拉普拉斯方程不同推导方法及其意义

教育教学论坛 E D U C A T I O NT E A C H I N GF O R U M 2 0 1 4 年 1月 第 2 期 J a n 2 0 1 4 N O 2 的分析评价 从而确定教学目标和实际教学之间的差距 此 外 在实际教学中 教师应该对学生的回答给予正面的评 价 并且及时解决学生在数学学习中的难处 使学生对于自 己学习的数学知识有一个系统的认识 学生对教师评价可 以使教师在教学中存在的问题全面暴露出来 相应的数学 教师可以根据学生对于教学的反馈 对自己的教学方式进 行合适的调整 更加适应小学生的数学学习过程 互动评价 的进行要把这两个方面有机的结合在一起 增强教师和学 生的沟通 从而构建出一个自由和轻松的教学氛围 更有利 于小学生数学的学习 三 贯彻因材施教理念 小学生的学习历程还在初级阶段 虽然各个学生之间 还存在着不同程度的差距 但差距都不是很大 所以 这就 需要教师在教学的过程中 要用同样的热情对待每一个学 生 并且能够合理的针对每一个学生的特点进行不同的教 学方式 此外 对于基础薄弱的学生 教师应该从心理和知 识两方面同时教导 在提高他们学习自信的同时 提高他们 的知识储备 在小学数学的教学中 教师应该综合考虑每一 个学生的特点 然后对他们进行分组教学 即把学生分成不 同的学习小组 用竞争与合作相结合的方式 促进每一个小 组成员的数学学习积极性 并且学习小组的形式还可以增 加学生在学习中的内部讨论度和相互竞争力 充分发掘学 生在数学方面的潜力 这对于数学的学习是非常有帮助的 四 增强学习知识联系 小学生由于自己的发展特点 对于自己学习到的知识 在感觉上都是比较分散的 教师应该进行适当的引导 加强 学生对于各个方面知识的联系 特别是数学比较重视知识 的逻辑性 相关的教师更应该做好这方面的工作 比如在进 行 有趣的图形 方面知识学习时 教师应该注重让学生观 察各个图形之间的联系 并基于此进行教学 在提高学生数 学学习兴趣的同时 也增大他们思维的灵活 三 结语 小学数学对于学生来说 是一门很重要的学科 而真正 掌握好这门学科 还需要教师和学生双方的努力 不仅如 此 目前的教学理念对学生在知识的运用和主动学习意识 方面 也有很大的侧重度 因此 在小学数学的实际教学中 教师需对小学数学学习的有效性策略进行科学探究 应增 强自己对有效性学习重要性的认识 积极地借鉴有效性学 习方面的先进教学方式 以促进学生数学学习的效率 不仅 仅是小学数学的教学 在其他学科的实际教学中 教师也应 该注意引导学生掌握学习的方式 并对自己的教学方式进 行相应的调整 进而提高整个课堂教学的质量 参考文献 1 刘洪竹 史亮思 论如何通过多媒体技术提高小学数学有效性 J 中国教育技术装备 2 0 1 2 3 4 2 易良斌 以学生发展为本 提高小学数学课堂教学的有效性 J 教育科学研究 2 0 0 2 1 1 拉普拉斯方程给出了弯曲液面的附加压力与表面张力 和曲率半径之间的关系 公式形式很简单 但推导方法各 异 本文从表面张力 表面能及热力学基本公式出发 应用 物理学和数学原理总结分析拉普拉斯方程常用的几种推 导方法 并突出其中的物理化学的基本概念及意义 作为 教师 向学生推荐各种推导方法 并进行比较 把学生的注 意力引导到对基本概念的再认识上 可获得事半功倍的效 果 1 从表面能概念出发 应用几何知识及热力学方法推 导 1 1 以任意弯曲液面为研究 对象 1 如图2 所示 1 在任意弯曲液 面上取一小矩形曲A B C D 其面积 为x y 曲面边缘A B 和B C 