《数值计算方法绪论》PPT课件.ppt

数值计算方法 第0章课程介绍 什么是数值计算方法 本课程主要内容 数值计算方法重要性 数值计算方法特点 本课程要求 实际问题 什么是数值计算方法 数值计算方法是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法 什么是数值计算方法 1 理论性 数学基础 数值计算方法特点 2 实践性 上机实习 数值计算方法的重要性 1 科学与工程计算是20世纪最重要的科学进展之一 2 世界科学活动的三种主要手段和方式 数值计算 理论研究和物理实验三足鼎立 3 计算性科学分支 计算物理 计算生物学 计算地质学 计算材料学等 4 本课程主要内容 1 非线性方程求根 2 线性方程组求解 3 插值和逼近 4 数值积分 5 特征值计算 6 常微分方程数值解法 本课程要求 教材 李维国 同登科 数值计算方法 第二版 中国石油大学出版社 2008 2 学时 80 理论 16 上机 96 3 课程评分办法 75 期末考试成绩 25 上机 作业 100 4 公共信箱 mathncm shenshuqian 密码 5 勤奋 不迟到 按时高质量完成作业 第1章绪论 误差 计算机的数系结构 误差分析的方法和原则 一 误差的来源 1 从实际问题中抽象出数学模型 模型误差 2 通过观测得到模型中某些参数 或物理量 的值 观测误差 3 数学模型与数值算法之间的误差求近似解 方法误差 截断误差 4 由于机器字长有限 原始数据和计算过程会产生新的误差 舍入误差 误差 二 误差分析的基本概念 设为真值 精确值 为的一个近似值称为的绝对误差 简称误差 绝对误差可正可负 1 定义 绝对误差限 例 实际计算时 相对误差通常取 2 定义 称为近似值的相对误差 相对误差限 用相对误差衡量近似程度更合理 举例 3 定义 有效数字 例 3位 6位 规格化形式 4 定义 有效数字等价定义 设近似值若 则称具有位有效数字 证 0 2300有4位有效数字 而00023只有2位有效数字 12300如果写成0 123 105 则表示只有3位有效数字 数字末尾的0不可随意省去 若的每一位都是有效数字 则称是有效数 故有4位有效数字 精确到小数点后第3位 则至少具有k位有效数字 5 定理 将近似值表示为 若有k位有效数字 则 反之 若 例 为使的相对误差小于0 001 至少应取几位有效数字 解 假设 取到n位有效数字 则其相对误差上限为 要保证其相对误差小于0 001 只要保证其上限满足 已知a1 3 则从以上不等式可解得n 6 log6 即n 6 应取 3 14159 有限个输入数据与有限个输出数据之间函数关系的一个明确无歧义的描述 即输入与输出的都是数值的数学问题 例 一阶微分方程初值问题 三 数值算法复杂性及稳定性 1 问 什么是数值问题 如线性方程组求解和二次方程求根 离散化 是将非数值问题的数学模型化为数值问题的主要方法 这也是计算方法的任务之一 一个算法如果输入数据有扰动 即误差 而计算过程中舍入误差不增长 则称此算法是数值稳定的 否则此算法就称为数值不稳定的 3 定义 数值稳定性 对数学问题本身如果输入数据有微小扰动 引起输出数据 即问题真解 的很大扰动 这就是病态问题 4 定义 病态问题 2 数值方法的计算复杂性 时间和空间 Whathappened 公式一 递归计算可得 考察第n步的误差 造成这种情况的是不稳定的算法 公式二 可取 初始误差 取 考察反推一步的误差 以此类推 对n N有 误差逐步递减 这样的算法称为稳定的算法 在我们今后的讨论中 误差将不可回避 算法的稳定性将会是一个非常重要的话题 一 误差分析的方法 1 向前误差分析法 利用误差限 随着计算过程逐步向前进行分析 直至估计出最后的结果 注 误差分析的方法和原则 避免两近似数相减 避免大数除以小数 2 对于函数y f x 若用x 取代x 将对y产生什么影响 分析 e y f x f x x 与x非常接近时 则有 注 称为放大缩小因子或绝对误差条件数 相对误差条件数 3 区间分析法 把参加运算的数都看成区间量 根据区间运算规则求得最后结果的近似值和误差限 4 概率分析法 利用概率统计方法 将数据和运算中的舍入误差视为适合某种分布的随机变量 然后确定计算结果的误差分布 二 算法设计的一些原则 1 避免相近二数相减 例 a1 0 12345 a2 0 12346 各有5位有效数字 几种经验性避免方法 当 x 1时 而a2 a1 0 00001 只剩下1位有效数字 2 避免大数除以小数 3 避免大数吃小数 大数吃小数 例 在5位十进制计算机上计算 解法一 A 0 52492 105 0 000001 105 解法二 A 0 52492 105 0 1 100 0 1 100 0 52492 105 0 1 103 0 52492 105 52492 0 52492 105 0 001 105 52592 用递推公式表示为 解 秦九韶 南宋数学家 公元13世纪 方法 Horner算法 4 先化简再计算 减少步骤 避免误差积累 注 一般来说 计算机处理下列运算的速度为 5 选用稳定的算法 称为尾数 j为阶 计算机的数系是一个不完整的数系 计算机只能表示有限个数 即计算机的精度是有限的 每种计算机内部运算是按固定的有限位数进行的 也就是按固定位数的有限位浮点数进行运算的 浮点数系统由四个整数表征 基 精