直线与圆的综合.doc

第7讲 直线与圆综合题直线与圆的位置关系是高考常考的知识内容. 对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题(如类似阿氏圆一类问题)，体现用代数方法研究几何问题的思想.对这类问题的考查,一般会涉及弦长、距离的计算、圆的切线及与点（直线、圆）的位置关系判定问题等，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键. 同时直线与圆的综合问题还可能会考查轨迹问题（隐形圆）、与直线、圆有关的定点定值及与圆有关的最值问题等次类问题综合性较强，除了几何问题代数化，有时通过准确作图，充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识也能使问题较为简捷地得到解决【自主热身、归纳提炼】1. 在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为 解析 圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22.2. 若直线与圆始终有公共点，则实数的取值范围是 解 因为，所以由题意得：,化简得即0m10.3. （2017南京）在平面直角坐标系xOy中，若直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)216相交于A，B两点，且ABC为直角三角形，则实数a的值是 解析 圆心C（1，a），半径r=4，因为ABC为直角三角形，所以圆心C到直线AB的距离d=，即d=，解得a=-14. 在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线 (R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 解析 由直线mxy2m10得m(x2)(y1)0，故直线过点(2，1)当切线与过(1，0)，(2，1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r，故所求圆的标准方程为(x1)2y22.5.（2017苏北四市）已知是圆上的动点，是圆上的动点，则的取值范围为_ 解析 将问题特殊化，所求问题与两圆的具体位置无关，只与其相对位置有关，故问题可转化为圆与中相应问题，这样易于解决.C1PyBAC2/x如图，当轴，且 与点位于较近一侧时，取得最小值，此时，.同理，求得.所以的取值范围为.或设设AB的中点为M，求两圆上的两点间距离的范围）【典例探究、形成方法】直线与圆相交中的面积问题例1（动直线） 动直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取得最大值时，的值为_ 解析1 易得直线过定点，曲线表示圆的上半圆，当时，的面积取得最大值，如图作，在中，则，又在中，所以，则，故答案为.变式1 （动圆）（2017苏大信息卷）已知直线：，圆C：，过原点的直线与直线垂直，与圆C交于M，N两点，则当CMN的面积最大时，圆心C的坐标为 解析 圆C：，直线，当CMCN时，CMN的面积最大，此时C到l1 的距离为，则，圆心C（，）变式2(动直线+动圆）在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为_解析 圆的标准方程为，则圆心，半径，当ACB90时取最大值，此时ABC为等腰直角三角形，则到距离=4，所以，即，所以，即，解得或，因为点在圆内，所以，即，即.定点、定值及恒成立问题例2 (点动-两点间距离变-距离之比不变） 已知圆，点在x轴上存在定点(不同于点)，满足：对于圆 上任一点，AyBxOP都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.解析 法1 假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；当为圆与轴右交点时，依题意，解得，（舍去），或 下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数设，则， ， 从而为常数 方法2 假设存在这样的点，使得为常数，则，将代入得，即对恒成立， 解得或（舍去），所以存在点圆上任一点，都有为常数.变式1 （线动-弦长变-弦长比值不变）在平面直角坐标系中，已知圆，圆与圆相交，圆心为，且圆上的点与圆上的点之间的最大距离为（1）求圆的标准方程；（2）过定点作动直线与圆，圆都相交，且直线被圆，圆截得的弦长分别为，.若与的比值总等于同一常数，求点的坐标及的值.解析（1）由题设得圆O1的半径为4，所以圆O1的标准方程为(x9)2y216.（2）当直线l的斜率存在时，设直线l为ybk(xa)，即ykxkab0.则O、O1到直线l的距离分别为h，h1，从而d2，d12，由，得64216，整理得64a21622(a9)2k22ba2(a9)k64b22(16b2)0.由题意，上式对于任意实数k恒成立，所以64a21622(a9)20，2ba2(a9)0，64b22(16b2)0，由2ba2(a9)0，得b0或a2(a9)0. 如果b0，则641620，解得2(舍去负值)从而a6或18.所以2，点P(6，0)或P(18，0) 如果a2(a9)0，显然a9不满足，从而2，所以3a243a1920.但43243192455r2对m0,1成立，即r2.故C的半径r的取值范围为，)法2 【巩固训练 提升能力】1. 若是圆的弦，的中点是,则直线的方程是_解析 设圆的圆心为，的中点是，则，所以，所以，所以直线的方程为，整理得.2. 若直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值是_解析 由题意知，圆心到直线的距离，所以.3. 在平面直角坐标系xOy中,过点M(1,0)的直线l与圆x2+y2=5交于A,B两点,其中点A在第一象限,且BM=2MA,则直线l的方程为4. 已知，若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是_解析 因为圆心为O（0，0），半径R=1设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有,所以圆心O到直线的距离，即1+k22，解得k1或k-1.5. