【省会检测】2018年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)

精品文档 1欢迎下载 20182018 年广东省广州市高考数学一模试卷 理科 年广东省广州市高考数学一模试卷 理科 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 项中 只有一项是符合题目要求的 1 设复数 z 满足 z 1 i 2 4i 则复数 z 的共扼复数 A 2B 2C 2iD 2i 2 设集合 A x 0 B x x 3 则集合 x x 1 A A BB A BC RA RB D RA RB 3 若 A B C D E 五位同学站成一排照相 则 A B 两位同学不相邻的概率 为 A B C D 4 执行如图所示的程序框图 则输出的 S A B C D 5 已知 则 A B C D 6 已知二项式 2x2 n的所有二项式系数之和等于 128 那么其展开式中含 精品文档 2欢迎下载 项的系数是 A 84 B 14C 14D 84 7 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某个几何体的三视图 则该几何体的表面积为 A B C D 4 8 若 x y 满足约束条件 则 z x2 2x y2的最小值为 A B C D 9 已知函数 f x sin x 0 在区间 上单调递增 则 的取值范围为 A 0 B 0 C D 2 10 已知函数 f x x3 ax2 bx a2在 x 1 处的极值为 10 则数对 a b 为 A 3 3 B 11 4 C 4 11 D 3 3 或 4 11 11 如图 在梯形 ABCD 中已知 AB 2 CD 双曲线过 C D E 三点 且以 A B 为焦点 则双曲线的离心率为 A B 2C 3D 12 设函数 f x 在 R 上存在导函数 f x 对于任意的实数 x 都有 精品文档 3欢迎下载 f x f x 2x2 当 x 0 时 f x 1 2x 若 f a 1 f a 2a 1 则实数 a 的最小值为 A B 1C D 2 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 已知向量 m 2 1 1 若 则实数 m 14 已知三棱锥 P ABC 的底面 ABC 是等腰三角形 AB AC PA 底面 ABC PA AB 1 则这个三棱锥内切球的半径为 15 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 2acos B 2bcos A c 0 则 cos 的值为 16 我国南宋数学家杨辉所著的 详解九章算术 中 用图 的三角形形象地 表示了二项式系数规律 俗称 杨辉三角形 现将杨辉三角形中的奇数换成 1 偶数换成 0 得到图 所示的由数字 0 和 1 组成的三角形数表 由上往下数 记第 n 行各数字的和为 Sn 如 S1 1 S2 2 S3 2 S4 4 则 S126 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 1717 2121 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 2222 2323 题为选考题 考生题为选考题 考生 精品文档 4欢迎下载 根据要求作答 根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 6060 分 分 17 12 00 分 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 数列 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 bn 满足 5 4n 5 n 求数列 bn 的前 n 项 和 Tn 18 12 00 分 某地 1 10 岁男童年龄 xi 岁 与身高的中位数 yi cm i 1 2 10 如表 x 岁 12345678910 y cm 76 5 88 5 96 8 104 1 111 3 117 7 124 0 130 0 135 4 140 2 对上表的数据作初步处理 得到下面的散点图及一些统计量的值 xi 2 yi 2 xi yi 5 5112 4582 503947 71566 85 1 求 y 关于 x 的线性回归方程 回归方程系数精确到 0 01 2 某同学认为 y px2 qx r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型 他求得的 回归方程是 y 0 30 