空间向量与立体几何经典题型

共 24 页 第 1 页 例题例题 1 1 已知三点不共线 对平面外任一点 满足条件 A B C 122 555 OPOAOBOC 试判断 点与是否一定共面 P A B C 分析分析 要判断点与是否一定共面 即是要判断是否存在有序实数对 使P A B C x y 或对空间任一点 有 APxAByAC OOPOAxAByAC 解 由题意 522OPOAOBOC 2 2 OPOAOBOPOCOP 即 22APPBPC 22PAPBPC 所以 点与共面 P A B C 点评点评 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候 首先要选择恰当 的充要条件形式 然后对照形式将已知条件进行转化运算 例题例题 2 2 如图 已知矩形和矩形所在平面互相垂直 点 分别在对ABCDADEFMN 角线 上 且 求证 平面 BDAE 1 3 BMBD 1 3 ANAE MNCDE 分析分析 要证明平面 只要证明向量可以用平面内的两个不共线的 MNCDENM CDE 向量和线性表示 DE DC 证明 如图 因为在上 且 所以MBD 1 3 BMBD 同理 111 333 MBDBDAAB 11 33 ANADDE 又 所以CDBAAB MNMBBAAN 1111 3333 DAABBAADDE 又与不共线 21 33 BADE 21 33 CDDE CD DE 根据共面向量定理 可知 共面 由于MN CD DE 不在平面内 所以平面 MNCDE MNCDE 点评点评 空间任意的两向量都是共面的 考点二考点二 证明空间线面平行与垂直证明空间线面平行与垂直 例题例题 3 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC 3 BC 4 AA1 4 点 D 是 AB 的中点 I 求证 AC BC1 II 求证 AC 1 平面 CDB1 分析分析 1 证明线线垂直方法有两类 一是通过三垂线定理或逆定理证明 二是通过线面 共 24 页 第 2 页 转化 转化 垂直来证明线线垂直 2 证明线面平行也有两类 一是通过线线平行得到线面平行 二 是通过面面平行得到线面平行 解法一解法一 I 直三棱柱 ABC A1B1C1 底面三边长 AC 3 BC 4AB 5 AC BC 且 BC1在平面 ABC 内的射影为 BC AC BC1 II 设 CB1与 C1B 的交点为 E 连结 DE D 是 AB 的中点 E 是 BC1的中点 DE AC1 DE平面 CDB1 AC1平面 CDB1 AC1 平面 CDB1 解法二 解法二 直三棱柱 ABC A1B1C1底面三边长 AC 3 BC 4 AB 5 AC BC C1C 两两垂直 如图 以 C 为坐标原点 直线 CA CB C1C 分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 则 C 0 0 0 A 3 0 0 C1 0 0 4 B 0 4 0 B1 0 4 4 D 2 0 2 3 1 3 0 0 0 4 0 0 AC BC1 AC 1 BCAC 1 BC 2 设 CB1与 C1B 的交战为 E 则 E 0 2 2 0 2 DE 2 3 3 0 4 DE AC1 1 AC 1 2 1 ACDE 点评 点评 平行问题的转化 面面平行线面平行线线平行 主要依据是有关定义及判定定理和性质定理 例题例题 4 北京市东城区北京市东城区 2007 年综合练习 年综合练习 如图 在棱长为 2 的正方体 ABNBCMBDODCBAABCD为的中点为的中点为中 11111 的中点 P 为 BB1的中点 I 求证 CBBD 11 II 求证 MNPBD平面 1 III 求异面直线所成角的大小 MCOB 11 与 分析分析 本小题考查直线与平面垂直 二面角等基础知识 考查空间想象能力和推理论证能 力 A B C A 1 B 1 C 1 E x y z 共 24 页 第 3 页 解法一 I 连结 BC1 由正方体的性质得 BC1是 BD1在 平面 BCC1B1内的射影 11 BCCB 且 所以CBBD 11 II 又 MPMMN 1 MNPBD平面 III 延长OQQBBMBQQCB 1 连结使到 11 1111 MCQB BCQMBCQM 且则 111 所成的角与是异面直线MCOBQOB 由于正方体的棱长为 2 15 15 532 6 5 3 cos 6 5 3 222 1 2 1 2 1 1 22 111 QOB QOOOOQ OABCD BQBBQBOB 可求得 的中点为设底面 则 即异面直线所成角的大小为 arccos MCOB 11 与 15 15 解法二 I 如图建立空间直角坐标系 则 B 2 2 0 C 0 2 0 B1 2 2 2 D1 0 0 2 2 0 2 2 2 2 1 1 DB BD 3 分 CBBD CBBD 11 11 0 404 CBBD 11 II 0 1 2 1 2 2 0 2 1 NPM 共 24 页 第 4 页 0022 0202 0 1 1 1 0 1 11 