三角形解题中的数学思想方法例析[1]

精品文档 1欢迎下载 三角形解题中的数学思想方法例析三角形解题中的数学思想方法例析 数学思想和方法是数学基础知识 基本技能的本质体现 是形成数学能力 数学意识的 桥梁 是灵活应用数学知识 技能的灵魂 因此 在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确 运用数学思想方法 这里对三角形解题时常用的分类讨论思想 整体思想 方程思想 转化 思想 数形结合思想等举例予以说明 以供同学们学习参考应用 一 分类讨论思想一 分类讨论思想 当被研究的问题包含多种可能情况 不能一概而论时 必须按可能出现的所有情况分 别来讨论 得出各种情况下相应的结论的处理问题的思维方法 例如三角形的分类 按边分 不等边三角形 三角形腰和底边不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 按角分 锐角三角形 三个角都是锐角 三角形直角三角形 有一个角是直角 钝角三角形 有一个角是钝角 例例 1 1 已知等腰三角形的周长为 21 两条边长之差为 3 求各边的长 分析 已知两边之差为 3 则较长的边有可能是腰也有可能是底 故应分两种财政 部进行进行讨论 解 设腰长为 当较长边为腰时 则有 解得 x2 3 21xx 8x 此时三边长分别为 8 8 5 符合题意 当较长边为底时 则有 解得 2 3 21xx 6x 此时三边长分别为 6 6 9 符合题意 所以三边为 8 8 5 或 6 6 9 例例 2 2 在等腰三角形中 一腰上的中线把它的周长分为 15cm 和 6cm 两部分 求三角形 各边的长 分析 要注意等腰三角形有两边相等 一腰上的中线把它的腰分成的两段相等 由于问 题中未指明哪一段为 15cm 哪一段为 6cm 故需分类讨论 解 设腰长为 xcm 底边为 ycm 即 AB x 则 AD CD x BC y 2 1 若 x x 6 时 则 y x 15 2 1 2 1 由 x x 6 得 x 4 把 x 4 代入 y x 15 得 y 13 2 1 2 1 因为 4 410 符合题意 所以三角形三边分别为 10cm 10cm 1cm 例例 3 3 已知非直角三角形 ABC 中 A 45 高 BD 和 CE 所在直线交于 H 求 BHC 的度数 A CB D 图 1 精品文档 2欢迎下载 分析 三角形的形状不同 高的交点的位置也就不同 高的 交点可能在三角形内部 也可能在三角形外部 故应分两种情况 加以讨论 解 当 ABC 为锐角三角形时 图 2 BD CE 是 ABC 的高 A 45 ADB BEH 90 在 ABD 中 ABD 180 90 45 45 BHC 是 BHE 的外角 BHC 90 45 135 当 ABC 为钝角三角形时 图 3 H 是 ABC 两条高所在直线的交点 A 45 ABD 180 90 45 45 在 Rt BEH 中 BHC 180 90 45 45 BHC 的度数是 135 或 45 注意注意 涉及三角形高的问题 常常会因为高的位置而需 要讨论 否则就会漏解 二 方程思想二 方程思想 运用列方程的方法来解决与图形有关的计算问题是十分有效的手段 例例 4 4 已知一个多边形 它的内角和等于外角和的 3 倍 且它的每一个内角都相等 求这个多边形各角的度数 解析 由于内角和等于外角和的 3 倍 可求出内角和 根据内角和反求出边数是解本 题的关键 通过列方程来求解是解此类问题的一般方法 解 设这个多边形的边数为 则有 解得 所以每内n 00 180 2 3 360n 8n 角的度数为 或每外角的度数为所以每内角的度数 00 82 1808135 00 360845 为 0 135 例例 5 5 如图 4 在 ABC 中 B C 1 2 BAD 40 求 EDC 分析 利用三角形的外角性质 设法建立关于 EDC 的方程 解 设 EDC x 因为 1 是 DEC 的外角 所以 1 x C 又因为 1 2 所以 2 x C 又因为 2 是 ABD 的外角 所以 ADC B BAD 所以 B BAD 2 x 即 B 40 C 2x 因为 B C 所以 2x 40 解得 x 20 评注评注 方程是解决很多数学问题的重要工具 很多数学问题可以通过构造方程而获解 事 实上 用设未知数的方法表示所求 可使计算过程书写简便 也易于表明角与角之间的关系 三 转化与化归思想三 转化与化归思想 转化与化归思想是中学数学中常见的一种数学思想方法 它的应用十分广泛 我们在 解决数学问题时 