n nn 12 用牛顿切线法解方程 f x 0 选初始值 x0 满足 A 则它的解数列 xn n 0 1 2 一定收敛到方程 f x 0 的根 0 D 0 C 0 B 0 A 0000 xfxfxfxfxfxfxfxf 13 为求方程 x3 x2 1 0 在区间 1 3 1 6 内的一个根 把方程改写成下列形式 并 建立相应的迭代公式 迭代公式不收敛的是 A A 1 1 1 1 1 2 k k x x x x迭代公式 B 2 1 2 1 1 1 1 k k x x x x 迭代公式 C 3 12 1 23 1 1 kk xxxx 迭代公式 D 1 1 1 2 2 1 23 kk k k xx x xxx迭代公式 14 在牛顿 柯特斯求积公式 b a n i i n i xfCabdxxf 0 中 当系数 n i C 是负值时 公式的稳定性不能保证 所以实际应用中 当 时的牛顿 柯特斯求积公式不 使用 1 8 n 2 7 n 3 10 n 4 6 n 23 有下列数表 x00 511 522 5 f x 2 1 75 10 2524 25 所确定的插值多项式的次数是 1 二次 2 三次 3 四次 4 五次 15 取 31 732 计算 4 31 x 下列方法中哪种最好 精品文档 5欢迎下载 A 28 16 3 B 2 42 3 C 2 16 42 3 D 4 16 31 26 已知 3 3 02 21224 xx S x xa xbx 是三次样条函数 则 a b的值为 A 6 6 B 6 8 C 8 6 D 8 8 16 由下列数表进行 NewtonNewton 插值 所确定的插值多项式的最高次数是 i x 1 51 5 2 52 5 3 53 5 i f x 1 10 50 52 52 55 05 08 08 011 511 5 A 5 B 4 C 3 D 2 17 形如 112233 b a f x dxA f xA f xA f x 的高斯 GaussGauss 型求积公式的代数 精度为 A 9 B 7 C 5 D 3 18 计算 3的 Newton Newton 迭代格式为 A 1 3 2 k k k x x x B 1 3 22 k k k x x x C 1 2 2 k k k x x x D 1 3 3 k k k x x x 19 用二分法求方程 32 4100 xx 在区间1 2 内的实根 要求误差限为 3 1 10 2 则对分次数至少为 A 10 B 12 C 8 D 9 20 设 i l x 是以 0 19 k xk k 为节点的 LagrangeLagrange 插值基函数 则 9 0 i k kl k A x B k C i D 1 33 5 个节点的牛顿 柯特斯求积公式 至少具有 次代数精度 A 5 B 4 C 6 D 3 21 已知 3 3 02 21224 xx S x xa xbx 是三次样条函数 则 a b的值为 A 6 6 B 6 8 C 8 6 D 8 8 35 已知方程 3 250 xx 在2x 附近有根 下列迭代格式中在0 2x 不收敛的是 A 3 1 25 kk xx B 1 5 2 k k x x C 3 1 5 kkk xxx D 3 12 25 32 k k k x x x 22 由下列数据 x01234 f x1243 5 确定的唯一插值多项式的次数为 A 4 B 2 C 1 D 3 23 5 个节点的 GaussGauss 型求积公式的最高代数精度为 A 8 B 9 C 10 D 11 三 是非题 认为正确的在后面的括弧中打三 是非题 认为正确的在后面的括弧中打 否则打 否则打 1 已知观察值 210 miyx ii 用最小二乘法求n次拟合多项式 xPn 时 精品文档 6欢迎下载 xPn 的次数n可以任意取 2 用 1 2 2 x 近似表示 cosx产生舍入误差 3 2101 20 xxxx xxxx 表示在节点x1的二次 拉格朗日 插值基函数 4 牛顿插值多项式的优点是在计算时 高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果 5 矩阵A 521 352 113 具有严格对角占优 四 计算题 四 计算题 1 求A B使求积公式 1 1 2 1 2 1 1 1 ffBffAdxxf 的代数精度尽量 高 并求其代数精度 利用此公式求 2 1 1 dx