弧的曲率 半径分别为R1和R2 作曲面的两 个相互垂直的正截面 交线O z 为O 点的法线 令曲面沿法线方向移 动d z 使曲面扩大到A B C D 则x 与y 各增加d x 和d y 移动后曲面面积增 加 d A x d y y d x 体积增加d V x y d z 增加d A 面积所作的功与克 服附加压力p s增加d V 所作的功应该相等 即 d A p s d V x d y y d x p sx y d z 1 由相似三角形原理 x d x R1 d z x R1 简化得 d x x d z R1 2 y d y R2 d z y R2 简化得d y y d z R2 3 将 2 及 3 式代入 1 式得 p s p 1 R1 1 R2 4 4 式称为杨 拉普拉斯公式 y o u n g L a p l a c e e q u a t i o n 是研究弯曲表面上附加压力的基本公式 如果是球面R1 R2 R 则p s p 2 R 该方法以任意曲面为研究对象 应用几何知识和表面 能的概念进行推导具有普遍意义 但是物理化学意义并不 明确 在物理化学教学中只需简单介绍 1 2 以球形液滴为研究对象 1 4 如图3 所示 设有一毛细管 管内充满液体 管端有半径 为R 的球形液滴与之平衡 忽略重力对液滴的作用 外压 为p 0 附加压力为ps液滴所承受的压力为 p0 ps 设在恒 拉普拉斯方程不同推导方法及其意义 马淑清 王鉴 胡烨 东北石油大学化学化工学院 黑龙江大庆1 6 3 3 1 8 摘要 拉普拉斯方程描述了弯曲液面的附加压力与液体的表面张力及曲率半径的关系 本文从表面张力 表面能及 热力学基本公式出发 应用物理学和数学原理 探讨拉普拉斯公式的几种推导方法及其意义 旨在教学实际中适当的引 用 加深学生对液体表面现象的认识和理解 关键词 表面张力 表面自由能 弯曲液面 拉普拉斯方程 中图分类号 G 6 4 2 3文献标志码 A文章编号 1 6 7 4 9 3 2 4 2 0 1 4 0 2 0 0 9 7 0 2 图 2 学法指导 97 教育教学论坛 E D U C A T I O NT E A C H I N GF O R U M 2 0 1 4 年 1月 第 2 期 J a n 2 0 1 4 N O 2 一 引言 在微积分的学习中 但凡涉及分段函数的相关问题 时 初学者都觉得比较棘手 有时甚至无从下手 原因在于 分段函数有别于初等函数 不能把对初等函数的研究方法 直接套用到分段函数上 一般分段函数的研究不仅涉及面 广 方法灵活多变且综合性较强 所以难度难免会大些 不 仅要用到初等函数的研究方法 还要用到一些特殊的方 法 如果学生在一些关键性的问题上没有吃透 必将导致 错误的求解 为了尽量减少出错 教师在教授有关分段函 数相关的问题时 有必要抓住问题的本质和关键 给学生 讲解正确的方法 及时纠正学生学习中的各种错误思维 分段函数是由若干个解析式子组成的函数 1 2 一般常 见的分段函数在每段上的解析式都以初等函数的形式出 现 若x 0点位于某分区间内时 分段函数在点x0的极限问题 连续性问题和可导性问题等一般都可转化为初等函数的相 应问题来求解 本文主要探讨x 0在分区间端点处的情形 二 分段函数在某点x 0处的极限 若点x 0在分区间的端点时 则应考察分段函数在x0的 左 右极限 然后由函数在一点极限存在的充要条件便可得 温恒压下 可逆的对活塞施加压力 使液滴体 积增加d V 其表面积相应增加d A 则在此过 程中以液滴为系统 推动活塞对液滴所作的 体积功为 w1 p 外d V p0 ps