专题39 变式猜想问题

专题 39 变式猜想问题 解读考点 知 识 点 名师点晴 特殊的四边形的变式题 理解并掌握特殊的四边形的性质 并能解决四边形 的有关变式问题 三角形有关的变式题 利用三角形的性质 全等 相似解决相关是变式问 题 变式猜 想问题 图形的旋转与对称变式利用图形的旋转和有关变换解决相关的变式问题 2 年中考 2015 年题组 1 2015 甘南州 如图 1 在 ABC 和 EDC 中 AC CE CB CD ACB DCE 90 AB 与 CE 交于 F ED 与 AB BC 分别交于 M H 1 求证 CF CH 2 如图 2 ABC 不动 将 EDC 绕点 C 旋转到 BCE 45 时 试判断四边形 ACDM 是什么四边形 并证明你的结论 答案 1 证明见试题解析 2 四边形 ACDM 是菱形 解析 试题分析 1 由 ABC DCE 90 AC CE CB CD 可得 B E 45 故有 BCF ECH 得出 CF CH 2 由 EDC 绕点 C 旋转到 BCE 45 推出四边形 ACDM 是平行四边形 由 AC CD 判断出四边形 ACDM 是菱形 试题解析 1 AC CE CB CD ACB ECD 90 A B D E 45 在 BCF 和 ECH 中 B E BC EC BCE ECH BCF ECH ASA CF CH 全等三角形的对应边相等 考点 1 菱形的判定 2 全等三角形的判定与性质 3 探究型 4 综合题 2 2015 齐齐哈尔 如图 1 所示 在正方形 ABCD 和正方形 CGEF 中 点 B C G 在同 一条直线上 M 是线段 AE 的中点 DM 的延长线交 EF 于点 N 连接 FM 易证 DM FM DM FM 无需写证明过程 1 如图 2 当点 B C F 在同一条直线上 DM 的延长线交 EG 于点 N 其余条件不变 试探究线段 DM 与 FM 有怎样的关系 请写出猜想 并给予证明 2 如图 3 当点 E B C 在同一条直线上 DM 的延长线交 CE 的延长线于点 N 其余 条件不变 探究线段 DM 与 FM 有怎样的关系 请直接写出猜想 答案 1 DM FM DM FM 证明见试题解析 2 DM FM DM FM 解析 试题分析 1 连接 DF NF 由正方形的性质 得到 AD BC BC GE 于是有 AD GE 得到 DAM NEM 即可证得 MAD MEN 得出 DM MN AD EN 推出 MAD MEN DFN 是等腰直角三角形 即可得到结论 2 连接 DF NF 由正方形的性质 得到 AD BC AD CN 进而得到 DAM NEM 可证 MAD MEN 有 DM MN AD EN 推出 MAD MEN DFN 是等腰直角三角形 于是可得到结论 试题解析 1 如图 2 DM FM DM FM 证明如下 连接 DF NF 四边形 ABCD 和 CGEF 是正方形 AD BC BC GE AD GE DAM NEM M 是 AE 的中点 AM EM 在 MAD 与 MEN 中 AMD EMN AM EM DAM NEM MAD MEN DM MN AD EN AD CD CD NE CF EF DCF DCB 90 在 DCF 与 NEF 中 CD EN DCF NEF 90 CF EF MAD MEN DF NF CFD EFN EFN NFC 90 DFC CFN 90 DFN 90 DM FM DM FM 考点 1 四边形综合题 2 全等三角形的判定与性质 3 探究型 4 压轴题 3 2015 牡丹江 已知四边形 ABCD 是正方形 等腰直角 AEF 的直角顶点 E 在直线 BC 上 不与点 B C 重合 FM AD 交射线 AD 于点 M 1 当点 E 在边 BC 上 点 M 在边 AD 的延长线上时 如图 求证 AB BE AM 提示 延长 MF 交边 BC 的延长线于点 H 2 当点 E 在边 CB 的延长线上 点 M 在边 AD 上时 如图 当点 E 在边 BC 的延长 线上 点 M 在边 AD 上时 如图 请分别写出线段 AB BE AM 之间的数量关系 不 需要证明 3 在 1 2 的条件下 若 BE 3 AFM 15 则 AM 答案 1 证明见试题解析 2 BE AM AB 3 3 3 或 31 2 BE AM AB 理由如下 如图 AEB FEH 90 AEB EAB 90 FEH EAB 在 ABE 与 EHF 中 ABE EHF EAB FEH AE FE ABE EHF AAS AB EH EB AM 如图 BAE AEB 90 AEB HEF 90 BAE HEF 在 ABE 与 EHF 中 ABE EHF BAE HEF AE FE ABE EHF AAS AB EH BE BH EH AM AB 3 如图 AFM 15 AFE 45 EFM 60 EFH 120 在 EFH 中 FHE 90 EFH 120 此情况不存在 考点 1 全等三角形的判定与性质 2 四边形综合题 3 正方形的性质 4 探究型 5 和差倍分 6 分类讨论 7 综合题 8 压轴题 4 2015 临沂 如图 1 在正方形 ABCD 的外侧 作两个等边三角形 ADE 和 DCF 连接 AF BE 1 请判断 AF 与 BE 的数量关系是 位置关系是 2 如图 2 若将条件 两个等边三角形 ADE 和 DCF 变为 两个等腰三角形 ADE 和 DCF 且 EA ED FD FC 第 1 