二面角的几种求法

二二 面面 角角 的的 几几 种种 求求 法法 河北省武安市第一中学 李春杰 056300 摘要 摘要 在立体几何学习中 求二面角的大小是一个重点 更是一个难点 在每年的高考中 求二面角的大小 几乎成了必考的知识点 但学生却对这个知识点不太熟练 不知从何入手 更 不能站在一个高度去求二面角 因而我们将一些求角的方法加以归纳 总结 从而更好更准确地 解决问题 关键词 关键词 二面角 平面角 三垂线定理 空间向量 在高考中 立体几何占的分值比较大 学生觉得在学习的过程中有一定的难度 他们觉得 立几中要记的定义 定理 方法和基本图形比较多 再加上还要运用空间想象和空间思维能力 因此 空间立体几何对他们来说 真的有一定的难度 我们将有关二面角大小的方法加以归纳 为的是在以往有关解答此类问题时能有一定的解题技巧 方法 以便得心应手地面对各种有关的 题型 一 二面角定义的回顾 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角 二面角的大小是用二面角的平 面角来衡量的 而二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点 O 分别在两个半平面 l 内作射线 则为二面角的平面角 lBOlAO AOB l 二 二面角的通常求法 1 利用定义作出二面角的平面角 并设法求出其大小 利用定义作出二面角的平面角 并设法求出其大小 例 1 如图 空间四边形 ABCD 中 AB BC CD DA 对角线 AC BD 求二面角aa2a A BD C 的大小 解解 取 BD 的中点为 O 分别连接 AO CO O A B l 222 0 0 2 2 2 2 2 2 22 22 90 90 ABAD BCCD AOBD COBD AOCABDC ABADa BDa AOaBCCDa BDa OCa a OAa ACa OAOCAC AOC ABDC A 为二面角的平面角 在AO C 中 O C 即二面角为的二面角 2 三垂线定理 逆定理 法三垂线定理 逆定理 法 由二面角的一个面上的斜线 或它的射影 与二面角的棱垂直 推得它位于二面角的另一的 面上的射影 或斜线 也与二面角的棱垂直 从而确定二面角的平面角 例 2 如图 在底面为直角梯形的四棱锥中 PABCD ADBC 90 ABC平面 PA BC 6 ABC32 2 4 ABADPA 求证 求二面角BDPAC 平面 的大小 DBDP 解 平面 平面 PA ABCDBD ABCD BDPA 又 3 tan 3 AD ABD AB tan3 BC BAC AB 即 30ABD 60BAC 90AEB BDAC 又 平面 PAACA BD PAC 过作 垂足为 连接 EEFPC FDF 平面 是在平面上的射影 由三垂线定理知 DE PACEFDFPACPCDF 为二面角的平面角 EFD APCD 又 9030DACBAC sin1DEADDAC sin3AEABABE 又 4 3AC 3 3EC 8PC A O DB C A E D P C B F 由得 RtRtEFCPAC 3 3 2 PA EC EF PC A 在中 RtEFD 2 3 tan 9 DE EFD EF 2 3 arctan 9 EFD 二面角的大小为 APCD 2 3 arctan 9 3 3 平移或延长 展 线 面 法平移或延长 展 线 面 法 将图形中有关线段或平面进行平移或延长 展 以其得到二面角的两个平面的交线 例 3 正三角形 ABC 的边长为 10 A 平面 B C 在平面 的同侧 且与 的距离分别 是 4 和 2 求平面 ABC 与 所成的角的正弦值 解 设 E F 分别为 B C 的射影 连 EF 并延长交 BC 延长线于 D 连 AD AE E F 是 B C 射影 BE 丄 CF 丄 BE CF 又 CF BE B 2 1 C 是 BD 的中点 BC DC C ABC 是正三角形 B BCA BAC 60 又 ACB ACD 180 E F D ACD 120 又 AC DC A CAD CDA 30 又 BAD BAC CAD BAD 90 BA 丄 AD 又 AE 是 AB 在平面 上的射影 AE AD 又 BA AD 平面 ABC 平面 A BAE 是平面 ABC 与 所成的角 BE 平面 BE AE ABC 是 Rt Sin BAE BE AB 即平面 