高等数学(同济第六版) 第一章.绪论、第一节.ppt

绪论 数学是什么 蜂巢 由一个个正六边形组成 为什么 因为蜜蜂懂得 只有这样才能用最少的建筑材料营造最大的居住空间 一条柔软的绳子两端固定 使其自然下垂 这条绳子形成什么样的曲线 为什么 因为只有这样才能使绳子的总位能最小 从而使绳子最稳定 悬链线 光的传播 反射定律 折射定律 为什么 因为光懂得 只有这样才能使传播时的用时最少 数学是什么 1 上帝是按数学的法则创造世界的 数学的规律是宇宙格局的精髓 数学是开启宇宙奥妙之门的钥匙 2 数学是一种语言 是一切科学的共同语言伽利略 展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书 如不掌握数学符号语言 就像在黑暗的迷宫里游荡 什么也看不清 爱因斯坦在研究广义相对论时遇到了难题 他求助于研究数学的朋友格洛斯曼 后者将黎曼关于弯曲空间的研究工作告诉了他 才使广义相对论的研究得以继续 3 数学是一种工具 一种思维的工具诺贝尔化学奖获得者哈特曼的晶体结构研究 哈特曼在获得诺贝尔奖后说过 其实我这一生只学过一门化学 那就是大学一年级时所学的的化学 然而哈特曼却用数学解决了困扰许多化学家40多年的难题 诺贝尔经济学奖获得者阿洛的一般均衡模型 哈佛大学的一位数学教授看了阿洛的论文后说 他用的数学很基本 我们哈佛一年级的学生就能完成 然而阿洛用的是什么样的数学这一点并不重要 重要的是他将数学与经济学成功的相结合 用数学建立了重要的经济学模型 从公元前3世纪Euclid的 几何原本 起到17世纪 称为初等数学时期 又称常量数学时期 主要研究对象 1 匀速的运动 速度不变 2 匀加速的运动 速度均匀变化 3 直边图形 不弯曲 4 圆弧边图形 均匀弯曲 5 有限次四则运算 两大分支 1 几何学 2 代数学 二 什么是高等数学 变量数学和近代数学时期 伟大功绩 实现了几何与代数间的一一对应 1 点 几何基本元素 与有序数组 代数基本元素 静态对应 2 动点的轨迹 几何基本元素 与二元方程 代数基本元素 动态对应 法国数学家Descartes引进了直角坐标系 Newton和Leibniz各自独立的创造了微积分 Newton应用微积分的方法证明了 的一一对应 的一一对应 Kepler行星运动三定律 1 行星以椭圆轨道绕太阳旋转 太阳在椭圆的一个焦点上 2 在相同的时间里 行星的向径扫过相同的面积 3 行星公转周期的平方与椭圆轨道长半轴的立方比是常数 Newton进一步指出 这些定律是能量守恒 角动能守恒的具体表现形式 Leibniz德国数学家 实现了微积分内容与形式的完美统一 微积分的方法迅速的在天文学 力学 物理学和工程技术中被广泛应用 高等数学 以微积分为主要内容的学科 微分学 积分学 无穷级数 微分方程 一元函数微分学 多元函数微分学 一元函数积分学 多元函数积分学 高等数学 空间解析几何与向量代数 同济版的教材的基本结构 微积分的基本方法 微元分析法 例1Galileo通过实验确立了 自由落体运动规律 问 在时刻t时 落体的速度v t 是什么 时间 路程 三 微积分的基本思想和方法 速度 非匀速问题 匀速问题 近似解 平均速度 例2计算由y 0 x 1 所围成的曲边形的面积 将区间 0 1 n等分 用小矩形面积之和代替曲边形的面积 曲边问题 直边问题 近似解 极限概念是微积分的 源 先直观上认识一下极限 数列极限的直观定义 若当n无限增大时 数列xn对应的项无限接近于常数a 则称常数a为数列xn的极限 记为 其中p为大于零的常数 其中C为常数 其中q为常数 q 1 数列极限的四则运算法则 定理若极限与都存在 则 4 当时 3 当C为常数时 求下列数列的极限 作业 1 求下列数列的极限 q为常数 且 q 1 2 证明两个奇函数的乘积是偶函数 一 集合 1 集合 具有某种特定性质的事物的总体 组成这个集合的事物称为该集合的元素 第一章函数与极限 第一节映射与函数 记为 集合表示 M x x所具的特征 2 邻域 设a与 是两个实数 且 0 数集称为点a的 邻域 记为 称a为邻域中心 为邻域半径 点a的去心邻域 记作 二 映射 定义1 设X Y是两个非空集合 若存在一个法则f 使对X中每个元素x 按法则f 在Y中有唯一确定的元素y与之对应 则称f为从X到Y的映射 记作f X Y记 Df X Rf f X f x x X 其中y称为元素x在影射f下的像 构成影射的要素 1 定义域 2 对应的唯一性 例1设 定义2 设f是从X到Y的映射 则称f为满射 若对X中任意两个不同的元素 则称f为单射 若f既为单射又为满射 则称f为一一映射 双射 定义3 设f是从X到Y的单射 若对每一个y Rf 有唯一的x X 满足f x y 按此法则定义了一个Rf到X的映射g g Rf X称为f的逆映射 记为 例2设 三 函数 1 函数概念 定义设数集D 则称映射f D R为定义在D上的函数 记作y f x x D 如 1 y x 5 2 x y 5对应法则 5 1 符号函数 几个特殊的函数举例 2 取整函数 阶梯曲线 y x x 表示不超过x的最大整数 3 狄利克雷函数 当x 0时 当x 0时 2 函数的几种特性 1 函数的有界性 设函数f x 的定义域为D 定义 则称函数f x 在X上有界 否则称无界 则称函数f x 在X上有上界 有下界 函数f x 在X上有界的充要条件是 f x 在X上既有上界又有下界 例3证明 有界 证 有界 2 函数的单调性 设函数f x 的定义域为D 区间 若对区间I上的任意两点x1与x2 当x1 x2时 恒有f x1 f x2 称y f x 在区间I上是单调增加的 减少 3 函数的奇偶性 4 函数的周期性 例4证明 定义在R上的任意函数 都可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和 证 奇函数 偶函数 3 反函数与复合函数 1 反函数 定义 设函数y f x x X 若对 存在唯一的x X 使y f x 成立 则在f X 中 定义了一个函数 称为y f x 的反函数 例5求 的反函数 解 反函数 记 称为双曲正弦函数 记 称为反双曲正弦函数 定理1设函数y f x 在X上单调增 减 则设y f x 必存在反函数 且它在f X 上也是单调增 减 2 复合函数 定义 函数u g x 设函数y f u 的定义域为 的定义域为D 则称函数y f g x 为由函数y f u 和u g x 构成的复合函数 若存在 定义域 1 1 例6 解 当x 0时 当时 当时 综上所述 三 初等函数 1 幂函数 2 指数函数 3 对数函数 4 三角函数 常用公式 平方公式 倍角公式 半角公式 积化和差公式 5 反三角函数 定义域 1 1 值域 单增函数 奇函数 反正弦函数 如 若 则 反余弦函数 定义域 1 1 值域 单减函数 定义域 值域 单增函数 奇函数 反正切函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 由常数和基本初等函数 经过有限次四则运算