问中的结论是否仍然成立 请作出判断并给予说明 3 若三角形 ADE 和 DCF 为一般三角形 且 AE DF ED FC 第 1 问中的结论都能 成立吗 请直接写出你的判断 答案 1 相等 互相垂直 2 成立 3 成立 3 第 1 问中的结论都能成立 理由是 正方形 ABCD 中 AB AD CD 在 ADE 和 DCF 中 AE DF AD CD DE CF ADE DCF DAE CDF 又 正方形 ABCD 中 BAD ADC 90 BAE ADF 在 ABE 和 ADF 中 AB DA BAE ADF AE DF ABE ADF BE AF ABM DAF 又 DAF BAM 90 ABM BAM 90 在 ABM 中 AMB 180 ABM BAM 90 BE AF 考点 1 四边形综合题 2 正方形的性质 3 全等三角形的判定与性质 4 探究型 5 综合题 6 压轴题 5 2015 威海 如图 1 直线 1 yk x 与反比例函数 k y x 0k 的图象交于点 A B 直线 2 yk x 与反比例函数 k y x 的图象交于点 C D 且 12 0k k 12 kk 顺 次连接 A D B C AD BC 分别交 x 轴于点 F H 交 y 轴于点 E G 连接 FG EH 1 四边形 ADBC 的形状是 2 如图 2 若点 A 的坐标为 2 4 四边形 AEHC 是正方形 则 2 k 3 如图 3 若四边形 EFGH 为正方形 点 A 的坐标为 2 6 求点 C 的坐标 4 判断 随着 1 k 2 k 取值的变化 四边形 ADBC 能否为正方形 若能 求点 A 的坐标 若不能 请简要说明理由 答案 1 平行四边形 2 1 2 3 C 6 2 4 不能 4 根据反比例函数 k y x 0k 的图象不能与坐标轴相交可知 AOC 90 故四 边形 ADBC 的对角线不能互相垂直 由此可得出结论 试题解析 1 正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称 OA OB OC OD 四边形 ADBC 是平行四边形 故答案为 平行四边形 2 如图 1 过点 A 作 AM y 轴 垂足为 M 过点 C 作 CN x 轴 垂足为 N 四边 形 AEHC 是正方形 DA AC 四边形 ADBC 是矩形 OA OC AM CN C 4 2 2 24k 解得 2 k 1 2 故答案为 1 2 考点 1 反比例函数综合题 2 探究型 3 综合题 4 压轴题 6 2015 德州 1 问题 如图 1 在四边形 ABCD 中 点 P 为 AB 上一点 DPC A B 90 求证 AD BC AP BP 2 探究 如图 2 在四边形 ABCD 中 点 P 为 AB 上一点 当 DPC A B 时 上述结论是否 依然成立 说明理由 3 应用 请利用 1 2 获得的经验解决问题 如图 3 在 ABD 中 AB 6 AD BD 5 点 P 以 每秒 1 个单位长度的速度 由点 A 出了 沿边 AB 向点 B 运动 且满足 DPC A 设点 P 的运动时间为 t 秒 当以 D 为圆心 以 DC 为半径的圆与 AB 相切时 求 t 的值 答案 1 证明见试题解析 2 成立 理由见试题解析 3 1 或 5 2 结论 AD BC AP BP 仍然成立 理由 如图 2 BPD DPC BPC BPD A ADP DPC BPC A ADP DP C A B BPC ADP ADP BPC ADAP BPBC AD BC AP BP 3 如图 3 过点 D 作 DE AB 于点 E AD BD 5 AB 6 AE BE 3 由勾股定 理可得 DE 4 以点 D 为圆心 DC 为半径的圆与 AB 相切 DC DE 4 BC 5 4 1 又 AD BD A B DPC A B 由 1 2 的经验可知 AD BC AP BP 5 1 t 6 t 解得 1 1t 2 5t t 的值为 1 秒 或 5 秒 考点 1 相似形综合题 2 切线的性质 3 探究型 4 阅读型 5 压轴题 7 2015 济南 如图 1 在 ABC 中 ACB 90 AC BC EAC 90 点 M 为射 线 AE 上任意一点 不与 A 重合 连接 CM 将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 得到线段 CN 直线 NB 分别交直线 CM 射线 AE 于点 F D 1 直接写出 NDE 的度数 2 如图 2 图 3 当 EAC 为锐角或钝角时 其他条件不变 1 中的结论是否发生变 化 如果不变 选取其中一种情况加以证明 如果变化 请说明理由 3 如图 4 若 EAC 15 ACM 60 直线 CM 与 AB 交于 G BD 62 2 其他条件不变 求线段 AM 的长 答案 1 NDE 90 2 不变 3 6 2 不变 在 MAC NBC 中 AC BC ACM BCN MC NC MAC NBC N AMC 又 MFD NFC MDF FCN 90 即 NDE 90 3 作 GK BC 于 K EAC 15 BAD 30 ACM 60 GCB 30 AGC ABC GCB 75 AMG 75 AM AG MAC NBC MAC NBC BDA BCA 90 BD 62 2 AB 62 AC BC 31 设 BK a 则 GK a CK 3a 331aa a 1 KB KG 1 BG 2 AG 6 