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2 2 2椭圆的几何性质 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1 F2的距离的和等于常数 大于F1F2 的点的轨迹 1 顶点 椭圆和坐标轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆有四个顶点 a 0 0 b 线段A1A2叫做椭圆的长轴 且长为2a a叫做椭圆的长半轴长线段B1B2叫做椭圆的短轴 且长为2b b叫做椭圆的短半轴长 O x F1 F2 A2 B1 B2 y A1 a 0 a 0 0 b 0 b 为椭圆的焦距 为椭圆的半焦距 O x F1 A2 B1 B2 y A1 a 0 a 0 0 b 0 b a b c的几何意义 a c b F2 a x a b y b知椭圆落在x a y b组成的矩形中 2 范围 3 对称性 从图形上看 椭圆关于x轴 y轴 原点对称 原点是椭圆的中心 从方程上看 1 把x换成 x方程不变 图象关于y轴对称 2 把y换成 y方程不变 图象关于x轴对称 3 把x换成 x 同时把y换成 y方程不变 图象关于原点成中心对称 根据前面所学有关知识画出下列图形 1 2 A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4 椭圆的离心率 刻画椭圆扁平程度的量 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率 1 离心率的取值范围 2 离心率对椭圆形状的影响 0 e 1 3 e与a b的关系 思考 当e 0时 曲线是什么 当e 1时曲线又是什么 1 e越接近1 c就越接近a 从而b就越小 椭圆就越扁2 e越接近0 c就越接近0 从而b就越大 椭圆就越圆 圆 线段 两种标准方程的椭圆性质的比较 关于x轴 y轴 原点对称 A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b A1 0 a A2 0 a B1 b 0 B2 b 0 例1求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴长 离心率 焦点和顶点坐标 解 把已知方程化为标准方程 椭圆的四个顶点是A1 5 0 A2 5 0 B1 0 4 B2 0 4 离心率 焦点F1 3 0 和F2 3 0 因此长轴长 短轴长 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P 3 0 Q 0 2 长轴长等于20 离心率3 5 1 解 利用椭圆的几何性质 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点 于是焦点在x轴上 且点P Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点 故a 3 b 2 故椭圆的标准方程为 例3 点M x y 与定点F 4 0 的距离和它到直线的距离的比是常数 求点M的轨迹 练 已知x轴上的一定点A 1 0 Q为椭圆上的动点 求AQ中点M的轨迹方程 2 解 设动点M的坐标为 x y 则Q的坐标为 2x 1
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