全等三角形培优竞赛训练题

1 全等三角形培优竞赛训练题全等三角形培优竞赛训练题 1 已知正方形 已知正方形 ABCD 中 中 E 为对角线为对角线 BD 上一点 过上一点 过 E 点作点作 EF BD 交交 BC 于于 F 连 连 接接 DF G 为为 DF 中点 连接中点 连接 EG CG 1 直接写出线段 直接写出线段 EG 与与 CG 的数量关系 的数量关系 2 将图 将图 1 中中 BEF 绕绕 B 点逆时针旋转点逆时针旋转 45 如图 如图 2 所示 取所示 取 DF 中点中点 G 连接 连接 EG CG 你在 你在 1 中得到的结论是否发生变化 写出你的猜想并加以证明 中得到的结论是否发生变化 写出你的猜想并加以证明 3 将图 将图 1 中中 BEF 绕绕 B 点旋转任意角度 如图点旋转任意角度 如图 3 所示 再连接相应的线段 问所示 再连接相应的线段 问 1 中的结论是否仍然成立 中的结论是否仍然成立 FB AD C E G 图 1 F B AD C E G 图 2 F B A C E 图 3 D 2 2 数学课上 张老师出示了问题 如图 数学课上 张老师出示了问题 如图 1 四边形 四边形 ABCD 是正方形 点是正方形 点 E 是边是边 BC 的的 中点 中点 且 且 EF 交正方形外角交正方形外角的平行线的平行线 CF 于点于点 F 求证 求证 90AEF DCG AE EF 经过思考 小明展示了一种正确的解题思路 取经过思考 小明展示了一种正确的解题思路 取 AB 的中点的中点 M 连接 连接 ME 则 则 AM EC 易证 易证 所以 所以 AMEECF AEEF 在此基础上 同学们作了进一步的研究 在此基础上 同学们作了进一步的研究 1 小颖提出 如图 小颖提出 如图 2 如果把 如果把 点点 E 是边是边 BC 的中点的中点 改为改为 点点 E 是边是边 BC 上上 除 除 B C 外 的任意一点外 的任意一点 其它条件不变 那么结论 其它条件不变 那么结论 AE EF 仍然成立 你认为仍然成立 你认为 小颖的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说明理由 小颖的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说明理由 2 小华提出 如图 小华提出 如图 3 点 点 E 是是 BC 的延长线上 除的延长线上 除 C 点外 的任意一点 其他条点外 的任意一点 其他条 件不变 结论件不变 结论 AE EF 仍然成立 你认为小华的观点正确吗 如果正确 写出证明过仍然成立 你认为小华的观点正确吗 如果正确 写出证明过 程 如果不正确 请说明理由 程 如果不正确 请说明理由 A D F CGE B 图 1 A D F CGE B 图 2 A D F CGE B 图 3 3 3 已知 已知中 中 为为边的中点 边的中点 RtABC 90ACBCCD AB90EDF 绕绕点旋转 它的两边分别交点旋转 它的两边分别交 或它们的延长线 于 或它们的延长线 于 EDF DACCBEF 当当绕绕点旋转到点旋转到于于时 如图时 如图 1 易证 易证EDF DDEAC E 1 2 DEFCEFABC SSS 当当绕绕点旋转到点旋转到不垂直时 在图不垂直时 在图 2 和图和图 3 这两种情况下 上述结论是这两种情况下 上述结论是EDF DDEAC和 否成立 若成立 请给予证明 若不成立 否成立 若成立 请给予证明 若不成立 又有怎样的数量关又有怎样的数量关 DEF S CEF S ABC S 系 请写出你的猜想 不需证明 系 请写出你的猜想 不需证明 A E C F B D 图 1 图 3 A D F E C B A D B C E 图 2 F 4 4 在 在ABC 中 中 2120ABBCABC 将将ABC 绕点绕点B顺时针旋转角顺时针旋转角 0 90 得得ABCAB 111 交交AC于点于点E 11 AC分别交分别交 ACBC 于于DF 两点 两点 1 如图 如图 1 观察并猜想 在旋转过程中 线段 观察并猜想 在旋转过程中 线段 1 EA与与FC有怎样的数量关系 并有怎样的数量关系 并 证明你的结论 证明你的结论 A D B E C F 1 A 1 C A D B E C F 1 A 1 C 2 如图 如图 2 当 当 30 时 试判断四边形时 试判断四边形 1 BC DA的形状 并说明理由 的形状 并说明理由 3 在 在 2 的情况下 求 的情况下 求ED的长 的长 5 5 如图如图 9 若 若 ABC和和 ADE为等边三角形 为等边三角形 M N 分别分别 EB CD 的中点 易证 的中点 易证 CD BE AMN是等边三角形 是等边三角形 1 当把 当把 ADE绕绕 A 点旋转到图点旋转到图 10 的位置时 的位置时 CD BE 是否仍然成立 若成立请是否仍然成立 若成立请 证明 若不成立请说明理由 证明 若不成立请说明理由 4 分 分 2 当 当 ADE绕绕 A 点旋转到图点旋转到图 11 的位置时 的位置时 AMN是否还是等边三角形 若是 是否还是等边三角形 