AM 6 考点 1 几何变换综合题 2 旋转的性质 3 探究型 4 综合题 5 压轴题 8 2015 济宁 阅读材料 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 sin sinsin abc ABC 利用上述结 论可以求解如下题目 在 ABC 中 A B C 的对边分别为 a b c 若 A 45 B 30 a 6 求 b 解 在 ABC 中 sin sin ab AB 1 6 sin6sin30 2 3 2 sinsin452 2 aB b A 理解应用 如图 甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行 当甲船位于 A1 处时 乙船位于 甲船的北偏西 105 方向的 B1 处 且乙船从 B1 处按北偏东 15 方向匀速直线航行 当甲船 航行 20 分钟到达 A2 时 乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处 此时两船相距 10 2 海里 1 判断 A1A2B2 的形状 并给出证明 2 求乙船每小时航行多少海里 答案 1 等边三角形 2 20 3 试题解析 解 1 A1A2B2 是等边三角形 理由如下 连结 A1B2 甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行 航行 20 分钟到达 A2 A1A2 30 2 1 3 10 2 又 A2B2 10 2 A1A2B2 60 A1A2B2 是等 边三角形 考点 1 解直角三角形的应用 方向角问题 2 阅读型 3 探究型 9 2015 烟台 问题提出 如图 已知 ABC 是等腰三角形 点 E 在线段 AB 上 点 D 在直线 BC 上 且 ED EC 将 BCE 绕点 C 顺时针旋转 60 至 ACF 连接 EF 试证明 AB DB AF 类比探究 1 如图 如果点 E 在线段 AB 的延长线上 其他条件不变 线段 AB DB AF 之间 又有怎样的数量关系 请说明理由 2 如果点 E 在线段 BA 的延长线上 其他条件不变 请在图 的基础上将图形补充完 整 并写出 AB DB AF 之间的数量关系 不必说明理由 答案 问题提出 证明见试题解析 类比探究 1 AB BD AF 2 AF AB BD 解析 2 首先根据点 E 在线段 BA 的延长线上 在图 的基础上将图形补充完整 然后判断 出 CEF 是等边三角形 即可判断出 EF EC 再根据 ED EC 可得 ED EF CAF BAC 60 再判断出 DBE EAF BDE AEF 最后根据全等三 角形判定的方法 判断出 EDB FEA 即可判断出 BD AE EB AF 进而判断出 AF AB BD 即可 试题解析 ED EC CF BCE 绕点 C 顺时针旋转 60 至 ACF ECF 60 BCA 60 BE AF EC CF CEF 是等边三角形 EF EC CEF 60 又 ED EC ED EF ABC 是等腰三角形 BCA 60 ABC 是等边三角形 CAF CBA 60 EAF BAC CAF 120 DBE 120 EAF DBE CAF CEF 60 A E C F 四点共圆 AEF ACF 又 ED EC D BCE BCE ACF D AEF 在 EDB 和 FEA 中 DBE EAF D AEF ED EF AAS EDB FEA DB AE BE AF AB AE BE AB DB AF 1 AB BD AF 延长 EF CA 交于点 G BCE 绕点 C 顺时针旋转 60 至 ACF ECF 60 BE AF EC CF CEF 是等边三角形 EF EC 又 ED EC ED EF EFC BAC 60 EFC FGC FCG BAC FGC FEA FCG FEA 又 FCG ECD D ECD D FEA 由旋转的性质 可得 CBE CAF 120 DBE FAE 60 在 EDB 和 FEA 中 DBE EAF D AEF ED EF AAS EDB FEA BD AE EB AF BD FA AB 即 AB BD AF 2 如图 ED EC CF BCE 绕点 C 顺时针旋转 60 至 ACF ECF 60 BE AF EC CF BC AC CEF 是等边三角形 EF EC 又 ED EC ED EF AB AC BC AC ABC 是等边三角形 ABC 60 又 CBE CAF CAF 60 EAF 180 CAF BAC 180 60 60 60 DBE EAF ED EC ECD EDC BDE ECD DEC EDC D EC 又 EDC EBC BED BDE EBC BED DEC 60 BEC AEF CEF BEC 60 BEC BDE AEF 在 EDB 和 FEA 中 DBE EAF BDE AEF ED EF 考点 1 几何变换综合题 2 旋转的性质 3 和差倍分 4 探究型 5 综合题 6 压轴题 10 2015 青岛 已知 如图 在 ABCD 中 AB 3cm BC 5cm AC AB ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到 PNM 速度为 1cm s 同时 点 Q 从点 C 出发 沿 CB 方向匀速 移动 速度为 1cm s 当 PNM 停止平移时 点 Q 