x I 保留四位小数 答案 2 1 xxxf 是精确成立 即 3 2 2 1 2 222 BA BA 得9 8 9 1 BA 求积公式为 2 1 2 1 9 8 1 1 9 1 1 1 ffffdxxf 当 3 xxf 时 公式显然精确成立 当 4 xxf 时 左 5 2 右 3 1 所以代 数精度为 3 69286 0 140 97 321 1 32 1 1 9 8 31 1 31 1 9 1 3 11 1 1 32 2 1 dt t dx x xt 2 已知 精品文档 7欢迎下载 i x 1345 i xf 2654 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 xf 的三次插值多项式 3 xP 并求 2 f 的近似值 保留四位小数 答案 53 43 13 5 4 1 6 51 41 31 5 4 3 2 3 xxxxxx xL 45 35 15 4 3 1 4 54 34 14 5 3 1 5 xxxxxx 差商表为 i x i y一阶均差二阶均差三阶均差 12 362 45 1 1 54 1041 4 3 1 4 1 3 1 1 22 33 xxxxxxxNxP 5 5 2 2 3 Pf 5 已知 i x 2 1012 i xf 42135 求 xf 的二次拟合曲线 2 xp 并求 0 f 的近似值 答案 解 i i x i y 2 i x 3 i x 4 i x iiy x ii yx2 0 244 816 816 1 121 11 22 20100000 31311133 42548161020 01510034341 精品文档 8欢迎下载 正规方程组为 413410 310 15105 20 1 20 aa a aa 14 11 10 3 7 10 210 aaa 2 2 14 11 10 3 7 10 xxxp xxp 7 11 10 3 2 10 3 0 0 2 pf 6 已知 xsin 区间 0 4 0 8 的函数表 i x 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 i y 0 38942 0 47943 0 56464 0 64422 0 71736 如用二次插值求 63891 0 sin 的近似值 如何选择节点才能使误差最小 并求该近 似值 答案 解 应选三个节点 使误差 3 3 3 2 x M xR 尽量小 即应使 3 x 尽量小 最靠近插值点的三个节点满足上述要求 即取节点 7 0 6 0 5 0 最好 实际计算结果 596274 0 63891 0 sin 且 4 1055032 0 7 063891 0 6 0963891 0 5 063891 0 3 1 596274 0 63891 0 sin 7 构造求解方程 0210 xex 的根的迭代格式 2 1 0 1 nxx nn 讨论其收 敛性 并将根求出来 4 1 10 nn xx 答案 解 令 010 1 02 0 210e effxxf x 且 010e x xf 对 x 故 0 xf 在 0 1 内有唯一实根 将方程 精品文档 9欢迎下载 0 xf 变形为 e2 10 1 x x 则当 1 0 x 时 e2 10 1 x x 1 10 e 10 e x x 故迭代格式 e2 10 1 1 n x n x 收敛 取 5 0 0 x 计算结果列表如下 n0123 n x 0 5 0 035 127 872 0 096 424 785 0 089 877 325 n4567 n x 0 090 595 993 0 090 517 340 0 090 525 950 0 090 525 008 且满足 6 67 1095000000 0 xx 所以 008525090 0 x 10 已知下列实验数据 xi1 361 952 16 f xi 16 84417 37818 435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据 解 当 0 x 1 时 xf ex 则 e x f 且 x xd e 1 0 有一位整数 要求近似值有 5 位有效数字 只须误差 4 1 10 2 1 fR n 由 12 2 3 1 f n ab fR n 只要 4 22 1 10 2 1 12 e 12 e e nn R