怎样学好高中数学对数与对数函数

第 6 讲对数与对数函数 学生用书 P32 1 对数的概念 如果 ax N a 0 且 a 1 那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数 记作 x logaN 2 对数的性质与运算法则 1 对数的性质 loga1 0 logaa 1 2 对数恒等式 alogaN N 其中 a 0 且 a 1 3 对数的换底公式 logbN logaN logab a b 均大于零且不等于 1 N 0 4 对数的运算法则 如果 a 0 且 a 1 M 0 N 0 那么 loga MN logaM logaN logaM N log aM logaN logaMn nlogaM n R 3 对数函数的图象与性质 a 10 a1 时 y 0当 x 1 时 y 0 当 0 x 1 时 y 0当 0 x0 在 0 上是增函数在 0 上是减函数 4 反函数 指数函数 y ax与对数函数 y logax 互为反函数 它们的图象关于直线 y x 对称 1 辨明三个易误点 1 在运算性质中 要特别注意条件 底数和真数均大于 0 底数不等于 1 2 对公式要熟记 防止混用 3 对数函数的单调性 最值与底数 a 有关 解题时要按 0 a1 分类讨论 否则 易出错 2 对数函数图象的两个基本点 1 当 a 1 时 对数函数的图象 上升 当 0 a0 且 a 1 的图象过定点 1 0 且过点 a 1 1 a 1 函数 图象只在第一 四象限 3 换底公式及其推论 1 logab logcb logca a c 均大于 0 且不等于 1 b 0 2 logab logba 1 即 logab 1 logba a b 均大于 0 且不等于 1 3 logambn n mlog ab a 0 且 a 1 b 0 m 0 n R 4 logab logbc logcd logad a b c 均大于 0 且不等于 1 d 0 1 函数 y xln 1 x 的定义域为 A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 0 1 B 解析 因为 y xln 1 x 所以 x 0 1 x 0 解得 0 x 1 2 教材习题改编 log29 log34 A 1 4 B 1 2 C 2D 4 D 解析 原式 ln 9 ln 2 ln 4 ln 3 4 3 函数 f x log 1 2 x2 4 的单调递增区间为 A 0 B 0 C 2 D 2 D 解析 设 t x2 4 因为 y log 1 2 t 在定义域上是减函数 所以求原函数的单调递 增区间 即求函数 t x2 4 的单调递减区间 结合函数的定义域 可知所求区间为 2 4 2015 高考安徽卷 lg5 2 2lg 2 1 2 1 解析 lg5 2 2lg 2 1 2 1 lg 5 lg 2 2lg 2 2 lg 5 lg 2 2 1 2 1 答案 1 5 教材习题改编函数 y loga 4 x 1 a 0 且 a 1 的图象恒过点 解析 当 4 x 1 即 x 3 时 y loga1 1 1 所以函数的图象恒过点 3 1 答案 3 1 对数式的化简与求值 学生用书 P33 典例引领 计算下列各式 1 lg 25 lg 2 lg 50 lg 2 2 2 log32 log92 log43 log83 解 1 原式 lg 2 2 1 lg 5 lg 2 lg 52 lg 2 lg 5 1 lg 2 2lg 5 1 1 lg 2 2lg 5 2 lg 2 lg 5 2 2 原式 lg 2 lg 3 lg 2 lg 9 lg 3 lg 4 lg 3 lg 8 lg 2 lg 3 lg 2 2lg 3 lg 3 2lg 2 lg 3 3lg 2 3lg 2 2lg 3 5lg 3 6lg 2 5 4 计算下列各式 1 lg 14 2lg7 3 lg 7 lg 18 2 lg 27 lg 8 3lg 10 lg 1 2 解 1 原式 lg 2 7 2 lg 7 lg 3 lg 7 lg 32 2 lg 2 lg 7 2lg 7 2lg 3 lg 7 2lg 3 lg 2 0 2 原式 lg 33 1 2 lg 23 3lg 10 1 2 lg3 2 2 10 3 2lg 3 3lg 2 3 2lg 10 lg 3 2lg 2 1 3 2 lg 3 2lg 2 1 lg 3 2lg 2 1 3 2 对数函数的图象及应用 学生用书 P34 典例引领 1 函数 y 2log4 1 x 