Lebesgue积分的定义与性质.ppt

Lebesgue积分的定义与性质 目的 了解Lebesgue积分的科学意义 熟练掌握Lebesgue积分的定义及其基本性质 重点与难点 Lebesgue积分的引入及其性质 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 基本内容 一 Lebesgue积分的定义问题1 分析Riemann积分的缺陷 我们应如何定义可测函数的积分 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 到目前为此 一切准备工作就绪 我们可以来定义Lebesgue积分了 定义Lebesgue积分的方法有多种 其一是利用简单函数来定义 根据上一章 对E上任一非负可测函数f 可以找到一列单调递增的简单函数 使得 而对每个简单函数 若 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 则可自然定义的积分为 若此和式极限存在 则可定义该极限为f的积分 最后再过渡到一般的可测函数 第二种方法是如引言所说 找一串 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 序列 使记 讨论和式极限是否存在 还有一种办法 就是对E作任意划分 记 然后象Riemann积分那样作对应于该划分的小 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 和数与大和数 讨论相对于划分的加细 其大和数与小和数的极限是否相等 本章将采用第二种做法 定义1设是测度有限的可测集 f是定义在E上的有界可测函数 即存在 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 使若D 是的任一分点组 则记对任意 作和式 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 称S D 为f对应分点组D的一个 和数 如果存在常数A 使得对任意总有当任意分点组D满足时换言之 则称f在E上是Lebesgue可积的 并称A为f在E上的 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 Lebesgue积分 记作有时为简便起见 也记 若 则记当是Riemann可积函数时 其Riemann积分仍沿用数学分析中的写法 记作 后面将会看 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 到 当Riemann可积时 必有 由此可见Lebesgue积分确是Riemann积分的推广 对的任意分点组D 可作两个特殊的和数为 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 称 分别为f对应分点组D的 大和数 与 小和数 显然对于f的任一和数 有由此可见 极限存在当且仅当 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 都存在且相等 正如Riemann积分一样 人们可能会问 什么样的可测函数是Lebesgue可积的呢 下面的定理说明 任一有界可测函数都是Lebesgue可积的 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 2 有界可测函数的积分 定理1设是测度有限的可测集 f是E上的有界可测函数 则f在E上Lebesgue可积 证明 记S是相对于所有分点组D的 小和 的上确界 是相对于所有分点组的 大 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 和 的下确界 即 往证 首先证明 设是两个任意的分点组 则 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 将D与D合并起来构成一个新的分点组 记为可以看成分点组D中又加进了一些分点 称为D的一个 加细 假设对任意与之间加入了某些分点即于是 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 类似地 于是这说明 相对于任一分点组D的加细 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 大和 不增 小和 不减 且中任一数不超过中任一数 从而 再证 设D为任意的分点组 则由于故 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 令时 则进而 最后 令 往证注意到 故 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 由此可见所以 即f有E上Lebesgue可积 证毕 3 例例设 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 在 0 1 上Lebesgue可积 且事实上 对于任一分点组 若则 且对任意 有 而对其它的分点总有所以 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 令立得不难看出 在 0 1 上不是riemann可积的 所以 Lebesgue可积函数类比Riemann可积函数类要广 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 二 Lebesgue积分的性质问题2 回忆Riemann积分的性质 由此猜测Lebesgue积分应具有什么性质 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 定理2设都是E上的有界可测函数 则 i 对任意证明 从积分定义立知 i 是显然的 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 ii 若E1 Em是E的可测子集 则 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 证明 只需就m 2情形证之 一般情形完全类似可证 设是任意正数 D 是任一分点组 使得 记 则令 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 则分别构成E1与E2的一个划分 从而 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 由的任意性知反之 由于 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 且由的任意性得 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 综上 ii 得证 证明 设 对任意 分别取中分点组D 使得令 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 则是互不相交的有限个可测集 且 于是由 ii 知 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 所以再由的任意性得另一方面 由Lebesgue积分定义及互不相交易知 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 故再由 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 得仍由的任意性得 第16讲Lebesgue积分的定义与性质 所以证毕