x2 10 17x 68 07 经调查 该地 11 岁男童身高的中位数为 145 3cm 与 1 中的线性回归方程比较 哪个回归方程的拟合效果更好 附 回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 精品文档 5欢迎下载 19 12 00 分 如图 四棱锥 S ABCD 中 ABD 为正三角形 BCD 120 CB CD CS 2 BSD 90 1 求证 AC 平面 SBD 2 若 SC BD 求二面角 A SB D 的余弦值 20 12 00 分 已知圆的圆心为 M 点 P 是圆 M 上的动点 点 点 G 在线段 MP 上 且满足 1 求点 G 的轨迹 C 的方程 2 过点 T 4 0 作斜率不为 0 的直线 l 与 1 中的轨迹 C 交于 A B 两点 点 A 关于 x 轴的对称点为 D 连接 BD 交 x 轴于点 Q 求 ABQ 面积的最大值 21 12 00 分 已知函数 f x ax lnx 1 1 讨论函数 f x 零点的个数 2 对任意的 x 0 f x xe2x恒成立 求实数 a 的取值范围 二 选考题 共 二 选考题 共 1010 分 请考生在第分 请考生在第 2222 2323 题中任选一题作答 如果多做 题中任选一题作答 如果多做 精品文档 6欢迎下载 则按所做的第一题计分 则按所做的第一题计分 选修选修 4 44 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 22 10 00 分 已知过点 P m 0 的直线 l 的参数方程是 t 为参 数 以平面直角坐标系的原点为极点 x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线 C 的极坐标方程式为 2cos 求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程 若直线 l 与曲线 C 交于两点 A B 且 PA PB 2 求实数 m 的值 选修选修 4 54 5 不等式选讲 不等式选讲 23 已知函数 f x 2 x a 3x b 1 当 a 1 b 0 时 求不等式 f x 3 x 1 的解集 2 若 a 0 b 0 且函数 f x 的最小值为 2 求 3a b 的值 精品文档 7欢迎下载 20182018 年广东省广州市高考数学一模试卷 理科 年广东省广州市高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 项中 只有一项是符合题目要求的 1 设复数 z 满足 z 1 i 2 4i 则复数 z 的共扼复数 A 2B 2C 2iD 2i 分析 利用复数的运算法则即可得出 解答 解 z 1 i 2 4i z 2 则复数 z 的共扼复数 2 故选 A 点评 本题考查了复数的运算法则 考查了推理能力与计算能力 属于基础 题 2 设集合 A x 0 B x x 3 则集合 x x 1 A A BB A BC RA RB D RA RB 分析 解不等式得集合 A 根据补集的定义写出 RA RB 即可得出结论 解答 解 集合 A x 0 x 3 x 1 B x x 3 则 RA x x 3 或 x 1 RB x x 3 RA RB x x 1 故选 D 点评 本题考查了集合的化简与运算问题 是基础题 精品文档 8欢迎下载 3 若 A B C D E 五位同学站成一排照相 则 A B 两位同学不相邻的概率 为 A B C D 分析 基本事件总数 n 120 A B 两位同学不相邻包含的基本事件个数 m 72 由此能求出 A B 两位同学不相邻的概率 解答 解 A B C D E 五位同学站成一排照相 基本事件总数 n 120 A B 两位同学不相邻包含的基本事件个数 m 72 A B 两位同学不相邻的概率为 p 故选 B 点评 本题考查概率的求法 考查古典概型 排列组合等基础知识 考查运 算求解能力 考查函数与方程思想 是基础题 4 执行如图所示的程序框图 则输出的 S A B C D 精品文档 9欢迎下载 分析 由已知中的程序语句可知 该程序的功能是利用循环结构计算并输出 变量 S 的值 模拟程序的运行过程 分析循环中各变量值的变化情况 可得答 案 解答 解 赋值 n 2 S 0 第一次执行循环体后 S 0 n 2 2 4 判断 4 19 不成立 第二次执行循环体后 S n 2 4 6 判断 6 19 不成立 第三次执行循环体后 S n 6 2 8 判断 8 19 不成立 第四次执行循环体后 S n 8 2 10 判断 18 19 不成立 执行循环体后 S n 18 2 20 判断 20 19 成立 终止循环 输出 S 