构造全等三角形(常见辅助线法).ppt

A B D E F M N 专题讲解 三角形辅助线的方法 连线法 第一关 如图 AB AD BC DC 求证 B D 连接AC 构造全等三角形 连线构造全等 连线构造全等 如图 AB与CD交于O 且AB CD AD BC OB 5cm 求OD的长 连接BD 构造全等三角形 A C B D O 第二关 中线倍长法 如何利用三角形的中线来构造全等三角形 可以利用倍长中线法 即把中线延长一倍 来构造全等三角形 如图 若AD为 ABC的中线 必有结论 A B C D E 1 2 延长AD到E 使DE AD 连结BE 也可连结CE ABD ECD 1 E B 2 EC AB CE AB 已知 如图AD是 ABC的中线 延长AD到点E 使DE AD 连结CE 思考 若AB 3 AC 5求AD的取值范围 倍长中线 第三关 截长补短法 已知在 ABC中 C 2 B 1 2求证 AB AC CD A D B C 1 2 在AB上取点E使得AE AC 连接DE 截长 F 在AC的延长线上取点F使得CF CD 连接DF 补短 如图所示 已知AD BC 1 2 3 4 直线DC经过点E交AD于点D 交BC于点C 求证 AD BC AB E F 在AB上取点F使得AF AD 连接EF 截长补短 证明 例1 已知 如图 在四边形ABCD中 BD是 ABC的角平分线 AD CD 求证 A C 180 D A B C E 在BC上截取BE 使BE AB 连结DE BD是 ABC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 在 ABD和 EBD中 AB EB 已知 1 2 已证 BD BD 公共边 ABD EBD S A S 1 2 4 3 3 4 180 平角定义 A 3 已证 A C 180 等量代换 3 2 1 A 3 全等三角形的对应角相等 AD CD 已知 AD DE 已证 DE DC 等量代换 4 C 等边对等角 AD DE 全等三角形的对应边相等 证明 例1 已知 如图 在四边形ABCD中 BD是 ABC的角平分线 AD CD 求证 A C 180 D A B C F 延长BA到F 使BF BC 连结DF BD是 ABC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 在 BFD和 BCD中 BF BC 已知 1 2 已证 BD BD 公共边 BFD BCD S A S 1 2 4 3 F C 已证 4 C 等量代换 3 2 1 F C 全等三角形的对应角相等 AD CD 已知 DF DC 已证 DF AD 等量代换 4 F 等边对等角 3 4 180 平角定义 A C 180 等量代换 DF DC 全等三角形的对应边相等 练习1 如图 已知 ABC中 AD是 BAC的角平分线 AB AC CD 求证 C 2 B A B C D E 1 2 2 1 证明 在AB上截取AE 使AE AC 连结DE AD是 BAC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 在 AED和 ACD中 AE AC 已知 1 2 已证 AD AD 公共边 AED ACD S A S 3 B 4 等边对等角 4 C 3 全等三角形的对应角相等 又 AB AC CD AE EB 已知 EB DC ED 等量代换 3 B 4 2 B 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 C 2 B 等量代换 ED CD 全等三角形的对应边相等 练习1 如图 已知 ABC中 AD是 BAC的角平分线 AB AC CD 求证 C 2 B A B C D F 1 2 证明 延长AC到F 使CF CD 连结DF AD是 BAC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 AB AC CD CF CD 已知 AB AC CF AF 等量代换 ACB 2 F 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 ACB 2 B 等量代换 3 2 1 在 ABD和 AFD中 AB AF 已证 1 2 已证 AD AD 公共边 ABD AFD S A S F B 全等三角形的对应角相等 CF CD 已知 B 3 等边对等角 如图 已知直线MN PQ 且AE平分 BAN BE平分 QBA DC是过E的任意线段 交MN于点D 交PQ于点C 求证 AD AB BC 证明 延长AE 交直线PQ于点F 3 0 22 21 A B C D E M N P Q 1 2 3 4 F 5 第四关 周长问题转化 1 如图 ABC中 C 90o AC BC AD平分 ACB DE AB 若AB 6cm 则 DBE的周长是多少 周长问题 的转化借助 角平分线性质 B A C D E BE BD DE BE BD CD BE BC BE AC BE AE AB 2 如图 ABC中 D在AB的垂直平分线上 E在AC的垂直平分线上 若BC 6cm 求 ADE的周长 周长问题 的转化借助 垂直平分线性质 B A C D E AD AE DE BD CE DE BC 5 如图 ABC中 BP CP是 ABC的角平分线 MN BC 若BC 6cm AMN周长为13cm 求 ABC的周长 周长问题 的转化借助 等腰三角形性质 B A C P AB AC BC AM BM AN NC 6 N AM MP AN NP 6 13 6 M AM AN MN 6 第五关 中垂线法 ABC中 AB AC A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D 过D作DE AB于E 作DF AC于F 求证 BE CF 连接DB DC 垂直平分线上点向两端连线段 如图 已知三角形ABC中 BC边上的垂直平分线DE与角BAC的平分线交于点E EF垂直AB交AB的延长线于点F EG垂直AC交AC于点G 求证 1 BF CG 2 判定AB AC与AF的关系 第六关 角平分线性质 如图 ABC中 C 90o BC 10 BD 6 AD平分 BAC 求点D到AB的距离 过点D作DE AB于点E E 角平分线上的点向角两边做垂线段 证明 例1 已知 如图 在四边形ABCD中 BD是 ABC的角平分线 AD CD 求证 A C 180 D A B C M 作DM BC于M DN BA交BA的延长线于N BD是 ABC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 DN BA DM BC 已知 N DMB 90 垂直的定义 在 NBD和 MBD中 N DMB 已证 1 2 已证 BD BD 公共边 NBD MBD A A S 1 2 4 C 全等三角形的对应角相等 N 4 3 3 2 1 ND MD 全等三角形的对应边相等 DN BA DM BC 已知 NAD和 MCD是Rt 在Rt NAD和Rt MCD中 ND MD 已证 AD CD 已知 Rt NAD Rt MCD H L 3 4 180 平角定义 A 3 已证 A C 180 等量代换 PD PE PD PE 如图 OC平分 AOB 角平分线上点向两边作垂线段 过点P作PF OA PG OB垂足为点F 点G F G DOE DP