MNBDMPBD MNMP 11 MPMMN MPBDMNBD 又 MNPBD平面 1 III 所成的角为与设异面直线MCOBCO 111 2 2 0 1 1 1 2 0 1 1 1 1 11 MCOB则 1 2 1 0 1 11 11 MCOB 5 15 53 1 cos 11 11 MCOB MCOB 即异面直线所成角的大小为 arccsoMCOB 11 与 5 15 点评 点评 证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直即可 这些从本题证法中都能 十分明显地体现出来 考点三考点三 求空间图形中的角与距离求空间图形中的角与距离 根据定义找出或作出所求的角与距离 然后通过解三角形等方法求值 注意 作 证 算 的有机统一 解题时注意各种角的范围 异面直线所成角的范围是 0 90 其 方法是平移法和补形法 直线与平面所成角的范围是 0 90 其解法是作垂线 找 射影 二面角 0 180 其方法是 定义法 三垂线定理及其逆定理 垂面 法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 另也可借助空间向量求这三种角的大小 例题例题 5 河南省开封市 2007 届高三年级第三次质量检测 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 1 AD DC 3 1 求直线 A1C 与 D1C1所成角的正切值 2 在线段 A1C 上有一点 Q 且 C1Q C1A1 求平面 QDC 与平面 A1DC 所成锐二面 3 1 角的大小 分析 分析 求线面角关键是作垂线 找射影 求异面直线所成的角采用平移法 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求二面角的大 小也可应用面积射影法 向量法办 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法一 I 11 CDDC 共 24 页 第 5 页 为异面直线 A C 与 D1C 所成的角CDA1 11 连 A D 在 Rt A DC 中 CD A D 2 11 3 1 3 32 tan 1 CDA II 过 Q 作 EF 在平面 A C 内 使 EF A B 1111 CDEF 连 B1C CF DF 面 EFCD 即平面 QDC 面 A1B1CD 即平面 A1DC 即为二面角 A1 DC Q 的平面角 1 11 CFDCCBDC BBCCDC 面 CFB1 QFCACQC 1111 3 1 2 1 1 1 1 1 1 QA QC EA FC QEA 22 11111 22 11 11 1 32 32 3 2 333 3 cos 22 C FB FBCCFCCC F CBCFB F BCFBCF CB CF 又 在中 即所求二面角大小为 30 30 1 CFB 解法二 I 同解法一 I II 建立空间直角坐标系 的一个法向量分别为平面设平面 则 QCDCDA QACQC CACD 1 3 32 3 3 3 1 1 3 0 1 0 3 0 3 0 0 0 0 1 111 11 3 3 1 0 3 3 0 0 0 3 0 1 3 1 03 0 0 0 22 22 2 2 2 1 11 11 1 11 1 22221111 zx zx y DQn DCn n zx zx y DAn DCn zyxnzyxn 令 由 令 由 共 24 页 第 6 页 3 3 0 1 2 n 6 2 3 3 2 2 11 cos 21 21 21 21 nn nn nn nn 即平面QDC与平面A1DC所成锐二面角为 6 点评点评 本题主要考查异面直线所成的角 线面角及二面角的一般求法 综合性较强 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 用 平移法求异面直线所成的角 利用三垂线定理求作二面角的平面角 是常用的方法 例题例题 6 福建省福州三中 2008 届高三第三次月考 如图 正三棱柱的所 111 ABCABC 有棱长都是 是棱的中点 是棱的中点 交于点2DACE 1 CCAE 1 AD H 1 求证 1 AEABD 平面 2 求二面角的大小 用反三角函数表示 1 DBAA 3 求点到平面的距离 1 B 1 ABD 分析分析 本题涉及立体几何线面关系的有关知识 本题实质上求解角度和距离 在求此类问题 中 要将这些量处于三角形中 最好是直角三角形 这样有利于问题的解决 此外用向量也 是一种比较好的方法 解答 1 证明 建立如图所示 0 2 1 0 1 2 1 DAAE 3 0 0 BD 022 1 DAAE 0 3 000 BDAE BDAEDAAE 1 即 AE A1D AE BD AE 面 A1BD 2 设面 DA1B 的法向量为 1111 zyxn 由 取 02 0 3 0 0 11 1 111 yx z BDnDAn 1 2 1 0 n E H D B C A C1 A1 B1 共 24 页 第 7 页 设面 AA1B 