故选 D 点评 本题考查了程序框图的应用问题 解题时应模拟程序框图的运行过程 以便得出正确的结论 是基础题 5 已知 则 A B C D 分析 由题意利用诱导公式 求得要求式子的值 解答 解 则 sin x sin x sin x 故选 D 点评 本题主要考查诱导公式的应用 属于基础题 精品文档 10欢迎下载 6 已知二项式 2x2 n的所有二项式系数之和等于 128 那么其展开式中含 项的系数是 A 84 B 14C 14D 84 分析 由已知可得 n 的值 写出二项展开式的通项 由 x 的指数为 1 求得 r 值 则答案可求 解答 解 由二项式 x n的展开式中所有二项式系数的和是 128 得 2n 128 即 n 7 2x2 n 2x2 7 由 Tr 1 x14 3r 取 14 3r 1 得 r 5 展开式中含项的系数是 故选 A 点评 本题主要考查二项式定理的应用 二项式系数的性质 二项式展开式 的通项公式 体现了转化的数学思想 属于基础题 7 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某个几何体的三视图 则该几何体的表面积为 A B C D 4 分析 由三视图知该几何体是一个四棱柱 P ABCD 由三视图求出几何元素的 长度 并判断出位置关系 从而可得该几何体的表面积 解答 解 根据三视图可知几何体是一个四棱柱 P ABCD 且底面是直角梯形 AB AD AD CB 精品文档 11欢迎下载 且 AB 2 BC 4 AD 2 PA 2 PA 平面 ABCD 由图可得 PD 2 CD 2 PC 2 PB 2 则该几何体的表面积为 S PAB S PAD S PBC SABCD S PDC 故选 A 点评 本题考查几何体的三视图 由三视图正确复原几何体是解题的关键 考查空间想象能力 8 若 x y 满足约束条件 则 z x2 2x y2的最小值为 A B C D 分析 由约束条件作出可行域 由 z x2 2x y2 其几何 意义为可行域内的动点与定点 P 1 0 距离的平方减 1 求解 解答 解 由约束条件作出可行域如图 精品文档 12欢迎下载 z x2 2x y2 其几何意义为可行域内的动点与定点 P 1 0 距离的平方减 1 z x2 2y y2的最小值为 故选 D 点评 本题考查简单的线性规划 考查数形结合的解题思想方法 是中档 题 9 已知函数 f x sin x 0 在区间 上单调递增 则 的取值范围为 A 0 B 0 C D 2 分析 根据正弦函数的单调性 结合在区间 上单调递增 建立不 等式关系 即可求解 解答 解 函数 f x sin x 0 在区间 上单调递 增 k Z 解得 0 精品文档 13欢迎下载 当 k 0 时 可得 故选 B 点评 本题考查了正弦函数的图象及性质 单调性的应用 属于基础题 10 已知函数 f x x3 ax2 bx a2在 x 1 处的极值为 10 则数对 a b 为 A 3 3 B 11 4 C 4 11 D 3 3 或 4 11 分析 求出函数的导数 得到关于 a b 的方程组 解出检验即可 解答 解 1 f x 3x2 2ax b 若 f x 在 x 1 处的极值为 10 则 解得 或 经检验 a 4 b 11 故选 C 点评 本题考查了函数的极值问题 考查导数的应用 是一道基础题 11 如图 在梯形 ABCD 中已知 AB 2 CD 双曲线过 C D E 三点 且以 A B 为焦点 则双曲线的离心率为 A B 2C 3D 分析 以 AB 所在的直线为 x 轴 以 AB 的垂直平分线为 y 轴 建立如图所示 的坐标系 求出 C 的坐标 根据向量的运算求出点 E 的坐标 代入双曲线方程 即可求出 精品文档 14欢迎下载 解答 解 由 AB 2 CD 以 AB 所在的直线为 x 轴 以 AB 的垂直平分线为 y 轴 建立如图所示的坐标系 设双曲线的方程为 1 由双曲线是以 A B 为焦点 A c 0 B c 0 把 x c 代入 1 可得 y b 即有 C c b 又设 A c 0 c b 设 E x y x c y x c y c b 解得 x c y b 可得 E c b 代入双曲线的方程可得 1 1 精品文档 15欢迎下载 即 e2 1 即 e2 7 即 e 故选 A 点评 本题考查了双曲线的简单性质以及向量的运算 考查了运算能力和转 化能力 属于中档题 12 设函数 f x 在 R 上存在导函数 f x 对于任意的实数 x 都有 f x f x 2x2 当 x 0 时 f x 1 2x 若 f a 1 f a 2a 1 则实数 a 的最小值为 A B 1C D 2 分析 设 g x f x x2 判断 g x 的奇偶性和单调性 得出 a 的范 围 解答 解 