《高数函数的极限》PPT课件.ppt

第二章 二 自变量趋于有限值时函数的极限 第三节 自变量变化过程的六种形式 一 自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 机动目录上页下页返回结束 函数的极限 一 自变量趋于无穷大时函数的极限 定义1 设函数 大于某一正数时有定义 若 则称常数 时的极限 几何解释 记作 直线y A为曲线 的水平渐近线 机动目录上页下页返回结束 A为函数 两种特殊情况 当 时 有 当 时 有 机动目录上页下页返回结束 例1 证明 证 取 因此 注 就有 故 欲使 即 机动目录上页下页返回结束 直线y A仍是曲线y f x 的渐近线 几何意义 例如 都有水平渐近线 都有水平渐近线 又如 机动目录上页下页返回结束 二 自变量趋于有限值时函数的极限 1 时函数极限的定义 引例 测量正方形面积 面积为A 边长为 真值 边长 面积 直接观测值 间接观测值 任给精度 要求 确定直接观测值精度 机动目录上页下页返回结束 定义1 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 当 时 有 则称常数A为函数 当 时的极限 或 即 当 时 有 若 记作 几何解释 极限存在 函数局部有界 这表明 机动目录上页下页返回结束 例1 证明 证 故 对任意的 当 时 因此 总有 机动目录上页下页返回结束 例2 证明 证 欲使 取 则当 时 必有 因此 只要 机动目录上页下页返回结束 例3 证明 证 故 取 当 时 必有 因此 机动目录上页下页返回结束 例4 证明 当 证 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时 保证 必有 机动目录上页下页返回结束 2 局部保号性定理 定理1 若 且A 0 证 已知 即 当 时 有 当A 0时 取正数 则在对应的邻域 上 0 则存在 A 0 机动目录上页下页返回结束 若取 则在对应的邻域 上 若 则存在 使当 时 有 推论 分析 机动目录上页下页返回结束 定理2 若在 的某去心邻域内 且 则 证 用反证法 则由定理1 的某去心邻域 使在该邻域内 与已知 所以假设不真 同样可证 的情形 思考 若定理2中的条件改为 是否必有 不能 存在 如 假设A 0 条件矛盾 故 机动目录上页下页返回结束 3 左极限与右极限 左极限 当 时 有 右极限 当 时 有 定理3 机动目录上页下页返回结束 例5 设函数 讨论 时 的极限是否存在 解 利用定理3 因为 显然 所以 不存在 机动目录上页下页返回结束 三 极限的四则运算法则 则有 定理1 若 机动目录上页下页返回结束 推论 若 且 则 利用保号性定理证明 说明 定理1可推广到有限个函数相加 减的情形 提示 令 机动目录上页下页返回结束 定理2 若 则有 说明 定理2可推广到有限个函数相乘的情形 推论1 C为常数 推论2 n为正整数 例1 设n次多项式 试证 证 机动目录上页下页返回结束 详见P44 定理3 若 且B 0 则有 机动目录上页下页返回结束 x 3时分母为0 例3 设有分式函数 其中 都是 多项式 试证 证 说明 若 不能直接用商的运算法则 例4 若 机动目录上页下页返回结束 例4 求 解 x 1时 分母 0 分子 0 但因 机动目录上页下页返回结束 例5 求 解 时 分子 分子分母同除以 则 分母 抓大头 原式 机动目录上页下页返回结束 一般有如下结果 为非负常数 机动目录上页下页返回结束 四 复合函数的极限运算法则 定理4 设 且x满足 时 又 则有 证 当 时 有 当 时 有 对上述 取 则当 时 故 因此 式成立 机动目录上页下页返回结束 定理4 设 且x满足 时 又 则有 说明 若定理中 则类似可得 机动目录上页下页返回结束 例1 求 解 令 已知 原式 机动目录上页下页返回结束 例2 求 解 方法1 则 令 原式 方法2 机动目录上页下页返回结束 二 两个重要极限 一 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 第五节 机动目录上页下页返回结束 极限存在准则及 两个重要极限 第二章 一 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1 函数极限与数列极限的关系 定理1 有定义 为确定起见 仅讨论 的情形 有 机动目录上页下页返回结束 定理1 有定义 且 设 即 当 有 有定义 且 对上述 时 有 于是当 时 故 可用反证法证明 略 有 证 当 机动目录上页下页返回结束 定理1 有定义 且 有 说明 此定理常用于判断函数极限不存在 法1找一个数列 不存在 法2找两个趋于 的不同数列 及 使 机动目录上页下页返回结束 例1 证明 不存在 证 取两个趋于0的数列 及 有 由定理1知 不存在 机动目录上页下页返回结束 2 函数极限存在的夹逼准则 定理2 且 利用定理1及数列的夹逼准则可证 机动目录上页下页返回结束 圆扇形AOB的面积 二 两个重要极限 证 当 即 亦即 时 显然有 AOB的面积 AOD的面积 故有 注 注目录上页下页返回结束 当 时 注 例2 求 解 例3 求 解 令 则 因此 原式 机动目录上页下页返回结束 解 原式 例5 已知圆内接正n边形面积为 证明 证 说明 计算中注意利用 机动目录上页下页返回结束 2 证 当 时 设 则 机动目录上页下页返回结束 当 则 从而有 故 说明 此极限也可写为 时 令 机动目录上页下页返回结束 例6 求 解 令 则 说明 若利用 机动目录上页下页返回结束 则 原式 例7 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 的不同数列 内容小结 1 函数极限与数列极限关系的应用 1 利用数列极限判别函数极限不存在