也停止移动 如图 设移动时间为 t s 0 t 4 连接 PQ MQ MC 解答下列问题 1 当 t 为何值时 PQ MN 2 设 QMC 的面积为 y cm2 求 y 与 x 之间的函数关系式 3 是否存在某一时刻 t 使 S QMC S 四边形 ABQP 1 4 若存在 求出 t 的值 若 不存在 请说明理由 4 是否存在某一时刻 t 使 PQ MQ 若存在 求出 t 的值 若不存在 请说明理由 答案 1 9 20 t 2 2 36 105 ytt 0 t 4 3 t 2 4 2 3 t 解析 试题分析 1 根据勾股定理求出 AC 根据 PQ AB 得出 CB CQ CA CP 54 4tt 求解即可 2 过点 P 作 PD BC 于 D 根据 CPD CBA 得出 4 53 tPD 求出 PD 123 5 t 再根据 S QMC S QPC 得出 y S QMC 1 2QC PD 再代入计算即可 2 过点 P 作 PD BC 于 D CPD CBA CPPD CBBA 4 53 tPD PD 123 5 t PD BC S QMC S QPC 11123 225 t yCQht 即 2 36 105 ytt 0 t 4 3 S QMC S 四边形 ABQP 1 4 S QPC S 四边形 ABQP 1 4 S QPC S ABC 1 5 2 36 105 tt 6 1 5 整理得 044 2 tt 解得 2 t 4 若 PQ MQ 则 PQM PDQ MPQ PQD PDQ MQP DQ PQ PQ PM 2 PQ MP DQ 22 PDDQ MP DQ CD 164 5 t DQ CD CQ 164 5 t t 169 5 t 5 916 5 5 916 5 312 22 ttt 整理得 032 2 tt 解得 1 0t 舍去 2 3 2 t 2 3 t 时 PQ MQ 考点 1 相似形综合题 2 动点型 3 存在型 4 综合题 5 压轴题 11 2015 台州 定义 如图 1 点 M N 把线段 AB 分割成 AM MN 和 BN 若以 AM MN BN 为边的三角形是一个直角三角形 则称点 M N 是线段 AB 的勾股分割 点 1 已知点 M N 是线段 AB 的勾股分割点 若 AM 2 MN 3 求 BN 的长 2 如图 2 在 ABC 中 FG 是中位线 点 D E 是线段 BC 的勾股分割点 且 EC DE BD 连接 AD AE 分别交 FG 于点 M N 求证 点 M N 是线段 FG 的勾股分 割点 3 已知点 C 是线段 AB 上的一定点 其位置如图 3 所示 请在 BC 上画一点 D 使点 C D 是线段 AB 的勾股分割点 要求尺规作图 保留作图痕迹 画一种情形即可 4 如图 4 已知点 M N 是线段 AB 的勾股分割点 MN AM BN AMC MND 和 NBE 均为等边三角形 AE 分别交 CM DM DN 于点 F G H 若 H 是 DN 的中点 试探究 AMF S BEN S 和 MNHG S四边形 的数量关系 并说明理由 答案 1 BN 5 或 13 2 3 4 3 在 AB 上截取 CE CA 作 AE 点垂直平分线 截取 CF CA 作 BF 的垂直平分线 交 AB 于 D 即可 4 先证明 DGH NEH 得出 DG EN b MG c b 再证明 AGM AEN 得出 比例式 得出 2 2cabacbc 证出 222 cab 得出 a b 证出 DGH CAF 得出 DGH CAF SS 证出 DMN ACM ENB SSS 即可得出结论 试题解析 1 当 MN 为最大线段时 点 M N 是线段 AB 的勾股分割点 BN 22 MNAM 94 5 当 BN 为最大线段时 点 M N 是线段 AB 的勾股分割点 BN 22 MNAM 94 13 综上所述 BN 5 或 13 点 D 即为所求 如图所示 4 AMFBENMNHG SSS 四边形 理由如下 设 AM a BN b MN c H 是 DN 的中点 DH HN 1 2 c MND BNE 均为 等边三角形 D DNE 60 在 DGH 和 NEH 中 D DNE DH HN DHG NHE DGH NEH ASA DG EN b MG c b GM EN AGM AEN cba bac 2 2cabacbc 点 M N 是线段 AB 的勾股分割点 222 cab 2 abba c 又 b ac a b 在 DGH 和 CAF 中 D C DG CA DGH CAF DGH CAF ASA DGH CAF SS 222 cab 222 333 444 cab DMN ACM ENB SSS DMN DGHMNHG SSS 四边形 ACM CAF AMF SSS AMFBENMNHG SSS 四边形 考点 1 相似形综合题 2 分类讨论 3 新定义 4 探究型 5 综合题 6 压轴 题 12 2015 丹东 在正方形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 交于点 O 在 Rt PMN 中 MPN 90 1 如图 1 若点 P 与点 O 重合且 PM AD PN AB 分别交 AD AB 于点 E F 请 直接写出 PE 与 PF 的数量关系 2 将图 1 中的 Rt PMN 绕点 O 顺时针旋转角度 0 45 如图 2 在旋转过程中 1 中的结论依然成立吗 若成立 请证明 若不成立 请说明 