的法向量为 0 0 12122222 AAnBAnzyxn 则由 3 0 3 02 032 2 2 222 n y zyx 取 5 15 125 6 21 nn 由图可知二面角 D BA1 A 为锐角 它的大小为 arcos 5 15 3 平面 A1BD 的法向量取 0 2 0 1 BB 0 1 2 1 n 则 B1到平面 A1BD 的距离 d 5 52 5 2 1 11 n nBB 点评 点评 立体几何的内容就是空间的判断 推理 证明 角度和距离 面积与体积的计算 这是立体几何的重点内容 本题实质上求解角度和距离 在求此类问题中 尽量要将这些量处 于三角形中 最好是直角三角形 这样计算起来 比较简单 此外用向量也是一种比较好的方 法 不过建系一定要恰当 这样坐标才比较好写出来 考点四考点四 探索性问题探索性问题 例题例题 7 7 2007 安徽安徽 文文 如图 在三棱锥中 VABC VCABC 底面ACBC 是的中点 且 DABACBCa 0 2 VDC I 求证 平面平面 VAB VCD II 试确定角的值 使得直线与平面所成的角为 BCVAB 6 解法 1 是等腰三角形 又是的中点 ACBCa ACB DAB 又底面 于是平面 CDAB VC ABCVCAB AB VCD 又平面 平面平面 AB VAB VAB VCD 过点在平面内作于 则由 知平面 CVCDCHVD HCD VAB 连接 于是就是直线与平面所成的角 BHCBH BCVAB 依题意 所以 6 CBH 在中 CHDRt 2 sin 2 CHa 在中 BHCRt sin 62 a CHa A 共 24 页 第 8 页 2 sin 2 0 2 4 故当时 直线与平面所成的角为 4 BCVAB 6 解法 2 以所在的直线分别为轴 轴 轴 建立如图所示的空CACBCV xyz 间直角坐标系 则 2 0 0 0 0 0 00 00 0tan 2 22 a a CA aBaDVa 于是 2 tan 2 22 a a VDa 0 2 2 a a CD 0 ABaa 从而 即 22 11 0 000 2 222 a a AB CDaaaa ABCD 同理 22 211 0 tan00 2 2222 a a AB VDaaaaa 即 又 平面 ABVD CDVDD AB VCD 又平面 AB VAB 平面平面 VAB VCD 设平面的一个法向量为 VAB xyz n 则由 00ABVD nn 得 0 2 tan0 222 axay aa xyaz 可取 又 112cot n 00 BCa 于是 2 2 sinsin 62 22cot BCa BCa n n 即 2 sin 2 0 2 4 故交时 直线与平面所成的角为 4 BCVAB 6 A D B C V x y z 共 24 页 第 9 页 解法 3 以点为原点 以所在的直线分别为轴 轴 建立如图所DDCDB xy 示的空间直角坐标系 则 222 0 0 0 00000 0 222 DAaBaCa 于是 22 0tan 22 Vaa 22 0tan 22 DVaa 2 0 0 2 DCa 02 0 ABa 从而 即 02 0 AB DCa 2 0 00 2 a ABDC 同理 即 22 02 0 0tan0 22 AB DVaaa ABDV 又 平面 DCDVD AB VCD 又平面 AB VAB 平面平面 VAB VCD 设平面的一个法向量为 VAB xyz n 则由 得00ABDV nn 20 22 tan0 22 ay axaz 可取 又 tan01 n 22 0 22 BCaa 于是 2 2 tan 2 2 sinsin 62 1tan a BC BCa n n 即 sin0 224 故交时 4 即直线与平面所成角为 BCVAB 6 考点五考点五 折叠 展开问题折叠 展开问题 例题例题8 8 2006 年辽宁高考 年辽宁高考 已知正方形 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 分别是 的中点 将ABCDEFABCD 沿折起 如图所示 记二面ADEADE A D B C V x y 共 24 页 第 10 页 角的大小为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ADEC 0 I 证明平面 BFAD E II 若为正三角形 试判断点在平面内的射影是否在直线上 证ACDAABCDEGEF 明你的结论 并求角的余弦值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 分析分析 充分发挥空间想像能力 抓住不变的位置和数量关系 借助模型图形得出结论 并给 出证明 解析 I 证明 EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB CD 的中点 EB FD 且 EB FD 四边形 EBFD 为平行四边形 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 BF ED 平面 