设 g x f x x2 则 g x g x f x f x 2x2 0 g x 是奇函数 当 x 0 时 g x f x 2x 1 g x 在 0 上是减函数 g x 在 R 上是减函数 f a 1 f a 2a 1 f a 1 a2 2a 1 f a a 2 即 f a 1 a 1 2 f a a 2 即 g a 1 g a 精品文档 16欢迎下载 a 1 a 即 a 故选 A 点评 本题考查函数的导数与函数单调性的关系 考查导数的应用以及函数 恒成立问题以及转化思想 关键是构造函数并分析函数的单调性 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 13 已知向量 m 2 1 1 若 则实数 m 2 分析 根据题意 求出向量 的坐标 进而可得向量 与 的模 分 析可得 解可得 m 的值 即可得答案 解答 解 根据题意 向量 m 2 1 1 则 m 1 3 则 若 则有 解可得 m 2 故答案为 2 点评 本题考查模的计算 关键是分析向量 与 的关系 14 已知三棱锥 P ABC 的底面 ABC 是等腰三角形 AB AC PA 底面 ABC PA AB 1 则这个三棱锥内切球的半径为 分析 利用等体积法 设内切球半径为 r 则r S ABC S PAC S PAB S PCB PA S ABC 解得求出 r 再根据球的体积公式即可求出 解答 解 AB AC PA 底面 ABC PA AB 1 S ABC AC BC 1 1 S PAC AC PA S PAB AB PA S PCB 精品文档 17欢迎下载 VP ABC PA S ABC 设内切球半径为 r 则r S ABC S PAC S PAB S PCB PA S ABC 解得 r 故答案为 点评 本题考查四面体内切球的体积求法 考查学生分析解决问题的能力 属于中档题 15 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 2acos B 2bcos A c 0 则 cos 的值为 分析 根据两角和差的余弦公式和正弦公式 以及正弦定理即可求出 解答 解 2acos B 2bcos A c 0 2sinA cos cosB sin sinB 2sinB cos cosA sin sinA sinC 0 2sinAcos cosB 2sinAsin sinB 2sinBcos cosA 2sinBsin sinA sinC 0 2cos sinAcosB cosAsinB 2sin sinAsinB sinBinA sinC 0 2cos sin A B sinC 0 2cos sinC sinC 0 cos 故答案为 点评 本题考查了两角和差的余弦公式和正弦公式和正弦定理 属于基础 题 精品文档 18欢迎下载 16 我国南宋数学家杨辉所著的 详解九章算术 中 用图 的三角形形象地 表示了二项式系数规律 俗称 杨辉三角形 现将杨辉三角形中的奇数换成 1 偶数换成 0 得到图 所示的由数字 0 和 1 组成的三角形数表 由上往下数 记第 n 行各数字的和为 Sn 如 S1 1 S2 2 S3 2 S4 4 则 S126 64 分析 将杨辉三角中的奇数换成 1 偶数换成 0 可得第 1 次全行的数都为 1 的是第 2 行 第 2 次全行的数都为 1 的是第 4 行 由此可知全奇数的行出 现在 2n的行数 即第 n 次全行的数都为 1 的是第 2n行 126 27 2 故可得 所 以第 128 行全是 1 那么第 127 行就是 101010 101 第 126 行就是 11001100 110011 问题得以解决 解答 解 由题意 将杨辉三角中的奇数换成 1 偶数换成 0 可得第 1 次全行的数都为 1 的是第 2 行 第 2 次全行的数都为 1 的是第 4 行 由此可知全奇数的行出现在 2n的行数 即第 n 次全行的数都为 1 的是第 2n 行 126 27 2 故可得第 128 行全是 1 那么第 127 行就是 101010 101 第 126 行就是 11001100 110011 11 又 126 4 31 2 S126 2 31 2 64 精品文档 19欢迎下载 故答案为 64 点评 本题考查的知识点是归纳推理 归纳推理的一般步骤是 1 通过观 察个别情况发现某些相同性质 2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题 猜想 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 1717 2121 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 