理由 如图 2 在旋转过程中 当 DOM 15 时 连接 EF 若正方形的边长为 2 请直接写 出线段 EF 的长 如图 3 旋转后 若 Rt PMN 的顶点 P 在线段 OB 上移动 不与点 O B 重合 当 BD 3BP 时 猜想此时 PE 与 PF 的数量关系 并给出证明 当 BD m BP 时 请直接写出 PE 与 PF 的数量关系 答案 1 PE PF 2 成立 2 6 3 PE 2PF PE m 1 PF 2 成立 理由 AC BD 是正方形 ABCD 的对角线 OA OD FAO EDO 45 AOD 90 DOE AOE 90 MPN 90 FOA AOE 90 FOA DOE 在 FOA 和 EOD 中 FAO FDO OA OD FOA DOE FOA EOD OE OF 即 PE PF 考点 1 四边形综合题 2 正方形的性质 3 相似三角形的判定与性质 4 探究型 5 和差倍分 6 综合题 7 压轴题 13 2015 大连 在 ABC 中 点 D E F 分别在 AB BC AC 上 且 ADF DEC 180 AFE BDE 1 如图 1 当 DE DF 时 图 1 中是否存在与 AB 相等的线段 若存在 请找出 并加 以证明 若不存在 说明理由 2 如图 2 当 DE kDF 其中 0 k 1 时 若 A 90 AF m 求 BD 的长 用含 k m 的式子表示 答案 1 AB BE 2 BD 2 2 1 1 mkk k 试题解析 1 如图 1 连结 AE DE DF DEF DFE ADF DEC 180 ADF DEB AFE BDE AFE ADE 180 A D E F 四点共圆 DAE DFE DEF ADF AEF ADF DEB AEF AEF AED DEB AED AEB DEF BAE AB BE 2 如图 2 连结 AE AFE BDE AFE ADE 180 A D E F 四点 共圆 ADF AEF DAF 90 DEF 90 ADF DEC 180 ADF DEB ADF AEF DEB AEF 在 BDE 与 AFE 中 DEB AEF BDE AFE BDE AFE BDDE AFFE 在直角 DEF 中 DEF 90 DE kDF EF 22 DFDE 2 1 k DF 2 1 BDkDF m k DF 2 1 k k BD 2 2 1 1 mkk k 考点 1 相似三角形的判定与性质 2 探究型 3 存在型 4 综合题 5 压轴题 14 2015 葫芦岛 在 ABC 中 AB AC 点 F 是 BC 延长线上一点 以 CF 为边 作菱 形 CDEF 使菱形 CDEF 与点 A 在 BC 的同侧 连接 BE 点 G 是 BE 的中点 连接 AG DG 1 如图 当 BAC DCF 90 时 直接写出 AG 与 DG 的位置和数量关系 2 如图 当 BAC DCF 60 时 试探究 AG 与 DG 的位置和数量关系 3 当 BAC DCF 时 直接写出 AG 与 DG 的数量关系 答案 1 AG DG AG DG 2 AG GD AG 3 DG 3 DG AGtan2 3 延长 DG 与 BC 交于 H 连接 AH AD 先证 BGH EGD 求得 BH ED HG DG 得出 BH DC 再证 ABH ACD 得出 BAH CAD AH AD 进而求得 HAD 是等腰三角形 即可证得 DG AGtan2 试题解析 1 AG DG AG DG 证明如下 延长 DG 与 BC 交于 H 连接 AH AD 四边形 DCEF 是正方形 DE DC DE CF GBH GED GHB GDE G 是 BC 的中点 BG EG 在 BGH 和 EGD 中 GBH GED GHB GDE BG EG BGH EGD AAS BH ED HG DG BH DC AB AC BAC 90 ABC ACB 45 DCF 90 DCB 90 ACD 45 ABH ACD 45 在 ABH 和 ACD 中 AB AC ABH ACD BH CD ABH ACD SAS BAH CAD AH AD BAH HAC 90 CAD HAC 90 即 HAD 90 AG GD AG GD 2 AG GD AG 3 DG 证明如下 延长 DG 与 BC 交于 H 连接 AH AD 四边 形 DCEF 是正方形 DE DC DE CF GBH GED GHB GDE G 是 BC 的中点 BG EG 在 BGH 和 EGD 中 GBH GED GHB GDE BG EG BGH EGD AAS BH ED HG DG BH DC AB AC BAC DCF 60 ABC 60 ACD 60 ABC ACD 60 在 ABH 和 ACD 中 AB AC ABH ACD BH CD ABH ACD SAS BAH CAD AH AD BAC HAD 60 AG HD HAG DAG 30 tan DAG tan30 3 3 DG AG AG 3 DG 考点 1 四边形综合题 2 正方形的性质 3 全等三角形的判定与性质 4 探究型 5 压轴题 15 2015 抚顺 在 Rt ABC 中 BAC 90 过点 B 的直线 MN AC D 为 BC 边上一点 连接 AD 作 DE AD 交 MN 于点 E 连接 AE 1 如图 当 ABC 45 时 求证 AD DE 2 如图 当 ABC 30 时 线段 AD 与 DE 有何数量关系 