直线与直线方程复习

1 1 直线的倾斜角 2 两直线的平行与垂直 3 直线的五种方程 4 两直线的交点坐标 5 距离公式 直线的倾斜角 1800 直线的斜率 90tan k 已知两点求斜率 12 12 12 xx xx yy k 平行 则或不存在 21 l l 21 kk 21 kk 垂直 则或且不存在 21 ll 1 21 kk0 1 k 2 k 联立两直线方程 求交点坐标 点斜式 00 xxkyy 斜截式 斜截式 bkxy 两点式 两点式 12 1 12 1 xx xx yy yy 截距式 截距式 1 b y a x 一般式 一般式 不能同时为零 0 CByAxBA 两点间距离 2 12 2 1221 yyxxPP 点到直线 000 yxP 0 CByAxl 距离 22 00 BA CByAx d 直线方程 题型 1 直线的倾斜角与斜率 倾斜角 0 90 0 90 180 90 取值 0 0不存在 0 斜率 增减性 递增 递增 2 考点 1 直线的倾斜角 例 1 过点和的直线的斜率等于 则的值为 A B C 或 D 2 aM 4 aN1a1413 或变式 1 已知点 则直线的倾斜角是 14 3 1 A 33 1 BAB A B C D 60 30 120 150 变式 2 已知两点 求过点的直线 与线段有公共点求直线 的斜率的取值范围 2 3A 1 4 B 1 0 ClABlk 考点 2 直线的斜率及应用 斜率公式与两点顺序无关 即两点的横纵坐标在公式中的前后次序相同 12 12 xx yy k 斜率变化分两段 是分界线 遇到斜率要特别谨慎 2 例 1 已知 则直线的倾斜角的取值范围是 R 013sin yx A B C D 30 0 180 150 180 15030 0 150 30 例 2 三点共线 若三点 共线 则的值等于 2 2A 0 aB bC 0 0 ab ba 11 变式 2 若 三点在同一直线上 则的值 A B C D 3 2 A 2 3 B mC 2 1 m2 2 2 1 2 1 考点 3 两条直线的平行和垂直 对于斜率都存在且不重合的两条直线 若有一条直线的斜率 21 ll 2121 kkll 1 2121 kkll 不存在 那么另一条直线的斜率是多少要特别注意 例 已知点 点在轴上 分别求满足下列条件的点坐标 2 2M 2 5 NPxP 1 是坐标原点 2 是直角OPNMOP OMPN 题型 2 直线方程 名称 方程的形式已知条件局限性 点斜 式 00 xxkyy 为直线上一定点 为斜 11 yx k 率 不包括垂直于轴的直线x 斜截bkxy 为斜率 是直线在轴上截距kby 3 式 两点 式 且 12 1 12 1 xx xx yy yy 21 xx 21 yy 是直线上两 11 yx 22 yx 定点 不包括垂直于轴和轴xy 的直线 截距 式 1 b y a x 是直线在轴上的非零截距ba 一般 式 不同时为零0 CByAxBA 为系数 CBA 无限制 可表示任何位置 的直线 考点 1 直线方程的求法 例 1 下列四个命题中的真命题是 A 经过定点的直线都可以用方程表示 00 yxP 00 xxkyy B 经过任意两个不同的点和的直线都可以用方程表示 111 yxP 222 yxP 121121 yyxxxxyy C 不经过原点的直线都可以用方程表示1 b y a x D 经过定点的直线都可以用方程表示 bA 0bkxy 例 2 若表示直线 则 01344 22 ymmxm A 且 B C 且 D 可取任意实数2 m1 m3 m2 m1 m3 mm 变式 1 直线在轴上的截距为 在轴上的截距为 则 0632 yxxayb A B C D 2 3 ba2 3 ba2 3 ba2 3 ba 变式 2 过点 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 在两轴上的截距相等的直线 3 2 P 方程 变式 3 过点 在轴和轴上的截距分别为 且满足的直线方程是 1 2 Pxyba ba3 考点 2 用一般式方程判定直线的位置关系 两条直线位置关系的判定 已知直线 则0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 1 且 或 或 均 0 122121 BABAll0 