自动控制系统的数学模型.ppt

自动控制系统数学模型 本章概述 2 1动态微分方程式的编写 2 2传递函数 2 4系统动态结构图 2 6系统传递函数的求取 2 3典型环节的传递函数 2 5系统结构图等效变换和化简 本章重点 本章介绍了建立控制系统数学模型和简化的相关知识 包括线性定常系统微分方程的建立 传递函数概念与应用 方框图及其等效变换 梅逊公式的应用等 通过本章学习 应着重准确掌握传递函数的概念及其求取方法 控制系统方框图的构成和等效变换方法 典型闭环控制系统的传递函数的基本概念和梅逊公式的应用 本章主要内容 概述 微分方程 时域数学模型 传递函数 复域数学模型 频率特性 频域数学模型 动态结构图 几何模型 返回 1 数学模型 描述系统变量之间关系的数学表达式 2 建模的基本方法 1 解析法 2 实验辩识法 3 经典控制理论常用数学模型的主要形式 2 1系统的微分方程式 步骤 1 确定系统输入量 给定量和扰动量 与输出量 被控制量 也称系统响应 2 列写系统各部分的微分方程3 消去中间变量 求出系统的微分方程4 将微分方程整理成标准形式 一 线性系统微分方程的建立 图2 1RC电路 例2 1编写如图2 1所示RC电路的微分方程式 解 1 确定输入 输出量ui t 输入量uo t 输出量 2 列写微分方程 3 消去中间变量 可得电路微分方程式 图2 2直流电动机电枢电路 例2 2编写电枢控制的他激直流电动机的微分方程式 2 列写微分方程式 解 1 确定输入量和输出量 取输入量为电动机的电枢电压ua 取输出量为电动机的转速n 3 消去中间变量并予以标准化后得 电枢回路的电磁时间常数 电动机的机电时间常数 若不考虑电动机的负载转矩TL 即设TL 0 则有 返回 1 叠加定理 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和 即L f1 t f2 t L f1 t L f2 t F1 s F2 s 复习拉普拉斯变换 一 拉氏变换的定义 二 拉氏变换的运算定理 其中 原来的实变量函数f t 原函数变换后的复变量函数F s 象函数 5 终值定理 2 比例定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的倍 即L Kf t KL f t KF s 3 微分定理 在零初始条件下 4 延迟定理 L f t e s F s 通过查表 已知原函数f t 可求得象函数F s 同理 已知象函数f t 可求得原函数F s 三 原函数和象函数之间的变换 2 2控制系统的传递函数 一 传递函数的定义 当初始条件为零时 输出量c t 的拉氏变换式C s 与输入量r t 的拉氏变换式R s 的之比 即 二 传递函数的一般表达式 设系统的输入量为r t 输出量为c t 则系统微分方程一般形式为 当初始条件为零时 对方程两边取拉氏变换 有 1 直接变换法先建立微分方程 然后在零初始条件下 对微分方程进行拉氏变换 即可根据传递函数的定义求得传递函数 根据传递函数的定义 得传递函数的一般表达式为 三 传递函数的求取方法 解 初始条件为零时 拉氏变换为 该电路的传递函数为 式中 RC电路的时间常数 解 在零初始条件下 对微分方程进行拉氏变换 有s2C s 10sC s 100C s 100R s 根据传递函数的定义 有可见 只要将微分方程中的微分式d i dt i 换成相应的s i 即可求得传递函数 在电工基础中 对于电阻 电感 电容 有电阻u iR拉氏变换式为U s I s R电感拉氏变换式为U s LsI s 电容拉氏变换式为I s CsU s 由以上讨论可见 将电工基础复数阻抗中的j 换成s即可 2 电路复阻抗法 解 例2 5用复数阻抗法求RC串联电路的传递函数 解 根据电子技术基础学过的知识 有Ii s I s If s 又因为A点为虚地 即UA 0 所以I s 0 因此有 所以 例2 6求图2 3所示运算放大器的传递函数G s 四 传递函数的性质 1 传递函数和微分方程存在一一对应关系 对于一个确定的系统 微分方程是唯一的 其传递函数也是唯一的 2 传递函数取决于系统或元件的结构和参数 与输入信号的大小 形式无关 3 传递函数是一种数学抽象 因此不能反映系统的物理结构 不同性质的物理结构 完全可以有相同的传递函数 4 传递函数的分母是它所对应的系统的微分方程的特征方程式 而特征方程的根反映系统动态过程的性质 所以由系统传递函数可以研究系统的动态特性 返回 2 3典型环节的传递函数 比例环节 其输出量和输入量的关系 由下面的代数方程式来表示 式中 环节的放大系数 为一常数 传递函数为 比例环节 惯性环节 惯性环节的传递函数可以写成如下表达式 现求输入量为单位跃阶函数时 惯性环节输出量的函数关系 求拉氏反变换得 积分环节 传递函数为 当输入量为阶跃函数时 则输出量为 理想微分环节 传递函数为 比例微分环节 传递函数为 振荡环节 微分方程为 其传递函数为 自然振荡角频率 阻尼比 当输入量为阶跃函数时 输出量的拉氏变换为 