并请说明理由 3 当 ABC 时 请直接写出线段 AD 与 DE 的数量关系 用含 的三角函数表示 答案 1 证明见试题解析 2 DE 3 AD 3 AD DE tan 解析 试题分析 1 过点 D 作 DF BC 交 AB 于点 F 得出 BDE ADF EBD AFD 即可得到 BDE FDA 从而得到 AD DE 如图 2 过点 D 作 DG BC 交 AB 于点 G 则 BDE GDE 90 DE AD GDE ADG 90 BDE ADG BAC 90 ABC 30 C 60 MN AC EBD 180 C 120 ABC 30 DG BC BGD 60 AGD 120 EBD AGD BDE GDA ADDG DEBD 在 Rt BDG 中 DG BD tan30 3 3 DE 3 AD 3 AD DE tan 理由 如图 2 BDE GDE 90 DE AD GDE ADG 90 BDE ADG EBD 90 AGD 90 EBD AGD EBD AGD ADDG DEBD 在 Rt BDG 中 DG BD tan 则 AD DE tan AD DE tan 考点 1 相似三角形的判定与性质 2 全等三角形的判定与性质 3 探究型 4 综合 题 5 压轴题 16 2015 朝阳 问题 如图 1 在 Rt ACB 中 ACB 90 AC CB DCE 45 试探究 AD DE EB 满足的等量关系 探究发现 小聪同学利用图形变换 将 CAD 绕点 C 逆时针旋转 90 得到 CBH 连接 EH 由已知 条件易得 EBH 90 ECH ECB BCH ECB ACD 45 根据 边角边 可 证 CEH 得 EH ED 在 Rt HBE 中 由 定理 可得 BH2 EB2 EH2 由 BH AD 可得 AD DE EB 之间的等量关系是 实践运用 1 如图 2 在正方形 ABCD 中 AEF 的顶点 E F 分别在 BC CD 边上 高 AG 与正方形的边长相等 求 EAF 的度数 2 在 1 条件下 连接 BD 分别交 AE AF 于点 M N 若 BE 2 DF 3 BM 2 运用小聪同学探究的结论 求正方形的边长及 MN 的长 答案 探究发现 CDE 勾股 222 ADEBDE 实践运用 1 45 2 正方 形边长为 6 MN 5 2 2 1 在 Rt ABE 和 Rt AGE 中 AB AG AE AE Rt ABE Rt AGE HL BAE GAE 同理 Rt ADF Rt AGF GAF DAF 四边形 ABCD 是正 方形 BAD 90 EAF 1 2 BAD 45 考点 1 几何变换综合题 2 阅读型 3 探究型 4 综合题 5 压轴题 17 2015 本溪 如图 1 在 ABC 中 AB AC 射线 BP 从 BA 所在位置开始绕点 B 顺 时针旋转 旋转角为 0 180 1 当 BAC 60 时 将 BP 旋转到图 2 位置 点 D 在射线 BP 上 若 CDP 120 则 ACD ABD 填 线段 BD CD 与 AD 之间的数量关系是 2 当 BAC 120 时 将 BP 旋转到图 3 位置 点 D 在射线 BP 上 若 CDP 60 求 证 BD CD 3 AD 3 将图 3 中的 BP 继续旋转 当 30 180 时 点 D 是直线 BP 上一点 点 P 不在线 段 BD 上 若 CDP 120 请直接写出线段 BD CD 与 AD 之间的数量关系 不必证明 答案 1 BD CD AD 2 证明见试题解析 3 BD CD 3 AD 解析 试题分析 1 如图 2 由 CDP 120 得出 CDB 60 则 CDB BAC 60 所以 A B C D 四点共圆 由圆周角定理得出 ACD ABD 在 BP 上截取 BE CD 连接 AE 利用 SAS 证明 DCA EBA 得到 AD AE DAC EAB 再证明 ADE 是等 边三角形 得到 DE AD 进而得出 BD CD AD 2 如图 3 设 AC 与 BD 相交于点 O 在 BP 上截取 BE CD 连接 AE 过 A 作 AF BD 于 F 先证 DOC AOB 得到 DCA EBA 再利用 SAS 证明 DCA EBA 得到 AD AE DAC EAB 由 CAB CAE EAB 120 得出 DAE 120 由等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出 ADE AED 30 解 Rt ADF 得出 DF 3 2 AD 那么 DE 2DF 3 AD 进而得出 BD DE BE 3 AD CD 即 BD CD 3 AD 3 BD CD 3 AD 考点 1 几何变换综合题 2 探究型 3 和差倍分 4 全等三角形的判定与性质 5 压轴题 18 2015 锦州 如图 QPN 的顶点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处 QPN 将 QPN 绕点 P 旋转 旋转过程中 QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F 点 F 与点 C D 不重合 1 如图 当 90 时 DE DF AD 之间满足的数量关系是 2 如图 将图 中的正方形 ABCD 改为 ADC 120 的菱形 其他条件不变 当 60 时 1 中的结论变为 DE DF 1 2AD 请给出证明 3 在 2 的条件下 