物理竞赛-力学复习.ppt

1 二 质点的角动量 质点系的角动量定理 质点系的角动守恒定律 则 质点系的角动量 2 已知桌面光滑 其它条件如图所示 当运动半径变为0 10m时 试求 如果这时放开绳子 小球将如何运动 解 因角动量守恒 3 注意 利用变力做功也可计算 放开绳子时 小球将沿切线方向飞出 4 1961年4月12日 前苏联的加加林成为第一个宇航员 当时所采用的卫星 宇宙飞船的质量为近地点P和远地点A的高度分别为和 试求卫星通过海拔为z时的速度v与地球质量M 地球半径R 引力常数G之间的函数关系 解 椐题意作示意图如下 因为卫星在有心力场中运动 所以其机械能 角动量均守恒 5 联立 1 2 3 可得 6 由方程的对称性可知另一解为 7 解 例3 如图所示 一飞船质量为3000kg 在环绕地球的圆形轨道运动 轨道半径为地球半径的3倍 现在利用双切轨道方案 使飞船经半椭圆轨道转换到半径为13的圆周轨道上 试问 1 这种转换所需要的最小能量消耗是多少 2 在两个交点处的速度需要改变多少 已知地球质量为 半径为 万有引力常数 8 但在轨道转换中宇宙飞船的速率却减小了2 4km s 9 例4 设想有两个自由质点 其质量分别为m1和m2 它们之间的相互作用符合万有引力定律 开始时 两质点间的距离为l 它们都处于静止状态 试求当它们的距离变为时 两质点的速度各为多少 解 两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时 系统的动量和机械能均守恒 设两质点的间距变为l 2时 它们的速度分别为v1及v2 则有 10 例5 质量为mA的粒子A受到另一重粒子B的万有引力作用 B保持在原点不动 起初 当A离B很远 r 时 A具有速度 方向沿图中所示直线Aa B与这直线的垂直距离为D 粒子A由于粒子B的作用而偏离原来的路线 沿着图中所示的轨道运动 已知这轨道与B之间的最短距离为d 求B的质量mB 解 A对B所在点的角动量守恒 设粒子A到达距B最短距离为d时的速度为v 11 A B系统机械能守恒 A在很远处时 引力势能为零 12 距转轴r处质元的线量与角量关系 转动惯量 平行轴定理 刚体定轴转动定律 定轴转动的动能定理 第三部分 刚体力学 1 刚体的定轴转动 13 刚体的重力势能 式中为质心相对参考点的高度 机械能守恒定律 刚体对轴的角动量 刚体的角动量定理 14 2 刚体的平面平行运动 刚体的平面平行运动运动学 15 刚体的平面平行运动可以分解为刚体的平动和定轴 基轴 转动 平动速度依赖于基点的选择 转动角速度与基点选则无关 16 则P称为瞬心 刚体的平面平行运动可以分解为刚体质心的平动和绕质心的定轴转动 17 圆柱体作纯滚动的条件 18 刚体的质心 由于刚体是一个特殊的质点系 刚体的质心相对刚体的位置不变 质点系有关的结论在研究刚体时均适用 刚体的动量 质心运动定理和动量守恒定律 19 刚体平面平行运动动力学 平面平行运动 质心的运动 绕过质心轴的转动 刚体平面运动的动能 圆柱 圆盘 球体做纯滚动的条件 刚体作平面平行运动平衡方程 在xoy 平面内运动 20 例题1 装置如图所示 绳的上端绕在圆柱上 下端系一重物 质量为m 重物自然下垂 由静止开始下落 并带动圆柱自由转动 求重物降落高度为h时的速率v 已知圆柱的质量为M 半径为R 绳子的质量不计且不可伸长 解 1 2 法二 21 例题2 习题集p12题2 如图所示 一质量为m 半径为R的均匀圆柱体 平放在桌面上 若它与桌面间的滑动摩擦系数为 在t 0时 使圆柱体获得一个绕轴旋转的角速度 求到圆柱体停止转动所需时间t为多少 22 匀减速转动 23 例题3 如图 一矩形匀质薄板ABCD 长为l 宽为d 质量为m 板绕竖直轴AB以初角速度转动 阻力与薄板表面垂直并与面积及速度的平方成正比 比例系数为k 问经过多少时间后 薄板的角速度减为初角速度的一半 解 这是定轴转动问题 利用定轴转动定律求解 如图 取面元 受阻力 对轴的阻力矩 所有对轴的阻力矩 24 面密度 板对轴的转动惯量 由定轴转动定律 即 解得 25 习题册p14题3 长为L的均匀细杆可绕过端点O的固定水平光滑轴转动 把杆抬平后无初速地释放 杆摆至竖直位置时 刚好和光滑水平桌面上的小球m相碰 如图所示 球的质量和杆相同 设碰撞是弹性的 求碰后小球获得的速度 0 解 机械能守恒 碰撞 角动量守恒 机械能守恒 解得 1 2 3 26 对于 2 式 也可从如下得到 设碰撞时间为 对小球由质点的动量定理 对棒由角动量定理 0 27 例题5 一质量为 长为的均质细杆 放置在光滑的水平桌面上 一质量为的小球以速度沿桌面垂直地撞击在细杆的一端 如图 设碰撞是完全弹性的 求碰后小球和杆的运动情况 解 设碰撞后小球速度为杆的质心的速度为杆绕质心的角速度为 动量守恒 绕质心角动量守恒 动能守恒 28 解 对刚体受力如图 设刚体的角加速度为 刚体切向加速度为 29 3 解得 要使轴对刚体的切向力为0 即 这个结果可应用各种刚体 30 解 受力分析如图 例题7 如图所示 质量为m 半径为R的均匀圆柱体 沿倾角为 的粗糙斜面 自静止开始无滑下滚 纯滚 求静摩擦力 质心加速度 以及保证圆柱作无滑滚动所需的最小摩擦系数 绕质心转动 A点为瞬心 要保证无滑滚动 31 解 1 分析如图 1 2 3 4 例题8 在水平地面上放置一质量为的线轴 内径为 外径为 其绕中心轴转动惯量为线轴和地面间的静摩擦系数为 线轴受一水平拉力F 如图 1 使线轴在地面上保持无滑滚动之F最大值是多少 2 若F和水平方向成试证明 当时线轴向前滚动 当时线轴向后滚动 32 当力的作用线通过接触线时 线轴的重力 地面的弹力和摩擦力 拉力对接触线的合外力矩为零 此时线轴不滚动 当力的作用线不通过接触线时 线轴的重力 地面的弹力和摩擦力 拉力对接触线的合外力矩不为零 此时线轴向前或向后滚动 2 证明 考虑线轴从静止状态开始运动的瞬间 我们可以把线轴的运动看作是以接触线为轴的转动 用图形分析如下 33 解 3 例题9 如图所示 将一根质量为的长杆用细绳从两端水平挂起 其中一根绳子突然断开 此时另一根绳子内的张力为多少 34 例题10 一架均匀的梯子 重为W 长为 上端靠于光滑的墙上 下端置于粗糙的地面上 梯子与地面的摩擦系数为 有一体重为的人攀登距梯子下端的地方 如图 求梯子滑动的条件 解 设梯子不滑动 它与地面的夹角为 受力分析如图 平衡 1 2 力矩的参考点选C点如图 3 35 梯子不滑动的条件 1 对于一定的 角 人所能攀登的高度为 角愈大 愈大 允许人攀登的愈高 2 对于一定的 则要求梯子的倾角 愈小允许 愈小 愈大允许 愈小 36 解 开始时p点速度 乒乓球