2222 2323 题为选考题 考生题为选考题 考生 根据要求作答 根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 6060 分 分 17 12 00 分 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 数列 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 bn 满足 5 4n 5 n 求数列 bn 的前 n 项 和 Tn 分析 1 由题意可得 1 2 n 1 可得 Sn 2n2 n n 2 时 an Sn Sn 1 n 1 时 a1 1 可得 an 2 5 4n 5 n n 2 时 5 4n 1 相减可得 4n 3 进而 得出 bn 即可得出数列 bn 的前 n 项和 Tn 解答 解 1 由题意可得 1 2 n 1 可得 Sn 2n2 n n 2 时 an Sn Sn 1 2n2 n 2 n 1 2 n 1 4n 3 n 1 时 a1 1 对上式也成立 an 4n 3 2 5 4n 5 n 精品文档 20欢迎下载 n 2 时 5 4n 1 相减可得 4n 3 bn 2n 数列 bn 的前 n 项和 Tn 2 2n 1 2 点评 本题考查了数列递推关系 等比数列与等差数列的通项公式与求和公 式 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 18 12 00 分 某地 1 10 岁男童年龄 xi 岁 与身高的中位数 yi cm i 1 2 10 如表 x 岁 12345678910 y cm 76 5 88 5 96 8 104 1 111 3 117 7 124 0 130 0 135 4 140 2 对上表的数据作初步处理 得到下面的散点图及一些统计量的值 xi 2 yi 2 xi yi 5 5112 4582 503947 71566 85 1 求 y 关于 x 的线性回归方程 回归方程系数精确到 0 01 2 某同学认为 y px2 qx r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型 他求得的 回归方程是 y 0 30 x2 10 17x 68 07 经调查 该地 11 岁男童身高的中位数为 145 3cm 与 1 中的线性回归方程比较 哪个回归方程的拟合效果更好 附 回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 精品文档 21欢迎下载 分析 1 由题意求出 代入公式求值 从而得到回 归直线方程 2 将 x 11 代入回归方程是 y 0 30 x2 10 17x 68 07 和 1 问中的方程 得 到的结果与 145 3cm 比较 即可判断 解答 解 1 由题意 5 5 112 45 6 87 112 45 6 87 5 5 74 67 y 关于 x 的线性回归方程 y 6 87x 74 67 2 某同学认为 y px2 qx r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型 他求得的 回归方程是 y 0 30 x2 10 17x 68 07 当 x 11 时 代入回归方程是 y 0 30 x2 10 17x 68 07 可得 y 142 74 当 x 11 时 代入回归方程是 y 6 87x 74 67 可得 y 150 24 由 11 岁男童身高的中位数为 145 3cm 可得回归方程是 y 6 87x 74 67 计算的误差比较大 故回归方程是 y 0 30 x2 10 17x 68 07 模拟合效果更好 点评 本题考查了线性回归方程的求法及应用 属于基础题 精品文档 22欢迎下载 19 12 00 分 如图 四棱锥 S ABCD 中 ABD 为正三角形 BCD 120 CB CD CS 2 BSD 90 1 求证 AC 平面 SBD 2 若 SC BD 求二面角 A SB D 的余弦值 分析 1 取 BD 中点 O 连接 AO CO 则 AO BD CO BD 即 AC BD 再 由已知证明 COD COS 可得 COD COS 90 即 AC OS 则 AC 平面 SBD 2 由 1 知 AC BD 又 SC BD 可得 BD 平面 SAC 则平面 SAC 平面 SBD 在平面 SBD 中 过 O 作 OH SB 连接 AH 可得 AHO 为二面角 A SB D 的 平面角 然后求解三角形得答案 解答 1 证明 ABD 为正三角形 CB CD 取 BD 中点 O 连接 AO CO 则 AO BD CO BD 