若旋转过程中 QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E 其他条件不 变 探究在整个运动变化过程中 DE DF AD 之间满足的数量关系 直接写出结论 不 用加以证明 答案 1 DE DF AD 2 证明见试题解析 3 当点 E 落在 AD 上时 DE DF 1 2AD 当点 E 落在 AD 的延长线上时 DF DE 1 2AD 3 当点 E 落在 AD 上时 DE DF 1 2AD 当点 E 落在 AD 的延长线上时 DF DE 1 2AD 试题解析 1 正方形 ABCD 的对角线 AC BD 交于点 P PA PD PAE PDF 45 APE EPD DPF EPD 90 APE DPF 在 APE 和 DPF 中 APE DPF PA PD PAE PDF APE DPF ASA AE DF DE DF AD 2 如图 取 AD 的中点 M 连接 PM 四边形 ABCD 为 ADC 120 的菱形 BD AD DAP 30 ADP CDP 60 MDP 是等边三角形 PM PD PME PDF 60 PAM 30 MPD 60 QPN 60 MPE FPD 在 MPE 和 FPD 中 PME PDF PM PD MPE FPD MPE FPD ASA ME DF DE DF 1 2AD 考点 1 四边形综合题 2 分类讨论 3 和差倍分 4 探究型 5 压轴题 19 2015 三明 在正方形 ABCD 中 点 E F 分别在边 BC CD 上 且 EAF CEF 45 1 将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90 得到 ABG 如图 求证 AEG AEF 2 若直线 EF 与 AB AD 的延长线分别交于点 M N 如图 求证 222 EFMENF 3 将正方形改为长与宽不相等的矩形 若其余条件不变 如图 请你直接写出线段 EF BE DF 之间的数量关系 答案 1 证明见试题解析 2 证明见试题解析 3 222 22EFBEDF 解析 试题分析 1 由旋转的性质可知 AF AG EAF GAE 45 即可得到 AEG AEF 2 将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90 得到 ABG 连结 GM 由 1 知 AEG AEF 则有 EG EF 再由 BME DNF CEF 均为等腰直角三角形 得出 CE CF BE BM NF 2DF 再证明 GME 90 MG NF 由勾股定理得到 222 EGMEMG 等量代换即可得到 222 EFMENF 3 延长 EF 交 AB 延长线于 M 点 交 AD 延长线于 N 点 将 ADF 绕着点 A 顺时针旋 转 90 得到 AGH 连结 HM HE 由 1 知 AEH AEF 得到 EF HE DF GH BE BM 由 2 知 HM ME 得到 2222 HMMEHEEF 22222 22HMHGGMHGDF 2222 2MEBMBEBE 从而得到结论 3 222 22EFBEDF 证明如下 如图 3 所示 延长 EF 交 AB 延长线于 M 点 交 AD 延长线于 N 点 将 ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90 得到 AGH 连结 HM HE 由 1 知 AEH AEF EF HE DF GH BE BM 由 2 知 HM ME 2222 HMMEHEEF 22222 22HMHGGMHGDF 2222 2MEBMBEBE 222 22EFBEDF 考点 1 全等三角形的判定与性质 2 四边形综合题 3 探究型 4 旋转的性质 5 和差倍分 6 压轴题 2014 年题组 1 2014 年浙江温州卷 如图 在平面直角坐标系中 点 A B 的坐标分别是 3 0 0 6 动点 P 从点 O 出发 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位的速度运动 同时动点 C 从 点 B 出发 沿射线 BO 方向以每秒 2 个单位的速度运动 以 CP CO 为邻边构造 PCOD 在线段 OP 延长线上取点 E 使 PE AO 设点 P 运动的时间为t秒 1 当点 C 运动到线段 OB 的中点时 求t的值及点 E 的坐标 2 当点 C 在线段 OB 上时 求证 四边形 ADEC 为平行四边形 3 在线段 PE 上取点 F 使 PF 1 过点 F 作 MN PE 截取 FM 2 FN 1 且点 M N 分别在第一 四象限 在运动过程中 设 PCOD 的面积为 S 当点 M N 中 有一点落在四边形 ADEC 的边上时 求出所有满足条件的t的值 若点 M N 中恰好只有一个点落在四边形 ADEC 内部 不包括边界 时 直接写出 S 的 取值范围 答案 1 3 2 9 2 0 2 证明见解析 3 1 9 4 9 2 5 27 8 S 9 2或 27 2 S 20 第二种情况 当点 N 在 CE 边上时 由 EFN EOC 求解 当 1 t 9 4时和当 9 2 t 5 时 分别求出 S 的取值范围 当 1 t 9 4时 S t 6 2t 2 t 3 2 2 9 2 t 3 2在 1 t 9 4范围 内 27 8 S 9 2 3 当点 C 在 BO 上时 第一种情况 如答图 2 当点 