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 EFAEDBFAED 平面而平面 BFAD E II 如右图 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE 垂足为 G 连结 GC GD 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ACD 为正三角形 AC AD CG GD G 在 CD 的垂直平分线上 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H 连结 AH 则 所以为二面角 A DE C 的AHDE AHD 平面角 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 即 GAH 设原正方体的边长为 2a 连结 AF 在折后图的AEF 中 AF EF 2AE 2a 即AEF 3a 为直角三角形 AG EFAE AF 在 RtADE 中 3 2 AGa AH DEAE AD 2 5 AHa 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 5 a GH 1 cos 4 GH AH 点评 点评 在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中 一般来说 位于同一平面内的几何 元素相对位置和数量关系不变 位于两个不同平面内的元素 位置和数量关系要发生变化 翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线 考点六考点六 球体与多面体的组合问题球体与多面体的组合问题 共 24 页 第 11 页 例题例题 9 设棱锥 M ABCD 的底面是正方形 且 MA MD MA AB 如果 AMD 的面 积为 1 试求能够放入这个棱锥的最大球的半径 分析 关键是找出球心所在的三角形 求出内切圆半径分析 关键是找出球心所在的三角形 求出内切圆半径 解 解 AB AD AB MA AB 平面 MAD 由此 面 MAD 面 AC 记 E 是 AD 的中点 从而 ME AD ME 平面 AC ME EF 设球 O 是与平面 MAD 平面 AC 平面 MBC 都相切的球 不妨设 O 平面 MEF 于是 O 是 MEF 的内心 设球 O 的半径为 r 则 r MFEMEF S MEF 2 设 AD EF a S AMD 1 ME MF a 2 22 2 a a r 1 22 2 2 2 a a a a 222 2 2 当且仅当 a 即 a 时 等号成立 a 2 2 当 AD ME 时 满足条件的球最大半径为 1 22 点评 点评 涉及球与棱柱 棱锥的切接问题时一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面 把 空间问题化归为平面问题 再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系 注意多边形 内切圆半径与面积和周长间的关系 多面体内切球半径与体积和表面积间的关系 一 一 方法总结方法总结 1 位置关系 1 两条异面直线相互垂直 证明方法 证明两条异面直线所成角为 90 证明两条异面直线的方向量相互垂 1 2 直 2 直线和平面相互平行 证明方法 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行 证明这条直线的方向量 1 2 和这个平面内的一个向量相互平行 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂 3 共 24 页 第 12 页 直 3 直线和平面垂直 证明方法 证明直线和平面内两条相交直线都垂直 证明直线的方向量与这个平 1 2 面内不共线的两个向量都垂直 证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行 3 4 平面和平面相互垂直 证明方法 证明这两个平面所成二面角的平面角为 90 证明一个平面内的一条 1 2 直线垂直于另外一个平面 证明两个平面的法向量相互垂直 3 2 求距离 求距离的重点在点到平面的距离 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点 到平面的距离 一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离 1 两条异面直线的距离 求法 利用公式 其中 A B 分别为两条异面直线上的一点 为这两 n nAB d n 条异面直线的法向量 2 点到平面的距离 求法 一找二证三求 三步都必须要清楚地写出来 等体积法 向量法 利 1 2 3 用公式 其中 A 为已知点 B 为这个平面内的任意一点 这个平面的法 n nAB d n 向量 3 求角 1 两条异面直线所成的角 求法 先通过其中一条直线或者两条直线的平移 