直线与圆的位置关系(第五课时)三角形的内切圆.ppt

三角形的内切圆及其应用 已知 ABC 如图 求作 和 ABC的各边都相切的圆 作法 1 作 ABC ACB的平分线BM和CN 交点为I I D 例1作圆 使它和已知三角形的各边都相切 分析 2 过点I作ID BC 垂足为点D 3 以I为圆心 ID为半径作 I I就是所求的圆 D A E B C F O 1 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心叫做三角形的内心 这个三角形叫做圆的外切三角形 2 和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆 这个多边形叫做圆的外切多边形 读句画图 作直线m与 O相切于点D 作直线n与 O相切于点E 直线m和直线n相交于点A 以点O为圆心 1cm为半径画 O 作直线l与圆O相切于点F 直线l分别与直线m 直线n相交于点B C 三角形内心的性质 1 三角形的内心到三角形各边的距离相等 2 三角形的内心在三角形的角平分线上 1 三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等 2 三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上 三角形外心的性质 三角形三边中垂线的交点 1 OA OB OC2 外心不一定在三角形的内部 三角形三条角平分线的交点 1 到三边的距离相等 2 OA OB OC分别平分 BAC ABC ACB3 内心在三角形内部 o A B C 理由 点O是 ABC的内心 1 3 ABC ACB 1 ABC 3 ACB 180 90 A 180 A 90 A 90 A 答 BOC 90 A 4 试探索 A与 BOC之间存在怎样的数量关系 请说明理由 在 OBC中 BOC 180 1 3 B D E F O C A 如图 ABC的内切圆的半径为r ABC的周长为l 求 ABC的面积S 解 设 ABC的内切圆与三边相切于D E F 连结OA OB OC OD OE OF 则OD AB OE BC OF AC S ABC S AOB S BOC S AOC AB OD BC OE AC OF l r 设 ABC的三边为a b c 面积为S 则 ABC的内切圆的半径r 结论 三角形的内切圆的有关计算 A B C E D F O 如图 Rt ABC中 C 90 BC a AC b AB c O为Rt ABC的内切圆 求 Rt ABC的内切圆的半径r 设AD x BE y CE r O与Rt ABC的三边都相切 AD AF BE BF CE CD 解 设Rt ABC的内切圆与三边相切于D E F 连结OD OE OF则OA AC OE BC OF AB 结论 o 外切圆圆心 三角形三边垂直平分线的交点 外切圆的半径 交点到三角形任意一个定点的距离 三角形外接圆 三角形内切圆 内切圆圆心 三角形三个内角平分线的交点 内切圆的半径 交点到三角形任意一边的垂直距离 A A B B C C 例1 ABC的内切圆 O与BC CA AB分别相切于点D E F 且AB 9cm BC 14cm CA 13cm 求AF BD CE的长 解 设AF x cm BD y cm CE z cm AF 4 cm BD 5 cm CE 9 cm O与 ABC的三边都相切 AF AE BD BF CE CD 明确 1 一个三角形有且只有一个内切圆 2 一个圆有无数个外切三角形 3 三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点 4 三角形的内心到三角形三边的距离相等 分析 试说明圆的外切四边形的两组对边的和相等 A B C a b c r r a b c 2 例直角三角形的两直角边分别是5cm 12cm 则其内切圆的半径为 r O 已知 如图 在Rt ABC中 C 90 边BC AC AB的长分别为a b c 求求其内切圆O的半径长 2 E D 图 1 图 2 说出下列图形中圆与四边形的名称 四边形ABCD叫做 O的外切四边形 四边形ABCD叫做 O的内接四边形 O B A 探讨3 设 ABC是直角三角形 C 90 它的内切圆的半径为r ABC的各边长分别为a b c 试探讨r与a b c的关系 C c b a F E D r 结论 填空 1 三角形的内切圆能作 个 圆的外切三角形有 个 三角形的内心在圆的 2 如图 O是 ABC的内心 则 1 OA平分 OB平分 OC平分 2 若 BAC 100 则 BOC 1 无数 内部 BAC 140 ABC ACB 2 直角三角形的外接圆半径为5cm 内切圆半径为1cm 则此三角形的周长是 22cm 例3如图 朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑 以树立起文明古镇的形象 已知雕塑中心M到道路三边AC BC AB的距离相等 AC BC BC 30米 AC 40米 请你帮助计算一下 镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远 雕塑中心M到道路三边的距离相等 点M是 ABC的内心 连接AM BM CM 设 M的半径为r米 M分别切AC BC AB于点D E F 则MD AC ME BC MF AB 则MD ME MF r 在Rt ABC中 AC 40 BC 30 AB 50 ABC的面积为AC BC 40 30 600 又 ABC的面积为 AC MD BC ME AB MF 20r 15r 25r 60r 60r 600 r 10 答 镇标雕塑中心离道路三边的距离为10米 解 例4如图 E是圆内两弦AB和CD的交点 直线EF CB 交AD的延长线于点F FG切圆于点G 求证 1 DFE EFA 2 EF FG 证明 1 EF CB DEF DCB DCB和 DAB都是上的圆周角 DAB DCB DEF DFE EFA 公共角 DFE EFA 2 由 1 知 DFE EFA EF2 FA FD 又 FG是圆的切线 FG2 FA FD EF2 FG2 即FG EF 例5如图 两圆相交于A B两点 P为两圆公共弦AB上任意一点 从P引两圆的切线PC PD 求证 PC PD PC2 PA PB PD2 PA PB 证明 由切割线定理可得 PC2 PD2 即PC PD 例6如图 AB是 O的直径 过A B引两条弦AD和BE 相交于点C 求证 AC AD BC BE AB2 证明 连接AC AD 过C作CF AB 与AB交于F AB是 O的直径 AEB ADB 900 又 AFC 900 A F C E四点共圆 BC BE BF BA 1 同理可证F B D C四点共圆 AC AD AF AB 2 1 2 可得AC AD BC BE AB AF BF AB2 练习1 如图 过点A作 O的两条割线 分别交 O于B C和D E 已知AD 4 DE 2 CE 5 AB BC 求AB BD 练习2 如图 PA切 O于A PBC是 O的割线 已知 O的半径为8 PB 4 PC 9 求PA PO 1 本节课从实际问题入手 探索得出三角形内切圆的作法 2 通过类比三