的图象大致是 2 若不等式 x 1 2 logax 在 x 1 2 内恒成立 则实数 a 的取值范围为 解析 1 函数 y 2log4 1 x 的定义域为 1 排除 A B 又函数 y 2log4 1 x 在定义域内单调递减 排除 D 2 设 f1 x x 1 2 f2 x logax 要使当 x 1 2 时 不等式 x 1 2 logax 恒成立 只 需 f1 x x 1 2在 1 2 上的图象在 f2 x logax 图象的下方即可 当 0 a1 时 如图所示 要使 x 1 2 时 f1 x x 1 2的图象在 f2 x logax 的图象下方 只需 f1 2 f2 2 即 2 1 2 loga2 loga2 1 所以 1 a 2 即实数 a 的取值范围是 1 2 答案 1 C 2 1 2 若本例 2 变为 已知不等式 x2 logax 0 在 x 0 1 2 内恒成立 求实数 a 的取值范围 解 由 x2 logax 0 得 x2 logax 设 f x x2 g x logax 由题意知 当 x 0 1 2 时 函数 f x 的图象在函数 g x 的图象的下方 如图 可知 0 a 1 f 1 2 g 1 2 即 0 a 1 1 2 2 loga1 2 解得 1 16 a0 a 1 的图象如图所 示 则下列结论成立的是 A a 1 c 1 B a 1 0 c 1 C 0 a1 D 0 a 1 0 c 1 D 解析 由对数函数的性质得 0 a0 时是由 函数 y logax 的图象向左平移 c 个单位得到的 所以根据题中图象可知 0 c0 且 a 1 的图象过两点 1 0 和 0 1 则 logba 解析 f x 的图象过两点 1 0 和 0 1 则 f 1 loga 1 b 0 且 f 0 loga 0 b 1 所以 b 1 1 b a 即 b 2 a 2 所以 logba 1 答案 1 对数函数的性质及应用 高频考点 学生用书 P34 对数函数的性质是每年高考的必考内容之一 多以选择题或填空题的形式考查 难度低 中 高档都有 高考对对数函数性质的考查主要有以下四个命题角度 1 求对数函数的定义域 2 解简单的对数不等式或方程 3 比较对数值的大小 4 探究对数函数的性质 典例引领 1 2016 高考全国卷乙 若 a b 0 0 c 1 则 A logac logbcB logca logcb C accb 2 2017 福建省毕业班质量检测 函数 f x lnx e x e x 2 则 f x 是 A 奇函数 且在 0 上单调递减 B 奇函数 且在 0 上单调递增 C 偶函数 且在 0 上单调递减 D 偶函数 且在 0 上单调递增 3 设 f x loga 1 x loga 3 x a 0 且 a 1 且 f 1 2 则 f x 在区间 0 3 2 上的最 大值是 解析 1 法一 因为 0 c 1 所以 y logcx 在 0 单调递减 又 0 b a 所以 logca logcb 故选 B 法二 取 a 4 b 2 c 1 2 则 log 41 2 1 2 log 21 2 排除 A 4 1 2 2 2 1 2 排除 C 1 2 4 1 2 2 排除 D 故选 B 2 要使函数 f x ln x ex e x 2 有意义 只需x e x e x 2 0 所以x e 2x 1 2ex 0 解 得x 0或x 0 所以函数f x 的定义域为 0 0 因为f x ln x e x ex 2 lnx e x e x 2 f x 所以函数 f x 是偶函数 排除 A B 因为 f 1 lne e 1 2 f 2 ln e2 e 2 所以 f 1 0 log1 3 4x 5 0 所以 0 4x 5 1 5 40 则方程 f x 1 2的解集为 A 1 2 B 2 2 2 C 1 D 1 2 2 2 D 解析 当 x 0 时 2x 1 2 x 1 当 0 x1 时 log2x 1 2 x 2 故所求解集为 1 2 2 2 角度三比较对数值的大小 3 2017 石家庄市第一次模考 已知函数 y f x 的图象关于直线 x 0 对称 当 x 0 时 f x log2x 若 a f 3 b f 1 4 c f 2 则 a b c 的大小关系是 A a b cB b a c C c a bD a c b D 解析 由函数 y f x 的图象关于 x 0 对称 得 y f x 是偶函数 当 x 0 时 f x log2x 单调递增 又 a f 3 f 3 所以 a c b 选项 D 正确 角度四探究对数函数的性质 4 2017 湖南省东部六校联考 