找出这两条异面直线所成的角 1 然后通过解三角形去求得 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得 但是注意到异 2 面直线所成角得范围是 向量所成的角范围是 如果求出的是钝角 要注意 2 0 0 转化成相应的锐角 2 直线和平面所成的角 求法 一找二证三求 三步都必须要清楚地写出来 向量法 先求直线的方向 1 2 共 24 页 第 13 页 量于平面的法向量所成的角 那么所要求的角为或 22 3 平面与平面所成的角 求法 一找二证三求 找出这个二面角的平面角 然后再来证明我们找出来的这 1 个角是我们要求的二面角的平面角 最后就通过解三角形来求 通过射影面积来求 2 在其中一个平面内找出一个三角形 然后找这个三角形在另外一个平面 原 射影 S cos S 的射影 那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为 cos 注意到我们要求的 角为 或 向量法 先求两个平面的法向量所成的角为 那么这两个平面所 3 成的二面角的平面角为 或 我们现在来解决立体几何的有关问题的时候 注意到向量知识的应用 如果可以比较 容易建立坐标系 找出各点的坐标 那么剩下的问题基本上就可以解决了 如果建立坐标 系不好做的话 有时求距离 角的时候也可以用向量 运用向量不是很方便的时候 就用 传统的方法了 4 解题注意点 1 我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题 但是当运用向量不是很方便的 时候 传统的解法我们也要能够运用自如 2 我们如果是通过解三角形去求角 距离的时候 做到 一找二证三求 解题的 过程中一定要出现这样一句话 是我们所要求的角 线段 AB 的长度就是我们所要 求的距离 等等 让人看起来一目了然 3 用向量来求两条异面直线所成角时 若求出 cos x 则这两条异面直线所成 的角为 arccos x 4 在求直线与平面所成的角的时候 法向量与直线方向量所成的角或者法向量与 直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余 所以要或 若求出的角 22 为锐角 就用 若求出的钝角 就用 22 5 求平面与平面所成角的时 若用第 种方法 先要去判断这个二面角的平面 2 3 角是钝角还是锐角 然后再根据我们所作出的判断去取舍 二 二 强化训练强化训练 一 一 选择题选择题 1 1 空间有四个点 如果其中任意三个点都不在同一条直线上 那么经过其中三个点的平面 共 24 页 第 14 页 A 可能有 3 个 也可能有 2 个 B 可能有 4 个 也可能有 3 个 C 可能有 3 个 也可能有 1 个 D D 可能有 可能有 4 4 个 也可能有个 也可能有 1 1 个个 2 2 下列命题中正确的个数是 三角形是平面图形 四边形是平面图形 四边相等的四边形是平面图形 矩形一定是平面图形 A 1 个 B B 2 2 个个 C 3 个 D 4 个 3 设 a b 是两条不同的直线 是两个不同的平面 则下列四个命题 若 若 baba则 aa则 aa则 则若 baba 其中正确的命题的个数是 A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 4 如图所示 已知正四棱锥 S ABCD 侧棱长为 底2 面边长为 E 是 SA 的中点 则异面直线 BE 与 SC3 所成角的大小为 A 90 B 60 C 45 D 30 5 设有如下三个命题 甲 相交直线 m 都在平面 内 并且都不在平面 内 乙 l 直线 m 中至少有一条与平面 相交 丙 平面 与平面 相交 l 当甲成立时 A 乙是丙的充分而不必要条件 B 乙是丙的必要而不充分条件 C 乙是丙的充分且必要条件 D 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 共 24 页 第 15 页 6 6 若a b l是两两异面的直线 a与b所成的角是 l与a l与b所成的角都是 3 则的取值范围是 A B C D 6 5 6 2 3 6 5 3 2 6 7 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 底面是边长为 2 的正方形 高为 4 则点 A1到截面 AB1D1的距离是 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 8 8 3 3 4 4 3 8 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 在直二面角 l 中 直线 a 直线 b a b 与 l 斜交 则 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a 不和 b 垂直 但可能 a b B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a 可能和 b 垂直 