M 在 CE 边上时 MF OC EMF ECO MFEF COEO 即 22 62t3t 解得 t 1 第二种情况 如答图 3 当点 N 在 DE 边时 NF PD EFN EPD PNEF PDEP 即 12 62t3 解得 t 9 4 当点 C 在 BO 的延长线上时 第一种情况 如答图 4 当点 M 在 DE 边上时 MF PD EMF EDP MEEF DPEP 即 22 62t3 解得 t 9 2 第二种情况 如答图 5 当点 N 在 CE 边上时 NF OC EFN EOC FNEF OCEO 即 12 62t3t 解得 t 5 综上所述 所有满足条件的 t 的值为 1 9 4 9 2 5 考点 1 双动点问题 2 平行四边形的判定 3 相似三角形的判定和性质 4 二次函 数的性质 5 分类思想的应用 2 2014 年广西北海卷 如图 1 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上的一个点 E 与 B C 两点不重合 过点 E 作射线 EP AE 在射线 EP 上截取线段 EF 使得 EF AE 过点 F 作 FG BC 交 BC 的延长线于点 G 1 求证 FG BE 2 连接 CF 如图 2 求证 CF 平分 DCG 3 当 BE3 BC4 时 求 sin CFE 的值 答案 1 证明见解析 2 证明见解析 3 2 10 解析 试题分析 1 根据同角的余角相等得到一对角相等 再由一对直角相等 且 AE EF 利用 AAS 得到三角形 ABE 与三角形 EFG 全等 利用全等三角形的对应边相等即可得证 2 由 1 得到 BC AB EG 利用等式的性质得到 BE CG 根据 FG BE 等量代价得 到 FG CG 即三角形 FCG 为等腰直角三角形 得到 FCG 45 即可得证 3 如答图 作 CH EF 于 H 则 EHC EGF 利用相似得比例 根据 BE 与 BC 的 比值 设出 BE EC 以及 EG FG 利用勾股定理表示出 EF CF 进而表示出 HC 在 直角三角形 HC 中 利用锐角三角函数定义即可求出 sin CFE 的值 试题解析 解 1 证明 EP AE AEB GEF 90 又 AEB BAE 90 GEF BAE 又 FG BC ABE EGF 90 在 ABE 与 EGF 中 ABEEGF BAEGEF AEEF ABE EGF AAS FG BE 2 证明 由 1 知 BC AB EG BC EC EG EC BE CG 又 FG BE FG CG 又 CGF 90 FCG 45 1 2 DCG CF 平分 DCG 考点 1 四边形综合题 2 正方形的性质 3 全等三角形的判定和性质 4 等腰直角 三角形的判定和性质 5 相似三角形的判定和性质 6 锐角三角函数定义 3 2014 年山东临沂中考数学 问题情境 如图 1 四边形 ABCD 是正方形 M 是 BC 边上的一点 E 是 CD 边的中点 AE 平分 DAM 探究展示 1 证明 AM AD MC 2 AM DE BM 是否成立 若成立 请给出证明 若不成立 请说明理由 拓展延伸 3 若四边形 ABCD 是长与宽不相等的矩形 其他条件不变 如图 2 探究展示 1 2 中的结论是否成立 请分别作出判断 不需要证明 答案 1 证明见解析 成立 证明见解析 3 结论 AM AD MC 仍然成立 结论 AM DE BM 不成立 试题解析 1 延长 AE BC 交于点 N 如图 1 1 四边形 ABCD 是正方形 AD BC DAE ENC AE 平分 DAM DAE MAE ENC MAE MA MN 在 ADE 和 NCE 中 CEDE NECAED CNEDAE ADE NCE AAS AD NC MA MN NC MC AD MC BF DE F AED AB DC AED BAE FAB EAD EAM AED BAE BAM EAM BAM FAB FAM F FAM AM FM AM FB BM DE BM 3 结论 AM AD MC 仍然成立 延长 AE BC 交于点 P 如图 2 1 四边形 ABCD 是矩形 AD BC DAE EPC AE 平分 DAM DAE MAE EPC MAE MA MP 在 ADE 和 PCE 中 CEDE PECAED CPEDAE ADE PCE AAS AD PC MA MP PC MC AD MC QAB EAD EAM AED BAE BAM EAM BAM QAB QAM Q QAM 考点 1 角平分线的定义 2 平行线的性质 3 全等三角形的判定与性质 4 矩形及 正方形的性质 4 2014 年辽宁阜新卷 已知 在矩形 ABCD 中 连接对角线 AC 将 ABC 绕点 B 顺 时针旋转 90 得到 EFG 并将它沿直线 AB 向左平移 直线 EG 与 BC 交于点 H 连接 AH CG 1 如图 当 AB BC 点 F 平移到线段 BA 上时 线段 AH CG 有怎样的数量关系和 位置关系 直接写出你的猜想 2 如图 当 AB BC 点 F 平移到线段 BA 的延长线上时 1 中的结论是否成立 请说明理由 3 如图 当 nBCAB 1 n 时 对矩形 ABCD 进行如已知同样的变换操作 线段 AH CG 有怎样的数量关系和位置关系 直接写出你的猜想 图 图 图 答案 1 AH CG AH CG 2 AH CG AH CG 理由见解析 3 AH