函数 y lg x A 是偶函数 在区间 0 上单调递增 B 是偶函数 在区间 0 上单调递减 C 是奇函数 在区间 0 上单调递增 D 是奇函数 在区间 0 上单调递减 B 解析 因为 lg x lg x 所以函数 y lg x 为偶函数 又函数 y lg x 在区间 0 上单调递增 由其图象关于 y 轴对称可得 y lg x 在区间 0 上单调递减 故选 B 5 2015 高考天津卷 已知 a 0 b 0 ab 8 则当 a 的值为 时 log2a log2 2b 取得最大值 解析 由于 a 0 b 0 ab 8 所以 b 8 a 所以 log2a log2 2b log2a log2 16 a log2a 4 log2a log2a 2 2 4 当且仅当 log2a 2 即 a 4 时 log2a log2 2b 取得最大值 4 答案 4 学生用书 P35 忽视函数的定义域致误 2017 黄冈模拟 若函数 f x log 1 2 x2 4x 5 在区间 3m 2 m 2 内单调递 增 则实数 m 的取值范围为 A 4 3 3B 4 3 2 C 4 3 2D 4 3 解析 先保证对数有意义 即 x2 4x 5 0 解得 1 x 5 又可得二次函数 y x2 4x 5 的对称轴为 x 4 2 1 2 由复合函数单调性可得函数 f x log 1 2 x2 4x 5 的单调递增区间为 2 5 要使函数 f x log 1 2 x2 4x 5 在区间 3m 2 m 2 内单调递增 只需 3m 2 2 m 2 5 3m 2 m 2 解得4 3 m 2 故选 C 答案 C 本题易忽视函数 f x log 1 2 x2 4x 5 的定义域 而误认为函数 y x2 4x 5 的对称轴 x 2 在区间 3m 2 m 2 的左侧即可 从而导致解答错误 若 f x lg x2 2ax 1 a 在区间 1 上递减 求 a 的取值范围 解 令函数 g x x2 2ax 1 a x a 2 1 a a2 对称轴为 x a 要使函数在 1 上递减 则有 g 1 0 a 1 即 2 a 0 a 1 解得 1 a0 1 2x 0 即 3 x0 且 a 1 的反函数 且 f 2 1 则 f x A log2xB 1 2x C log 1 2 xD 2x 2 A 解析 由题意知 f x logax 因为 f 2 1 所以 loga2 1 所以 a 2 所以 f x log2x 3 若函数 f x ax 1的图象经过点 4 2 则函数 g x loga 1 x 1的图象是 D 解析 由题意可知 f 4 2 即 a3 2 a 32 所以 g x log32 1 x 1 log 3 2 x 1 由于 g 0 0 且 g x 在定义域上是减函数 故排除 A B C 4 2017 莱芜模拟 已知 a log23 log23 b log29 log23 c log32 则 a b c 的大小关系是 A a bc C a bb c B 解析 a log23 log23 log23 3 1 b log2 9 3 log 23 3 所以 a b 1 而 c log32c 5 若函数 y a ax a 0 a 1 的定义域和值域都是 0 1 则 loga5 6 log a48 5 A 1B 2 C 3D 4 C 解析 当 a 1 时 函数 y a ax在 0 1 上单调递减 所以 a 1 1 且 a a 0 解得 a 2 当 0 a0 a 1 的图象过定点 A 若点 A 也在函数 f x 2x b 的 图象上 则 f log23 解析 由题意得 A 2 0 因此 f 2 4 b 0 b 4 从而 f log23 3 4 1 答案 1 9 设函数 f x logax 0 a 1 的定义域为 m n m0 a 1 若 f x 1 在区间 1 2 上 恒成立 则实数 a 的取值范围为 解析 当 a 1 时 f x loga 8 ax 在 1 2 上是减函数 由 f x 1 恒成立 则 f x min loga 8 2a 1 解之得 1 a 8 3 当 0 a1 恒成立 则 f x min loga 8 a 1 且 8 2a4 且 a0 且 a 1 1 求 f x 的定义域 2 判断函数 f x 的单调性 解 1 由 ax 1 0 得 ax 1 当 a 1 时 x 0 当 0 a 1 时 x1 时 f x 的定义域为 0 当 0 a1 时 设 0 x1 x2 则 1 ax1 ax2 故 0 ax1 1 ax2 1 所以 loga ax1 1 loga ax2 1 所以 f x1