xn 即可 解得 精品文档 10欢迎下载 30877 6710 6 e 2 n 所以 68 n 因此至少需将 0 1 68 等份 12 取节点 1 5 0 0 210 xxx 求函数 x xf e 在区间 0 1 上的二次插值多项式 2 xP 并估计误差 解 15 0 05 0 1 0 10 5 00 1 5 0 5 00 2 xx e xx exP 5 0 2 1 4 1 5 0 2 5 01 01 5 0 0 15 0 1 xxexxexx xx e 又 1 max 1 0 3 xfMexfexf x xx 故截断误差 1 5 0 3 1 22 xxxxPexR x 14 给定方程 01e 1 x xxf 1 分析该方程存在几个根 2 用迭代法求出这些根 精确到 5 位有效数字 3 说明所用的迭代格式是收敛的 解 1 将方程 01e 1 x x 1 改写为 x x e1 2 作函数 1 1 xxf x xf e 2的图形 略 知 2 有唯一根 2 1 x 2 将方程 2 改写为 x x e1 构造迭代格式 5 1 e1 0 1 x x k x k 2 1 0 k 计算结果列表如下 k123456789 xk 1 2231 3 1 2943 1 1 2740 9 1 2796 9 1 2781 2 1 2785 6 1 2784 4 1 2784 7 1 2784 6 精品文档 11欢迎下载 3 x x e1 x x e 当 2 1 x 时 2 1 1 2 x 且 1e 1 x 所以迭代格式 2 1 0 1 kxx kk 对任意 2 1 0 x 均收敛 15 用牛顿 切线 法求 3的近似值 取x0 1 7 计算三次 保留五位小数 解 3是03 2 xxf 的正根 xxf2 牛顿迭代公式为 n n nn x x xx 2 3 2 1 即 2 1 0 2 3 2 1 n x x x n n n 取x0 1 7 列表如下 n123 n x 1 732351 732051 73205 16 已知f 1 2 f 1 3 f 2 4 求拉格朗日插值多项式 2 xL 及f 1 5 的近似值 取五位小数 解 12 12 1 1 4 21 11 2 1 3 21 11 2 1 2 2 xxxxxx xL 1 1 3 4 2 1 2 3 2 1 3 2 xxxxxx 04167 0 24 1 5 1 5 1 2 Lf 17 n 3 用复合梯形公式求 x xd e 1 0 的近似值 取四位小数 并求误差估计 解 7342 1 e ee 2e 32 01 de 132310 3 1 0 Tx x xx xfxfe e 10 x 时 e x f 05 0 025 0 108 e 312 e e 2 3 TR x 至少有两位有效数字 20 8 分 用最小二乘法求形如 2 bxay 的经验公式拟合以下数据 i x 19253038 精品文档 12欢迎下载 i y 19 032 349 073 3 解 1 2 xspan 2222 38312519 1111 T A 3 730 493 320 19 T y 解方程组 yAACA TT 其中 35296033391 33914 AAT 7 179980 6 173 yAT 解得 0501025 0 9255577 0 C 所以 9255577 0 a 0501025 0 b 21 15 分 用 8 n 的复化梯形公式 或复化 Simpson 公式 计算 dxe x 1 0时 试用余 项估计其误差 用 8 n 的复化梯形公式 或复化 Simpson 公式 计算出该积分的近似 值 解 001302 0 768 1 8 1 12 1 12 0 2 2 efh ab fRT 2 2 8 7 1 k k bfxfaf h T 36787947 0 41686207 0 47236655 0 5352614 0 60653066 0 7788008 0 8824969 0 21 16 1 6329434 0 2222 15 分 方程01 3 xx在5 1 x附近有根 把方程写成三种不同的等价形式 1 3 1 xx 对应迭代格式 3 1 1 nn xx 2 x x 1 1 对应迭代格式 n n x x 1 1 1 3 1 3 xx对应迭代格式 1 3 1 nn xx 判断迭代格式在 5 1 0 x 的 收敛性 选一种收敛格式计算 5 1 x 附近的根 