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精品文档 1欢迎下载 三余弦定理及其应用举例三余弦定理及其应用举例 一 三余弦定理一 三余弦定理 又叫最小角定理 如图所示 设 A 为面上一点 过 A 的斜线 AO 在面上的射影为 AB AC 为面内的一条直线 那么 OAC OAB BAC 三角的余弦关系为 BAC 和 OAB 只能是锐角 OABBACOAC coscoscos 不难验证 cos cos 1 cos 2 特别地 当 BAC 为零角时 由于 10cos 0 斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中的最小的角 二 应用练习二 应用练习 在中 PA 是面的斜线 ABCRt 4 3 2 ACAB AABC 3 PACPAB 1 求 PA 与面 ABC 所成的角的大小 2 当 PA 的长度等于多少的时候 点 P 在平面 ABC 内的射影恰好落在边 BC 上 图 1 图 2 图 3 解解 1 依题意 斜线 PA 在面 ABC 上的射影必在 BAC 的角平分线上 设垂足 为 O 连结 AO 并延长 AO BC D 设 则即为斜线 PA 与面 ABC 所成 PAO 的角 因此 即斜线 PA 与面 ABC 所成的角为 2 2 2 2 2 1 4 cos 3 cos cos 4 4 A C P B 精品文档 2欢迎下载 直角三角形 ABC 的直角平分线长 AD 7 212 当延长 AP 到时 AD 成为斜线的射影 垂足 D 恰好落在边 BC 上 p Ap 7 24 7 212 2 Ap 即当 PA 的长度等于的时候 点 P 在平面 ABC 内的射影恰好落在边 BC 上 7 24 辅助例题辅助例题 求证求证 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等 那么这点如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等 那么这点 在平面内的射影必在这个角的平分线上在平面内的射影必在这个角的平分线上 已知 ACPFABPE P BAC POPFPE 求证 OACOAB 证明 连 OA OE OF PFPE OFOE PO 故 OE OF OPERt OPFRt 由 故 AE AF PAPA PFPE ACPFABPE PAERt PAFRt 由 故 AOAO AFAE OFOE OAERt OAFRt OACOAB 说明说明 此结论可以作为定理来用此结论可以作为定理来用 F E O AC P B 精品文档 3欢迎下载 欢迎您的下载 欢迎您的下载
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