若是 请给出证明 并求出当请给出证明 并求出当 AB 2AD 时 时 ADE与与 ABC及及 AMN的面积之比 若不是 的面积之比 若不是 请说明理由 请说明理由 6 分 分 图 9 图 10 图 11 图 8 6 6 点 点 C 为线段为线段 AB 上一点 上一点 ACM CBN 都是等都是等 边三角形 线段边三角形 线段 AN MC 交于点交于点 E BM CN 交于点交于点 F 求证 求证 1 AN MB 2 CEF 为等边三角形 为等边三角形 3 将 将 ACM 绕点绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度 其他条件不变 按逆时针方向旋转一定角度 其他条件不变 1 中的结论是 中的结论是 否依然成立 否依然成立 只回答不证明只回答不证明 4 AN 与与 BM 相交所夹锐角是否发生变化 相交所夹锐角是否发生变化 只回答不证明 只回答不证明 O O F E A B A B N C M M C N F E 7 7 问题 问题 已知已知中 中 点 点是是内的一点 且内的一点 且 ABC 2BACACB DABC ADCD 探究 探究与与度数的比值 度数的比值 BDBA DBC ABC 请你完成下列探究过程 请你完成下列探究过程 先将图形特殊化 得出猜想 再对一般情况进行分析并加以证明 先将图形特殊化 得出猜想 再对一般情况进行分析并加以证明 1 当 当时 依问题中的条件补全右图 时 依问题中的条件补全右图 90BAC 观察图形 观察图形 与与得数量关系为得数量关系为 ABAC 当退出当退出时 可进一步推出时 可进一步推出的度数为的度数为 15DAC DBC 可得到可得到与与度数的比值为度数的比值为 DBC ABC 2 当 当时 请你画出图形 研究时 请你画出图形 研究与与度数的比值是否与度数的比值是否与90BAC DBC ABC 1 中的结论相同 写出你的猜想并加以证明 中的结论相同 写出你的猜想并加以证明 C B A 图 1 D C B A 8 8 直线 直线 CD 经过经过BCA 的顶点的顶点 C CA CB E F 分别是直线分别是直线 CD 上两点 且上两点 且 BECCFA 1 若直线 若直线 CD 经过经过BCA 的内部 且的内部 且 E F 在射线在射线 CD 上 请解决下面两个问题 上 请解决下面两个问题 如图如图 1 若 若 则 则EF BEAF 填 填 90 90BCA 或或 号 号 如图如图 2 若 若0180BCA 若使 若使 中的结论仍然成立 则中的结论仍然成立 则 与与BCA 应满足应满足 的关系是的关系是 2 如图 如图 3 若直线 若直线 CD 经过经过BCA 的外部 的外部 BCA 请探究 请探究 EF 与 与 BE AF 三条线段的数量关系 并给予证明 三条线段的数量关系 并给予证明 A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图 1图 2图 3 9 9 1 如图如图 1 在正方形在正方形 ABCD 中中 点点 E F 分别在边分别在边 BC CD 上上 AE BF 交于点交于点 O AOF 90 求证 求证 BE CF 2 如图如图 2 在正方形在正方形 ABCD 中中 点点 E H F G 分别在边分别在边 AB BC CD DA 上上 EF GH 交于点交于点 O FOH 90 EF 4 求求 GH 的长的长 3 已知点已知点 E H F G 分别在矩形分别在矩形 ABCD 的边的边 AB BC CD DA 上 上 EF GH 交于点交于点 O FOH 90 EF 4 直接写出下列两题的答案 直接写出下列两题的答案 如图如图 3 矩形矩形 ABCD 由由 2 个全等的正方形组成个全等的正方形组成 求求 GH 的长 的长 如图如图 4 矩形矩形 ABCD 由由 n 个全等的正方形组成个全等的正方形组成 求求 GH 的长的长 用用 n 的代数式表示的代数式表示 第 23 题图 1 第 23 题图 2 第 23 题图 3 第 23 题图 4 10 10 如图 直角梯形 如图 直角梯形 ABCD 中 中 且 且BCAD 90BCD 过点 过点 D 作作 交 交的平分线于点的平分线于点 E 连接 连接2tan2CDADABC ABDE BCD BE 1 求证 求证 BCCD 2 将 将绕点绕点 C 顺时针旋转 顺时针旋转得到得到 连接 连接 EG 求证 求证 CD 垂直平垂直平BCE 90 DCG 分分 EG 3 延长 延长 BE 交交 CD 于点于点 P 求证 求证 P 是是 CD 的中点 的中点 A D G E C B 11 已知 如图 已知 如图 AF 平分平分 BAC BC AF 垂足为垂足为 E 点 点 D 与点与点 A 关于点关于点 E 对称 对称 PB 分别与线段分别与线段 CF AF 相交于相交于 P M 1 求证 求证 AB CD 2 若若 BAC 2 MPC 请你判断 请你判断 F 与与 MCD 的数量关系 并说明理由 的数量关系 并说明理由 FM P E D C B A 11 12 如图 四边形 如图 四边形 ABCD