精确到小数点后第三位 解 1 3 2 1 3 1 xx 118 0 5 1 故收敛 2 x x x 1 12 1 2 117 0 5 1 故收敛 3 2 3 xx 15 135 1 2 故发散 选择 1 5 1 0 x 3572 1 1 x 3309 1 2 x 3259 1 3 x 3249 1 4 x 32476 1 5 x 32472 1 6 x 25 数值积分公式形如 1 0 1 0 1 0 fDfCBfAfxSdxxxf 试确定参数 DCBA 使公式代数精 精品文档 13欢迎下载 度尽量高 2 设 1 0 4 Cxf 推导余项公式 1 0 xSdxxxfxR 并估计误差 解 将 32 1 xxxxf 分布代入公式得 20 1 30 1 20 7 20 3 DBBA 构造 Hermite 插值多项式 3 xH 满足 1 0 3 3 ixfxH xfxH ii ii 其中 1 0 10 xx 则有 1 0 3 xSdxxxH 22 4 3 1 4 xx f xHxf dxxx f dxxSxfxxR 2 1 0 3 4 1 0 1 4 1440 60 4 1 4 4 4 1 0 23 4 ff dxxx f 27 10 分 已知数值积分公式为 0 0 2 2 0 hffhhff h dxxf h 试确定积分公式中的参数 使其 代数精确度尽量高 并指出其代数精确度的次数 解 1 xf 显然精确成立 xxf 时 11 0 22 2 2 0 hh hh xdx h 2 xxf 时 12 1 2 2 20 0 23 3 22 3 0 2 h h hhh hh dxx h 3 xxf 时 30 12 1 0 24 223 4 0 3 hhh hh dxx h 4 xxf 时 6 40 12 1 0 25 5 324 5 0 4 h hhh hh dxx h 所以 其代数精确度为 3 28 8 分 已知求 0 aa 的迭代公式为 2 1 00 2 1 01 kx x a xx k kk 证明 对一切 axk k 2 1 且序列 k x 是单调递减的 从而迭代过程收敛 证明 2 1 02 2 1 2 1 1 ka x a x x a xx k k k kk 故对一切 axk k 2 1 又 1 11 2 1 1 2 1 2 1 kk k x a x x 所以 kk xx 1 即序列 k x 是单调递减有下界 从而 迭代过程收敛 精品文档 14欢迎下载 29 9 分 数值求积公式 3 0 2 1 2 3 ffdxxf 是否为插值型求积公式 为什么 其代数精度是多少 解 是 因为 xf 在基点 1 2 处的插值多项式为 2 12 1 1 21 2 f x f x xp 3 0 2 1 2 3 ffdxxp 其代数精度为 1 30 6 分 写出求方程 1cos4 xx 在区间 0 1 的根的收敛的迭代公式 并证明其收 敛性 6 分 nnn xxxcos1 4 1 1 n 0 1 2 1 4 1 sin 4 1 xx 对任意的初值 1 0 0 x 迭代公式都收敛 31 12 分 以 100 121 144 为插值节点 用插值法计算 115的近似值 并利用余项估 计误差 用 Newton 插值方法 差分表 100 121 144 10 11 12 0 0476190 0 0434783 0 0000941136 115 10 0 0476190 115 100 0 0000941136 115 100 115 121 10 7227555 2 5 8 3 xxf 00163 0 29615100 8 3 6 1 144115121115100115 3 2 5 f R 32 10 分 用复化 Simpson 公式计算积分 1 0 sin dx x x I 的近似值 要求误差限 为 5 105 0 0 946145881 2 1 40 6 1 1 fffS 精品文档 15欢迎下载 0 946086931 4 3 4 2 1 2 4 1 40 12 1 2 fffffS 5 122 10933 0 15 1 SSSI 94608693 0 2 SI 或利用余项 9 7 5 3 1 sin 8642 xxxx x x xf 49 275 1 42 4 xx xf 5 1 4 xf 5 4 4 4 5 105 0 52880 1 2880 n f n ab R 2 n 2 SI 33 10 分 用