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平面向量数量积的物理背景及其含义 一 向量数量积的物理背景 在物理课中 我们学过功的概念 即如果一个物体在力的作用下产生位移 那么力所做的功 我们将功的运算类比到两个向量的一种运算 得到向量 数量积 的概念 二 向量与的数量积的概念 已知两个非零向量与 它们的夹角为 则我们把数量叫做与的数量积 或内积 记作 规定 零向量和任一向量的数量积为0 思考 cos 当0 90 时 为正 当90 180 时 为负 当 90 时 为零 cos 解 a b a b cos 5 4 cos120 5 4 1 2 10 例1已知 a 5 b 4 a与b的夹角 120 求a b b cos 叫向量b在a方向上的投影 为锐角时 b cos 0 为钝角时 b cos 0 为直角时 b cos 0 几何意义 几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 重要性质 特别地 四 数学运用 例1 注意 不能省略不写 也不能写为 数学中 a b 表示两个向量的向量积 或外积 a b表示数量而不表示向量 与实数a b不同 a b a b表示向量 3 在实数中 若a 0 且a b 0 则b 0 但是在数量积中 若a 0 且a b 0 不能推出b 0 因为其中cos 有可能为0 4 已知实数a b c b 0 则ab bc a c 但是a b b c不能得到a c 5 在实数中 有 a b c a b c 但是 a b c a b c 练习 判断下列说法是否正确 二 平面向量的数量积的运算律 数量积的运算律 注 则 a b c ON c OM MN c OM c MN c a c b c O N M a b b a c 向量a b a b在c上的射影的数量分别是OM MN ON 证明运算律 3 例3 求证 1 a b 2 a2 2a b b2 2 a b a b a2 b2 证明 1 a b 2 a b a b a b a a b b a a b a a b b b a2 2
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