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且ABC为等边三角形，则实数_解析 由题设圆心到直线的距离为，得解得：.6. 圆C：x2(y2)2R2(R0)上恰好存在2个点，它到直线yx2上的距离为1，则R的取值范围为 1R37. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆相切于点，与圆相交于点，且，则正数a的值为_解析 由题意得，又，所以圆圆心到直线距离为，从而，因此正数的值为48.（2017南京二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1:kxy20与直线l2:xky20相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线xy40的距离的最大值为 中/华-资*源%解析 两条直线分别过定点A，B，且两条直线互相垂直，交点为P，则点P在以AB为直径的圆上，圆方程为，圆心到直线的距离，那么点P到直线的距离的最大值为.9（2017扬州二模）在平面直角坐标系中，已知圆，圆若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是_解析 由圆心在轴上，故设圆的方程为，若圆平分圆的圆周，则圆与圆的公共弦过，所以，同理可得：，解得，a=0，r=9. 则圆的方程是10. 已知，且，若点满足，则的取值范围是_ 解析 且，则,以为领边构造菱形，于是，得，则，故点的轨迹为以点为圆心，半径为1的圆，于是意味着圆外一点到圆上一点的距离范围，即.11. 已知是边长为的等边三角形，点是以为圆心的单位圆上一动点，点满足，则BQ的最小值是_解析 以点为坐标原点，为轴正半轴，使得落在第一象限，建立平面直角坐标系设,则由得：故点的轨迹是为圆心，为半径的圆,又，所以BQ的最小值是12. 若动点P在直线上，动点Q在直线上，设线段PQ的中点为M，且，则的取值范围是 .解析 点轨迹是直线；同时满足,所以满足条件的点在定线段上所求表示线段上的点到原点距离最值得平方用代入条件得到，代入目标消元得，利用二次函数求得 8，1613. 在平面直角坐标系中，已知,若在以点为圆心，为半径的圆上存在不同的两点,使得，则的取值范围为_解析 设点到直线AB距离为则由题意得,其中M为AB中点，因此，.（答案有误）14.（2017江苏高考）在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是_解析 设，由，易得，由，可得或，由得点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点横坐标的取值范围为. （化归思想、点线距问题）15. 已知圆M：x2(y2)21，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切圆M于A、B两点（1）如果AB，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的最小值解析（1）设Q(q，0)，因为M(0，2)，所以MQ，而MAr1，从而在RtAMQ中，AQ.又由题意和对称性可得，RtAMQ斜边MQ边上的高为hAB.由等面积法得，解得q，所以Q(，0)，所以直线MQ的方程为2xy20或2xy20.（2）由（1）知，利用等面积法得AB,AB，从而当q0时，动弦AB取到最小值.16. （2017年丹阳市高二期末测试题）在平面直角坐标系中,已知圆,圆与圆相交,圆心为,且圆上的点与圆上的点之间的最大距离为20.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于两点,当的面积最大时,求直线的方程；（3）若点是圆上任意一点,试问在轴上是否存在一点,使得,若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由.【解答】(1)圆的方程为. （2）法1：设直线的方程为,由此时仅当时,最大值为8. 所以为等腰直角三角形,故圆心到直线的距离,即,解得, 所以直线的方程为. 法2：设圆心到直线的距离为,则 当仅当,即时,的面积最大值为.（以下解法同法一,略）注:若设直线的斜率为,利用弦长公式,面积采用公式二分之一底乘高,再用表示面积后,转化为函数最值问题,则相应给分；若没有讨论斜率是否存在,则扣1分.（3）假设存在定点满足题意,设,则满足,即. 由,则, 则,即化简得, 则问题转化为式对满足条件的点恒成立,则必有成立,解得： 综上,存在点满足圆上任意一点,使得成立. 注:直接求出点的轨迹，指出与圆为同一圆，再求出的值也不扣分 【说明】本题是原创题,难度中档偏上,考点是圆、直线与圆.考查了求圆的方程、直线与圆相交问题、阿波罗尼斯圆以及圆中定点,定值恒成立等问题,考查了学生分析问题和解决问题的能力.17. 如图4，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；图4才（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长 证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由 解析（1）设直线的方程为，即 因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，所以圆心到：的距离为 化简，得，解得或 所以直线的方程为或（2）证明：设圆心，由题意，得，即化简得，即动圆圆心C在定直线上运动 圆过定点，设，则动圆C的半径为于是动圆C的方程为整理，得由得或所以定点的坐标为，18. 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围（划归为圆与圆的位置关系）解析 圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5,.（1）由圆心在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，所以，于是圆N的半径为，从而，解得.因此，圆N的标准方程