ABC 与 所成角的正弦值为 5 2 5 2 4 射影公式 射影公式 由公式 S射影 S斜面cos 作出二面角的平面角直接求 出 运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在 有关平面上的射影 而且它们的面积容易求得 例 4 如图 设 M 为正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 CC1的 中点 求平面 BMD 与底面 ABCD 所成的二面角的大小 解 解 D1D 面 ABCD C1C 面 ABCD BMD1在底 面上的射影为 BDC 设正方体的棱长 a 则 S BCD a BD1 a 2 12 3 所以 MH a S BMD1 a 2 2 4 6 2 由 S BDC S BMD1cos 得 arccos 3 6 5 找 作 公垂面法 找 作 公垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直 因此公垂面与两个面的交线所成的 角 就是二面角的平面角 例 5 如图 已知 PA 与正方形 ABCD 所在平面垂直 且 AB PA 求平面 PAB 与平面 PCD 所 成的二面角的大小 解解 PA 平面 ABCD PA CD 又 CD AD 故 CD 平面 PAD P 而 CD 平面 PCD A D 所以 平面 PCD 平面 PAD 同理可证 平面 PAB 平面 PAD B C 因为 平面 PCD 平面 PAD PD 平面 PAB 平面 PAD PA 所以 PA PD 与所求二面角的棱 均垂直 即 APD 为所求二面角的平面角 且 APD 45 6 化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 例 6 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 点 E F 分别在 BB1 DD1上 且 AE A1B AF A1D 1 求证 A1C 平面 AEF 若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角 或直角 则在空间中有定 A H M D1 C1 B1 A1 B CD 理 若两条直线分别垂直于两个平面 则这两条直线所成的角与这两个平面所成角的大小相若两条直线分别垂直于两个平面 则这两条直线所成的角与这两个平面所成角的大小相 等 等 试根据上述定理 在 AB 4 AD 3 AA1 5 时 D1 C1 求平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成角的大小 用反三 B1 A1 角函数值表示 F E 解 解 1 A1B BC 即 A1B 是 A1C 的射影 D C 又 A1B AE A1C AE A G B 同理 A1C AF A1C 平面 AEF 2 的解法如下 过 C 作 BD 的垂线交 AB 于 G 又 D1D CG 故 CG 平面 BB1D1D 而 A1C 平面 AEF 1 已证 设 CG 与 A1C 所成的角为 则 即为平面 BB1D1D 与平面 AEF 所成的角 Sin BCG Sin ABD 5 3 Cos BCG GC 5 4 4 15 BG AG 4 9 4 7 A1G A1A AG 222 16 449 A1C AB AD AA1 50 2222 在 A1CG 中 由余弦定理得 Cos A1CG 25 212 由上述定理知平面 BB1D1D 与平面 AEF 所成的角大小为 arccos 25 212 7 空间向量法空间向量法 例 7 如图 正四棱柱中 点在上 1111 ABCDABC D 1 24AAAB E 1 CC 且 ECEC3 1 A B CD E A1 B1 C1 D1 证明 平面 1 AC BED 求二面角的大小 1 ADEB 解在 以为坐标原点 射线为轴的正半轴 DDAx 建立如图所示直角坐标系 Dxyz 依题设 1 2 2 0 0 2 0 0 21 2 0 4 BCEA 0 21 2 2 0 DEDB 11 2 24 2 0 4 ACDA 因为 1 0AC DB A 1 0AC DE A 故 1 ACBD 1 ACDE 又 DBDED 所以平面 1 AC DBE 设向量是平面的法向量 则 xyz n 1 DAE DE n 1 DA n