也可能 a b C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a 不和 b 垂直 a 也不和 b 平行 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a 不和 b 平行 但可能 a b 9 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M 为 DD1的中点 O 为底面 ABCD 的中心 P 为棱 A1B1上任意一点 则直线 OP 与直线 AM 所成的角是 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 6 4 3 2 10 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 O 是底面 A1B1C1D1的中心 则 O 到平面 AB C1D1的距离为 B A B C D 2 1 4 2 2 2 2 3 11 ABC 的顶点 B 在平面 a 内 A C 在 a 的同一侧 AB BC 与 a 所成的角分别是 30 和 45 若 AB 3 BC 24 AC 5 则 AC 与 a 所成的角为 A 60 B 45 C 30 D 15 12 矩形 ABCD 中 AB 4 BC 3 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D 则 四面体 ABCD 的外接球的体积为 A B C D 12 125 9 125 6 125 3 125 二 二 填空题填空题 13 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 X Y Z 是空间不同的直线或平面 对下面四种情形 使 X Z 且 Y ZX Y 为真命题的是 填序号 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 X Y Z 是直线 X Y 是直线 Z 是平面 Z 是直线 X Y 是平面 X Y Z 是平面 14 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 已知 AOB 90 过 O 点引 AOB 所在平面的斜线 OC 与 OA OB 分别成 45 60 则以 OC 为棱的二面角 A OC B 的余弦值等于 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 A1 C A1 B A1 A A1 B1 C1 D1 D A1 O A1 共 24 页 第 16 页 P A B C D D 1 A 1 B 1 C 1 1 1 4 4 1 第 18 题图 15 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2 3 则这个三棱锥的侧面和底面所成二面 角的度数为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 16 空间四点A B C D中 每两点所连线段的长都等于a 动点P在线段AB上 动点 Q在线段CD上 则P与Q的最短距离为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 一 解答题 17 已知 从平面外一点引向量ABCDAACO OEkOA OFKOB OGkOC OHkOD 1 求证 四点共面 E F G H 2 平面平面 AC EG 18 如图 是正四棱锥 是正方PABCD 1111 ABCDABC D 体 其中 2 6ABPA 求证 11 PAB D 求平面与平面所成的锐二面角的大PAD 11 BDD B 小 求到平面的距离 1 BPAD 19 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 侧 棱 PA 垂直于底面 E F 分别是 AB PC 的中 点 1 求证 平面 PAD EF 2 当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大二面角时 直线平面 PCD EF 20 安徽省合肥市 2007 年高三第三次教学质量检测 已知 在如图所示的几何体 ABCED 中 EC 面 ABC DB 面 ABC CE CA CB 2DB ACB 90 M 为 AD 的中点 1 证明 EM AB 2 求直线 BM 和平面 ADE 所成角的大小 21 山东省济宁市 山东省济宁市 2006 2007 学年度高三年级第一次摸底考学年度高三年级第一次摸底考 试 试 如图 四面体 C ABD CB CD AB AD BAD 90 E F 分别是 BC AC 的中点 求证 AC BD O A B C D H F G E 共 24 页 第 17 页 如何在 AC 上找一点 M 使 BF 平面 MED 并说明理由 若 CA CB 求证 点 C 在底面 ABD 上的射影是线段 BD 的中点 22 广东省惠州市 