当时 上式特征方程的根为共轭复数 输出量为 延迟环节 传递函数为 微分方程为 返回 2 4系统的动态框图 结构图 框图又称结构图 是传递函数的一种图形描述式 可以形象地描述系统各单元之间和各作用量之间的相互关系 比较直观 框图的组成 1 信号线 带有箭头的直线 线上标注信号的象函数名称 箭头表示信号的流向 2 比较点 表示对两个或两个以上的信号进行代数运算 输入信号处应标明极性 3 功能框 表示环节对信号的变换 框中写入环节的传递函数 4 引出点 表示信号从该点取出 从同一信号线上引出的信号 大小和性质完全相同 功能框 比较点 引出点 二 框图的画法 1 由输入到输出 依次列写系统的全部运动方程 并整理成C s G s R s 的形式 2 从输入开始 由左向右 根据相互作用的顺序 依次画出各个环节 直至所需的输出量3 由内向外 画出反馈环节 解 直流电动机的基本工作原理 ua ia Te n 根据 得 例2 7画出他励直流电动机的框图 按照信号传递关系依次连接各环节 即可得到直流电动机的框图 例2 8画出图2 6所示系统的系统框图 返回 解 系统由3个运算放大器串联组成 2 5系统框图的等效变换和化简 任何复杂的系统结构图 各方框之间的基本连接方式只有串联 并联和反馈连接三种 方框结构图的简化是通过移动引出点 比较点 交换比较点 进行方框运算后 将串联 并联和反馈连接的方框合并 1 串联等效 一 典型连接的等效传递函数 2 并联等效 3 反馈等效 1 相加点从单元的输入端移到输出端 如图2 5 图2 5相加点后移变位运算 二 相加点及分支点的换位运算 原则 移动前后保持信号的等效性 图2 6相加点前移变位运算 2 相加点从单元的输出端移到输入端 如图2 6所示 3 分支点从单元的输入端移到输出端 如图2 7所示 图2 7分支点后移的变位运算 4 分支点从单元的输出端移到输入端 如图2 8所示 图2 8分支点前移的变位运算 5 非单位反馈的等效变换 例2 9化简下图所示的多回环系统 返回 2 6系统传递函数的求取 一 系统的开环传递函数 1 开环传递函数 2 前向通道传递函数 反馈引入点断开时 输入端对应比较器输出E s 到输入端对应的比较器的反馈信号B s 之间所有传递函数的乘积 记为Go s Go s G s H s 输入端对应比较器输出E s 到输出端输出C s 所有传递函数的乘积 记为G s 3 反馈通道传递函数 输出C s 到输入端比较器的反馈信号B s 之间的所有传递函数之乘积 记为H s 二 系统闭环传递函数 在初始条件为零时 系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数 闭环传递函数是分析系统动态性能的主要的数学模型 例2 10试简化图示系统结构图 并求系统传递函数 三 系统对给定作用和扰动作用的闭环传递函数 图2 11所示系统中有两个输入量 给定作用量和扰动作用量 同时作用于系统 对于线性系统来说 可以对每一个输入量分别求出输出量 然后再进行叠加 就得到系统的输出量 2 11Rr s 和D s 同时作用于系统 1 只有给定作用时的闭环传递函数和输出量为 因此当两个输入量同时作用于系统时 则输出量为 2 只有扰动作用时的闭环传递函数和输出量为 四 系统对给定作用和扰动作用的误差传递函数 误差的定义 单回环系统中 给定输入r t 与反馈信号b t 的差值 以e t 表示 即e t r t b t 或E s R s B s 当只有给定信号R s 作用下的误差传递函数和系统误差R s 作用时 可认为D s 0 所以有 当只有扰动信号D s 作用下的闭环传递函数和系统输出D s 作用时 可认为R s 0 所以有 五 梅逊增益公式 从输入端到输出端的前向通路总数 的余子式 即在 中 除去与第k条前向通道相接触的所有回路的L项 主特征式 从输入端到输出端第k条前向通路的总增益 或传递函数之积 闭环传递函数 或总增益 所有单独回路之和两 两不接触回路增益的乘积之和三 三不接触回路增益的乘积之和 系统的主特征式 例2 11求如图2 11所示系统的传递函数 解 1 该系统只有一条通道 即n 1 所以P1 G1G2G3G4G5G6 2 该系统有4个负反馈回路 L1 G1G2G3G4G5G6H1L2 G2G3H2L3 G4G5H3L4 G3G4H4并且只有两个回路互不接触 即L2L3 G2G3H2 G4G5H3 G2G3G4G5H2H3 所以有 La L1 L2 L3 L4 G1G2G3G4G5G6H1 G2G3H2 G4G5H3 G3G4H4 1 La LaLb 1 G1G2G3G4G5G6H1 G2G3H2 G4G5H3 G3G4H4 G2G3G4G5H2H3 3 所有回路L1 L2 L3 L4均与前向通道相接触 即 1 1 4 根据梅逊公式求得系统传递函数为 返回 数学模型的基本概念 数学模型是描述系统暂态过程的数学表达式 是对系统进行理论分析研究的主要依据 通过解析法对实际系统建立数学模型 在本章中 根据系统各环节的工作原理 建立其微分方程