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文档简介

2 2正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式 为由生成 张成 的集合 一 生成 张成 的集合 结论 问题 2连续函数空间 正交多项式理论 定理3 格兰姆 史密特 Gram Schmidt 正交化 1 设 即项 系数是1的k次多项式 即 二 史密特正交化 为权函数的正交多项式组使得为首项 证明 用递推构造法证明 正交性 是首项系数为1的i次多项式 推论 设 1 是首项系数为1的i次多项式 证明 将 2 6 代入 2 5 得 说明 将 2 6 代入 2 5 得 定理4 正交多项式的三项递推公式 是首项系数为1的i次多项式 则满足递推公式 定理5设 说明 用反证法利用定理3即得证 应用 求最佳一致逼近多项式 三 正交多项式组的性质 式在 a b 内恰好有n个不同的实根 1 勒让德 Legendre 多项式 四 常用的正交多项式 正交多项式记为 由定理4得 定义7 且有 n次多项式 称为Legendre多项式 事实上 则 1 的首项系数 2 性质 正交多项式 即 4 Legendre多项式的奇偶性 5 Legendre多项式的三项递推公式 由定理4及的唯一性 2 切比雪夫 Chebshev 多项式 应用于最小二乘 正交多项式组记为 定义8 首项系数为 的正交多项式组 即 的正交多项式组 即 2 Chebyshev三项递推公式 事实上 3 Chebyshev多项式零点 于 1 1 内有i个不同的零点 于 1 1 极值点 在 1 1 上有n 1 交替取最大值1和最小值 1 如图示 如图示 3 拉盖尔 Leguerre 多项式 2 递推公式 3 首项系数为 多项式 称为拉盖尔多项式 且有 4 埃尔米特 Hermite 多项式 2 递推公式 3 首项系数为 称为埃尔米特多项式 且有 本课重点 了解四种正交多项式组 勒让德 Legendre 多项式 切比雪夫 Chebshev 多项式 埃尔米特 Hermite 多项式 拉盖尔 Leguerre 多项式的定义及性质 理解最佳一致逼近 最佳平方逼近 最小二乘逼近 拟合 的含义 理解函数空间的有关概念 函数空间 内积 范数 距离概念 正交函数组 函数组的线性无关及其充要条件 2连续函数空间 正交多项式理论 2 1连续函数空间 正交函数组 上带权正交函数组 函数组的线性相关与无关性 存在不全为零数 使得对 线性相关 否则 若 线性无关 范数 内积 的实值非负函数 满足 距离 2 2正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式 一 生成 张成 的集合 二 史密特正交化 定理3 格兰姆 史
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