《物联网理论与技术》第3章：逻辑函数运算规则及化简.ppt

第3章 逻辑函数运算规则及化简 3 1概述 逻辑函数的表示方法如下 设输入逻辑变量为A B C 输出逻辑变量为F 当A B C 的取值确定后 F的值就被唯一的确定下来 则称F是A B C 的逻辑函数 记为 F f A B C 逻辑变量和逻辑函数的取值只能是0或1 没有其它中间值 3 2逻辑代数的运算规则 3 2 1逻辑代数基本公理 公理1 设A为逻辑变量 若A 0 则A 1 若A l 则A 0 这个公理决定了逻辑变量的双值性 在逻辑变量和逻辑函数中的0和1 不是数值的0和1 而是代表两种逻辑状态 公理2 式中点表示逻辑与 在用文字表述时常省略 加号表示逻辑或 公理3 公理4 公理5 3 2 2逻辑代数的基本定律 1 0 1律 2 自等律 3 重叠律 4 互补律 5 还原律 6 交换律 7 结合律 以上各定律均可用公理来证明 方法是将逻辑变量分别用0和1代入 所得的表达式符合公理2至公理5 3 2 2逻辑代数的基本定律 8 分配律 加 逻辑或 对乘 逻辑与 的分配律证明如下 3 2 2逻辑代数的基本定律 9 吸收律 证明 10 等同律 证明 3 2 2逻辑代数的基本定律 11 反演律 摩根定理 采用真值表法证明 反演律成立 3 2 2逻辑代数的基本定律 12 包含律 3 2 3摩根定理 1 逻辑变量 与 运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的 或 运算 用公式表示如下 2 逻辑变量 或 运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的 与 运算 用公式表示如下 上述两个定理也适用于多个变量的情形 如 3 2 3摩根定理 例3 1 应用摩根定理化简逻辑函数 解 反复应用摩根定理可得 3 2 4逻辑代数的基本规则 1 代入规则 例 A B C AB AC 等式中的C都用 C D 代替 该逻辑等式仍然成立 即A B C D AB A C D 任何一个含有变量A的逻辑等式 如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F 则等式仍然成立 3 2 4逻辑代数的基本规则 2 反演规则 对于任何一个逻辑表式F 若将其中所有的与 变成或 换成 0 换成 1 1 换成 0 原变量换成反变量 反变量换成原变量 则得到的结果就是 原则 1 注意保持原函数中的运算符号的优先顺序不变 2 反演规则 原则 2 不属于单个变量上的反号应保留不变 或不属于单个变量上的反号下面的函数当一个变量处理 例3 3 已知 求 解法一 解法二 3 对偶规则 对于任何一个逻辑表达式F 如果将式中所有的 换成 换成 0 换成 1 1 换成 0 而变量保持不变 原表达式中的运算优先顺序不变 那么就可以得到一个新的表达式 这个新的表达式称为F的对偶式F 3 对偶规则 对偶式的两个重要性质 性质1 若F A B C G A B C 则F G 性质2 F F 例3 6 证明函数是一自对偶函数 证明 3 3逻辑函数表述方法 3 3 1逻辑代数表达式 3 3 2逻辑图表述 3 3 3真值表表述 例3 8 列出函数Y AB BC CA的真值表 解 从真值表中可以看出 这是一个多数表决通过的逻辑函数 当输入变量A B C中有两个或两个以上为1时 输出变量Y为1 3 3 4卡诺图表述 a 2变量卡诺图 b 3变量卡诺图 c 4变量卡诺图 图3 22 3 4变量的卡诺图 3 4逻辑函数的标准形式 3 4 1最小项表述 1 最小项的定义设有n个变量 它们所组成的具有n个变量的 与 项中 每个变量以原变量或反变量的形式出现一次 且仅出现一次 则这个乘积项称为最小项 2 最小项的性质 a 对于任何一个最小项 只有对应的一组变量取值 才能使其值为 1 b 相同变量构成的两个不同最小项逻辑 与 为 0 c n个变量的全部最小项之逻辑 或 为 1 即 d 某一个最小项不是包含在逻辑函数F中 就是包含在反函数中 n个变量构成的最小项有n个相邻最小项 例 与是相邻最小项 3 4 2最大项表述 1 