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文档简介

1 Lebesgue积分的极限定理 已接触的例子 在Riemann积分或Lebesgue积分框架下考虑问题 在Riemann积分框架下 要附加很强条件 使得积分与极限可以交换次序 而在Lebesgue积分框架下 条件很弱 即积分与极限是否可以交换次序 3 2 1Lebesgue积分与极限运算的交换定理 定理3 2 1 Lebesgue基本定理 则 证明关键 Levi渐升列积分定理 3 3 注 非负可测函数的级数求和与积分次序可换 证明 令 故由Levi定理 非负单调递增可测函数列且 积分对积分域的可列可加性 5 5 由于 类似的 6 6 于是正项级数 不妨设 与 至少一个有限 特别的 因而对每个 故 8 8 9 9 证明 考虑非负函数 则非负可测单调递增 且 利用Levi定理 定理3 2 3 Fatou引理 注 Fatou引理中 不等号可能会出现 11 11 注 Fatou引理中 不等号可能会出现 则 例子 考虑上非负函数列 但是当时 即极限函数 于是 高斯分布 12 12 即得2 2 在对函数列 应用1 的结果 并意到 证明 1 对函数列 应用Fatou引理即得1 13 13 定理3 2 4 Lebesgue控制收敛定理 设 且有 且 左侧极限存在 证明 由于 为可测函数 进而由 因此 知 考虑 上可积函数列 由于 由Fatou引理 14 14 15 15 即 由于 得 即 最后 由 则 且 17 17 记 类似上面定理 只需要证明 证明 由于 由Riesz定理 存在子列 由Lebesgue控制收敛定理 18 18 因为 必有 于是 这与上述不等式矛盾 因此结论成立 19 推论3 2 6 有界收敛定理 设 一致有界 即存在常数 若 注 Fatou引理常用于判断非负极限函数的可积性质 控制收敛定理则给出积分与极限可换序的充分条件 应用控制收敛定理关键在于找出控制函数 上常函数可积 有 20 20 证明 定义函数 由非负可测函数列逐项积分定理 Lebesgue基本定理 22 由于 因此有 由控制收敛定理 23 23 在微积分中 交换积分运算与极限运算次序是研究含参变量积分的主要工具 24 定理3 2 8对于上述参变积分 如下结论成立 其中 2 若 的偏导数 存在 且存在 则 25 证明 1 定义函数列 由控制收敛定理 关键在于将收敛转化为序列的收敛 26 26
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