d V 同时液 滴 膨胀对 环境 所 作 的 体 积 功 为 w2 p 0d V 推动活塞对液滴所作的净功为 w p sd V 由 热 力 学 基 本 关 系 式 d G S d T V d p d A 对纯物质或组成不变 系统 考虑表面能量的变化 得 在恒温恒压 可逆条件下 d G w 即克服附加压力p s环境所作的功与 可逆增加表面积的吉布斯函数增加值应该相等 P sd V d A d V 4 R 3 d R d A 8 R d R 即P s p 2 R 该方法物理化学意义非常显著 首先确定小液滴为系 统 描述热力学问题离不开系统与环境的概念 应用 可逆 的概念强调环境的压力与系统的压力只相差无穷小 从而 有p 外d V p0 ps d V 的结果 根据热力学原理和热力学基本 关系式d G S d T V d p d A 在恒温恒压可逆条件下 该过 程所做的最大有效功即为该过程系统的吉布斯函数增加 值 自然得到所需要的结果 在整个推导过程中突出热力学 基本原理 基本概念和基本公式在表面化学中的应用 加深 了学生对热力学原理的理解 并增强学生应用热力学原理 分析和解决问题的能力 2 从表面张力的概念出发应用物理学的方法进行 推导 2 3 2 1 以凸形液面为研究对象 3 设有一凸液面A B 如图4 所示 其球心为O 球半径为r 球缺底面圆心为O1 底面半径为r 液体表面张力为 将球缺底面圆周上与圆周垂直的表面张力分为水平分 力与垂直分力 水平分力 相互平衡 垂直分力指向 液体内部 其单位周长的 垂直分力为 c o s 因球 缺底面圆周长为2 r 1 得 垂直分力在圆周上的合 力为 F 2 r 1 c o s 因c o s r1 r 球缺底面面积为 r1 2 故弯曲液面对于单位水平面上的附加压力为 p 2 r 1 r1 R r1 2 整理后得 p 2 r 2 2 以球形液滴为研究对象 2 假设有一半径为r 的圆球形液滴 通过球的中心画一截 面 如图5 所示 沿着截面周界线两边的液面对周界线皆有 表面张力的作用 图中只画出了周界线 下得液面对周界线的作用 以下半球为 系统 则沿截面周界线上表面张力的合 力F 就等于垂直作用于截面上的力 所 以F 2 r 即为附加压力 p F r 2 r r 2 2 r 以上方法是从表面张力的概念出 发 对球缺周界线以下的液面对周界线的作用进行受力分 析 如果只从获得附加压力与表面张力及曲率半径的关系 出发 该方法简单且易于理解 关于拉普拉斯公式的推导还有一些其他方法 6 7 尽管 方法各异 但都是从表面张力和表面能两个角度入手 并引 入下面相同的基本假设完成推导过程 1 将表面层理想化 为一个简单的几何曲面 2 假设表面层两侧的液相和气相 都是均匀的 3 忽略由液体重力产生的附加压强 参考文献 1 傅献彩 等 物理化学 下 第五版 M 北京 高等教育出版 社 2 0 0 6 2 天津大学物理化学教研室 物理化学 下 第五版 M 北京 高等教育出版社 2 0 0 9 3 肖衍繁 李文斌 物理化学 M 天津 天津大学出版社 2 0 0 4 4 沈钟 赵振国 王国庭 胶体与表面化学 M 北京 化学工业出 版社 2 0 0 4 5 叶松 关于弯曲液面下由液体重力产生的附加压强的讨论 J 巢湖学院学报 2 0 0 3 5 3 6 张永胜 拉普拉斯公式的另一种推导方法 J 淮北煤师院学报 2 0 0 0 2 1 2 7 李亦宁 弯曲液面下附加压强值的几种推导方法 J 广西物理 2 0 0 4 2 5 1 基于分段函数微积分的教学探讨 刘利平 甘肃政法学院计算机科学学院 甘肃兰州