最大项的定义设有n个变量 它们所组成的具有n个变量的 或 项中 每个变量以原变量或反变量的形式出现一次 且仅出现一次 这个 或 项称为最大项 2 最大项的性质 a 对于任何一个最大项 只有对应的一组变量取值 才能使其值为 0 例 只有变量ABCD 0000时 每一变量都为0时 才有A B C D为 0 b 相同变量构成的任何两个不同最大项逻辑 或 为 1 例 M4 M6 c n个变量的全部最大项之逻辑 与 为 0 即 d 某一个最大项不是包含在逻辑函数F中 就是包含在反变量中 e n个变量构成的最大项有n个相邻最大项 例 与是相邻最大项 3 最小项与最大项的关系下标i相同的最小项与最大项互补 即 例如 即为 3 4 3标准与或表达式 例3 9 将展开为最小项之和的形式 例3 10 将写成标准与或表达式 3 4 4标准或与表达式 例3 11 将 m 0 2 3 6 展开为最大项之积的形式 例3 12 将写成标准或与表达式 3 4 5两种标准形式的相互转换 对于一个n变量的逻辑函数F 若F的标准与或式由K个最小项相或构成 则F的标准或与式一定由个最大项相与构成 并且对于任何一组变量取值组合对应的序号i 若标准与或式中不含mi 则标准或与式中一定含Mi 例3 13 将标准与或表达式表示为标准或与表达式 3 4 6逻辑函数表达式与真值表的相互转换 1 由真值表求对应的逻辑函数表达式 3 4 6逻辑函数表达式与真值表的相互转换 2 由逻辑函数表达式求对应的真值表 3 5逻辑代数化简法 3 5 1并项化简法 例3 14 化简 例3 15 化简 例3 16 化简 3 5 2吸收化简法 例3 17 化简 例3 18 化简 例3 19 化简 3 5 3配项化简法 例3 20 化简 例3 21 化简 方法 3 5 3配项化简法 例3 22 化简 方法 3 5 4消去冗余项化简法 例3 23 化简 例3 24 化简 例3 25 化简 3 5 4消去冗余项化简法 例3 26 化简 3 5 4消去冗余项化简法 例3 27 化简 解 1 先求出F的对偶函数 并对其进行化简 2 求的对偶函数 便得F的最简或与表达式 3 6卡诺图化简法 3 6 1与或表达式的卡诺图表示 例3 28 用卡诺图表示下面的标准与或表达式 图3 4标准与或表达式的卡诺图 解 3 6 1与或表达式的卡诺图表示 例3 29 用卡诺图表示逻辑函数 解 图3 5非标准与或表达式的卡诺图例子 3 6 1与或表达式的卡诺图表示 例3 30 用卡诺图表示逻辑函数 图3 6非标准与或表达式的卡诺图 解 在变量A D取值均为00的所有方格中填入1 在变量B C取值分别为0 1的所有方格中填入1 其余方格中填入0 3 6 2与或表达式的卡诺图化简 1 卡诺图化简原理 图3 7逻辑相邻最小项的概念 3 6 2与或表达式的卡诺图化简 2 卡诺图化简的步骤 步骤1 对卡诺图中的 1 进行分组 并将每组用 圈 围起来 步骤2 由每个圈得到一个合并的与项 步骤3 将上一步各合并与项相加 即得所求的最简 与或 表达式 3 6 2与或表达式的卡诺图化简 例3 31 用卡诺图化简法求出逻辑函数 F A B C D m 2 4 5 6 10 11 12 13 14 15 的最简与或式 解 F A B C D 例3 32 某逻辑电路的输入变量为A B C D 它的真值表如表所示 用卡诺图化简法求出逻辑函数F A B C D 的最简与或表达式 解 表3 4真值表 图3 9例3 32的卡诺图 3 6 2与或表达式的卡诺图化简 例3 33 用卡诺图化简法求出逻辑函数 F A B C D m 0 2 3 4 6 8 10 11 12 14 的最简与或式 解 图3 10例3 33的卡诺图 F A B C D 3 6 3或与表达式的卡诺图化简 1 或与表达式的卡诺图表示 解 图3 11标准或与表达式的卡诺图 例3 34 用卡诺图表示下面的标准或与表达式 例3 35 用卡诺图化简下面或与表达式 解 图3 12例3 35的卡诺图 2 或与表达式的卡诺图化简 解 图3 13例3 36的卡诺图 3 6 4含无关项逻辑函数的化简 最小项表达式 或者 例3 36 化简下列函数 F A B C D m 0 3