广东省惠州市 2008 届高三第二次调研 届高三第二次调研 正方体 E 为 1111 ABCD A B C D 1 AA 2 棱的中点 1 CC 求证 11 B DAE 求证 平面 AC 1 B DE 求三棱锥的体积 A BDE 强化训练题答案强化训练题答案 1 答案 D 解析 解析 分类 第一类 四点共面 则有一个平面 第二类 四点不共面 因 为没有任何三点共线 则任何三点都确定一个平面 共有 4 个 2 2 答案 B 解析 解析 命题 是正确的 因为三角形的三个顶点不共线 所以这三点确定 平面 命题 是错误 因平面四边形中的一个顶点在平面的上 下方向稍作运动 就形成了空间 四边形 命题 也是错误 它是上一个命题中比较特殊的四边形 命题 是正确的 因为矩形必须是平行四边形 有一组对边平行 则确定了一个平面 3 答案 B 解析 解析 注意 中 b 可能在 上 中 a 可能在 上 中 b 或 均有 b 故只有一个正确命题 4 答案 B 解析 解析 平移 SC 到 运用余弦定理可算得B S 2 BSESBE 5 答案 C 解析 解析 当甲成立 即 相交直线 m 都在平面 内 并且都不在平面 l 内 时 若 m 中至少有一条与平面 相交 则 平面 与平面 相交 成立 l 若 平面 与平面 相交 则 m 中至少有一条与平面 相交 也成立 l 6 答案 D 解析 解析 当l与异面直线a b所成角的平分线平行或重合时 a取得最小值 当l与a b的公垂线平行时 a取得最大值 6 2 A 1 D 1 C 1 B 1 A E D C B 共 24 页 第 18 页 7 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 答案 C 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设 A 1C1 B1D1 O1 B1D1 A1O1 B1D1 AA1 B1D1 平面 AA1O1 故平面 AA1O1 AB1D1 交线为 AO1 在面 AA1O1内过 A1作 A1H AO1于 H 则易 知 A1H 长即是点 A1到平面 AB1D1的距离 在 Rt A1O1A 中 A1O1 AO1 3 由22 A1O1 A1A h AO1 可得 A1H 3 4 8 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 答案 C 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 如图 在 l 上任取一点 P 过 P 分别在 内作 a a b b 在 a 上任取一点 A 过 A 作 AC l 垂足 为 C 则 AC 过 C 作 CB b 交 b 于 B 连 AB 由三垂线定理 知 AB b APB 为直角三角形 故 APB 为锐角 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 9 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 答案 D 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 特殊位置法 将 P 点取为 A 1 作 OE AD 于 E 连结 A1E 则 A1E 为 OA1的射影 又 AM A1E AM OA1 即 AM 与 OP 成 90 角 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 答案 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 D 10 答案 B 解析 取 B1C1的中点 M 连 B1C 交 BC1于 取C1的中点 N 连 O O MN 则 MN又在正方体 ABCD A1B1C1D1中 OM 平行于平面 ABC1D1 则 O 到平面 1 BC ABC1D1距离转化为 M 到平面 ABC1D1的距离 即 MN 故选 B 4 2 11 答案 C 解析 如图 AE 平面 于 E CD 平面 于 D EF AC EF 交 CD 于 F 则 ABE 300 CBD 450 由此得 CD 4 AE 1 5 EF 2 5 而 EF AC 5 FED 300 即 AC 与 平面 所成的角为 300 选 C 12 答案 C 解析 连接矩形 ABCD 的对角线 AC BD 交于 O 则 AO BO CO DO 则 O 为四面体 ABCD 的外接球的圆心 因此四面体 ABCD 的外 接球的半径为 体积为 选 C 5 2 3 45125 326 13 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 答案 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 是假命题 直线 X Y Z 位于正方体的三条共点棱时为反 例 是真命题 是假命题 平面 X Y Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 