即 AC BD 垂足为 O BSD 90 BSD 为直角三角形 O 为 BD 中点 OD OS 在 COD 与 COS 中 OD OS CS CD OC OC COD COS 则 COD COS 90 AC OS 则 AC 平面 SBD 2 解 由 1 知 AC BD 又 SC BD BD 平面 SAC 则平面 SAC 平面 SBD 在平面 SBD 中 过 O 作 OH SB 垂足为 H 连接 AH 精品文档 23欢迎下载 可得 AH SB AHO 为二面角 A SB D 的平面角 在 BCD 中 由 CB CD 2 BCD 120 可得 OB OD 则 OS 则 SOB 为等腰直角三角形 则 H 为 SB 的中点 OH AO 3 AH cos AHO 即二面角 A SB D 的余弦值为 点评 本题考查直线与平面垂直的判定 考查空间想象能力与思维能力 考 查二面角的平面角的求法 是中档题 20 12 00 分 已知圆的圆心为 M 点 P 是圆 M 上的动点 点 点 G 在线段 MP 上 且满足 1 求点 G 的轨迹 C 的方程 2 过点 T 4 0 作斜率不为 0 的直线 l 与 1 中的轨迹 C 交于 A B 两点 点 A 关于 x 轴的对称点为 D 连接 BD 交 x 轴于点 Q 求 ABQ 面积的最大值 分析 1 根据向量知识可知 GN GP 从而可得 GM GN 4 结合椭圆定义 得出轨迹方程 2 设 l 斜率为 k 联立方程组求出 k 的范围和 A B 两点的坐标的关系 根 据弦长公式计算 AB 求出 Q 点坐标计算 Q 到直线 AB 的距离 d 得出 ABQ 面 积关于 k 的函数 从而求出面积的最大值 精品文档 24欢迎下载 解答 解 1 M 0 MP 4 0 即 GN GP 又 G 在线段 MP 上 GM GN GM GP MP 4 又 MN 2 MP G 点轨迹是以 M N 为焦点的椭圆 设 G 的轨迹方程为 1 则 2a 4 即 a 2 c b 1 点 G 的轨迹方程为 y2 1 2 由题意可知直线 l 斜率存在且不为 0 设直线 l 的方程为 y k x 4 A x1 y1 B x2 y2 则 D x1 y1 联立方程组 消元得 1 k2 x2 8k2x 16k2 4 0 由 0 可得 64k4 4 1 k2 16k2 4 0 解得 k2 由根与系数的关系可得 x1 x2 x1x2 AB 直线 BD 的方程为 令 y 0 可得 x 1 精品文档 25欢迎下载 即 Q 1 0 Q 到直线 AB 的距离 d S ABQ 6 令 t 则 t 1 3 4t2 7t 3 4 t 2 当 t 时 3 取得最大值 S ABQ的最大值为 6 点评 本题考查了椭圆的定义与性质 直线与椭圆的位置关系 属于中档 题 21 12 00 分 已知函数 f x ax lnx 1 1 讨论函数 f x 零点的个数 2 对任意的 x 0 f x xe2x恒成立 求实数 a 的取值范围 分析 1 由 f x 0 得 a x 0 求得右边函数的导数 以及单 调性和最值 即可得到所求零点个数 2 任意的 x 0 f x xe2x恒成立 即为 a e2x 恒成立 设 h x e2x 2 设 m x xe2x lnx 1 2x x 0 求得导数 单调性和最值 即可得到所求范围 解答 解 1 函数 f x ax lnx 1 由 f x 0 可得 a x 0 设 g x x 0 g x 精品文档 26欢迎下载 当 x 1 时 g x 0 g x 递减 当 0 x 1 时 g x 0 g x 递 增 可得 x 1 处 g x 取得最大值 1 如图所示 当 a 0 或 a 1 即 a 0 或 a 1 时 直线 y a 与 y g x 有一个交点 当 0 a 1 即 1 a 0 时 直线 y a 与 y g x 有两个交点 当 a 1 即 a 1 时 直线 y a 与 y g x 没有交点 综上可得 a 1 函数 f x 零点的个数为 0 1 a 0 函数 f x 零点的个数为 2 a 0 或 a 1 时 函数 f x 零点的个数为 1 2 任意的 x 0 f x xe2x恒成立 即为 a e2x 恒成立 设 h x e2x 2 设 m x xe2x lnx 1 2x x 0 m x e2x 2xe2x 2 1 2x e2x 设 e2x 0 的根为 a 即有 x a m x 递增 0 x a 时 m x 递减 可得 x a 处 m x 取得最小值 m a 由 m a ae2a lna 1 2a 1 lne 2a 1 2a 0 可得 h x 0 恒成立 即有 e2x 2 则 a 2 即 a 的范围是 2 点评 本题考查函数导数的运用 求函数的单调性和最值 考查不等式恒成 立问题解法 注意运用参数分离和构