经常运用转化与化归的思想 将复杂问题转化成简单的问题 将未知转 化为已知 将生疏的问题转化为熟悉的问题等等 例如在本章中多边形的内角和公式和外 角和公式都是通过将多边形转化成三角形来解决的 大家可以观察下面例子 例例 6 6 如图 5 一艘货轮在 A 处看见巡逻艇 M 在其北偏东 620的方向上 此时一艘客轮 在 B 处看见巡逻艇 M 在其北偏东 130的方向上 此时从巡逻艇上看这两艘轮船的视角 AMB 有多大 图 2 A BC D H E A BDH C E 图 3 C A B D E 1 2 x 图 4 精品文档 3欢迎下载 分析 F B M 的连线构成 FBM 所求的 AMB 是 FBM 的一个内角 如果能求出 FBM 的 外角 AFB FBM 的内角 FBM 就能求出 AMB 本题材可将方位角的问题转化为三角形的内角或外角的问题 这是 解决此类问题的关键 解 由 AD BF 可得 AFB DAM 620 因为 AFB AMB FBM 所以 AMB AFB FBM 620 130 490 答 从巡逻艇上看这两艘轮船的视角 AMB 是 490 例例 7 7 如图 6 求五角星各顶角之和 分析 因为 A B C D E 较分散 本例中又 不 知其度数 因此 应设法将它们集中起来 将问题转化为三角 形 来处理 根据三角形外角性质和内角和定理可以求解 解 因为 1 C E 2 B D 又因为 1 2 A 180 所以 A B C D E 180 评注评注 此题还可以连接 CD 求解 当我们求多个角之和不能直接计算时 应考虑转化为三 角形求解 四 整体思想四 整体思想 研究某些数学问题时 往往不是以问题的某个组成部分为着眼点 而是将待解决的问题 看作一个整体 通过研究问题的整体形式 整体结构做整体处理后 达到解决问题的目的 例例 8 8 如图 7 求 A B C D E F G 的度数 分析 观察图形可得 图由一个四边形和一个三角形 构成 可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和 解 因为 A C E 180 又因为 B D F G 360 所以 A B C D E F G 540 评注评注 例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然 是做不到的 因此 设法整体求值是解题的关键 事实上 有些数学问题 如果从局部去考虑 拘泥于常规 则举步维艰 如果从全局着手 突破常规 则会柳暗花明 五 数形结合思想数形结合思想 例例 9 9 如图 8 在 ABC 中 已知 AD 是角平分线 B 60 C 45 求 ADB 和 ADC 的度数 分析 在 ABD 中 ADB 是一个内角 它等于 180 B BAD 故求出 BAD 即可求出 ADB 的度数 这由已知条件不难求得 同理可求出 ADC 的度数 解 在 ABC 中 B 60 C 45 B C BAC 180 BAC 180 B C 180 60 45 75 又 AD 是角平分线 BAD DAC BAC 37 5 2 1 在 ABD 中 ADB 180 B BAD 180 60 37 5 82 5 同理 ADC 180 C DAC 180 45 37 5 97 5 A BDC 图 8 A E GF B C D 图 7 A B CD E 图 6 1 2 精品文档 4欢迎下载 评注评注 几何与代数是患难兄弟 密不可分 在求解几何题中 通常数与形要结合起来才 能打开思路 进行运算 否则 一头舞水 扑朔迷离 茫然不知所措 六 数学建模思想六 数学建模思想 针对要解决的问题 构建适当的数学模型 再通过对数学模型的研究来达到解决问题 的目的的思维方式就是数学建模思想 例例 1010 一个零件的形状如图 1 所示 按规定 CAB 应等于 900 C B 应分别等 于 200 和 300 李师傅量得 CDB 1420 就断定了这个零件不合格 你能说出其中的道理 吗 分析 解决实际问题时 善于将实际问题抽象成 数学问题 建立适当的数学模型 由 A B C 的度数计算出 BDC 的大小 即作 出判断 本题需将 BDC 转化为三角形的外角 解 延长 BD 交 AC 于 E 则 CDB C CED 又 CED CAB B 所以 CDB C CAB B 1400 而实际测量 CDB 1420 所以可以断定这个零件不合格 此题还有其它解法 图中给出了辅助线 数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分 它反