14 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 答案 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 在 OC 上取一点 C 使 OC 1 过 C 分别作 CA OC 交 3 3 OA 于 A CB OC 交 OB 于 B 则 AC 1 OA BC OB 2 Rt AOB 中 23 AB2 6 ABC 中 由余弦定理 得 cosACB 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 答案 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 3 3 3 15 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 答案 60 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设一个侧面面积为 S 1 底面面积为 S 则这个侧面在底面上 射影的面积为 由题设得 设侧面与底面所成二面角为 则 cos 3 S 3 2 1 S S 60 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 答案 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 60 2 1 3 3 1 11 S S S S P a b b a C B A A B C E D F 共 24 页 第 19 页 16 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 答案 a 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 以 A B C D 为顶点的四边形为空间四边形 且为正四面 2 2 体 取 P Q 分别为 AB CD 的中点 因为 AQ BQ a PQ AB 2 2 同理可得 PQ CD 故线段 PQ 的长为 P Q 两点间的最短距离 在 Rt APQ 中 PQ a 答案 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a 2 2 2 2 3 2222 a aAPAQ 2 2 17 解 1 四边形是平行四边形 ABCDACABAD EGOGOE k OCk OAk OCOAkACk ABAD k OBOAODOAOFOEOHOE EFEH 共面 E F G H 2 又 EFOFOEk OBOAk AB EGk AC EFAB EGAC 所以 平面平面 ACEG 18 解 连结 AC 交 BD 于点 O 连结 PO 则 PO 面 ABCD 又 ACBD PABD 11 BDB D 11 PAB D AO BD AO PO AO 面 PBD 过点 O 作 OM PD 于点 M 连结 AM 则 AM PD AMO 就是二面角A PD O的平面角 又 AO PO 2 6ABPA 2226 222 63 PO OD OM PD 26 tan 2 2 3 AO AMO OM 即二面角的大小为 6 arctan 2 用体积法求解 即有 11 BPADA B PD VV 1 11 33 xPADB PD h SAO S AA 解得 11 1111 252 3232 xBDBPBDPBB hSSS A A AAA A 6 5 5 x h 即到平面 PAD 的距离为 1 B 6 5 5 19 证 1 取 CD 中点 G 连结 EG FG 共 24 页 第 20 页 E F 分别是 AB PC 的中点 EG AD FG PD 平面 EFG 平面 PAD EF 平面 PAD 2 当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45 角时 直线 EF 平面 PCD 证明 G 为 CD 中点 则 EG CD PA 底面 ABCD AD 是 PD 在平面 ABCD 内的射影 CD 平面 ABCD 且 CD AD 故 CD PD 又 FG PD FG CD 故 EGF 为平面 PCD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角 即 EGF 45 从而得 ADP 45 AD AP 由 Rt PAE Rt CBE 得 PE CE 又 F 是 PC 的 中点 EF PC 由 CD EG CD FG 得 CD 平面 EFG CD EF 即 EF CD 故 EF 平面 PCD 20 解法一 1 如图 以 C 为原点 CA CB CE 所在的射线为 x y z 轴建立空间直角坐标系 不妨设 BD 1 则 E 0 0 2 A 2 0 0 D 0 2 1 B 0 2 0 由 M 是 AD 的中点 得 M 2 1 1 1 0 2 2 2 3 1 1 ABEM ABEMABE