1221 CACA0 1221 CBCB 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 222 CBA 0 2 0 212121 BBAAll 4 3 与重合且 或 或 均 1 l 2 l0 1221 BABA0 1221 CACA0 1221 CBCB 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 222 CBA 0 4 与相交或记 均 1 l 2 l0 1221 BABA 2 1 2 1 B B A A 22 BA 0 例 1 已知直线平行于直线 且在轴上的截距为 则的值分别为 01 nymx0534 yxy 3 1 nm A 和 B 和 C 和 D 和434 34 3 43 变式 1 直线和 若 则在两坐标轴上的截距的和 02 1 ykxl032 2 yxl 21 l l 1 l A B C D 1 2 26 例 2 已知直线与直线互相垂直 则等于 02 ayax 012 aayxaa A B C 或 D 或101011 变式 2 两条直线和互相平行的条件是 0 nymx01 myx A B C D 或1 m1 m 1 1 n m 1 1 n m 1 1 n m 变式 3 两条直线和的位置关系是 03 myx03 nyx A 平行 B 垂直 C 相交但不垂直 D 与的取值有关nm 变式 4 原点在直线 上的射影是 则直线 的方程为 l 1 2 Pl A B C D 02 yx042 yx052 yx032 yx 例 3 三条直线 共有两个交点 则的值为 01 yx042 yx02 yaxa A B C 或 D 或 1212 1 2 变式 5 直线与直线相交 则实数的值为 0523 kykx 0232 ykkxk A 或 B 或 C 且 D 且1 k9 k1 k9 k1 k9 k1 k9 k 变式 6 直线绕原点逆时针旋转 再向右平移 个单位 所得到的直线为 xy3 901 A B C D 11 33 yx 1 1 3 yx 33yx 1 1 3 yx 考点 3 直线方程的应用 5 1 直线绕原点逆时针旋转 再向右平移 个单位 所得到的直线 3yx 0 90 A B C D 11 33 yx 1 1 3 yx 33yx 1 1 3 yx 2 直线方程中 当时 此直线方程bkxy 4 3 x 13 8 y 考点 4 直线方程的实际应用 例 1 求直线与坐标轴围成的三角形的面积01052 yx 变式 1 过点且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线方程是 4 5 5 题型 3 直线的交点坐标与距离公式 考点 1 三条直线交于一点问题 例 1 三条直线 和相交于一点 求的值280axy 4310 xy 210 xy a 考点 2 求过交点的直线问题 例 1 求经过两直线和的交点且与直线平行的直线方程为 2330 xy 30 xy 510 xy 注意平行直线系方程 考点 3 有关对称问题 1 中心对称 点 点 点对称 由中点坐标求得 线 点 线对称 先找对称点 在根据求得 21 l l 2 轴对称 点关于直线的对称 由中点坐标及求得 直线关于直线的对称 转化到点关于直 1 21 kk 线对称求得 1 点关于直线对称的点是 0 402145 yx A B C D 8 6 6 8 8 6 8 6 2 已知点和点是关于直线 对称的两点 则直线 的方程为 baP 1 1 abQll 6 A B C D 0 yx0 yx01 yx01 yx 3 如图 已知 从点射出的光线经直线反向后再射到直线上 最后经直线 4 0 A 0 4 B 2 0 PABOB 反射后又回到点 则光线所经过的路程是 OBP A B C D 10263352 4 过点且与 两点等距离的直线方程是 4 3 M 3 1 A 2 2B 5 若直线和直线关于点对称 求的值01 yax024 byx 1 2 ba 6 求直线关于直线对称的直线的方程32 1 xyl1 xyl 2 l 考点 4 有关最值问题 例 1 设直线 过点 求当原点到此直线距离最大时 直线 的方程l 2 1Pl 变式 1 已知 直线 求直线上一点 使得最小 求直线上一点 1 1A 1 1 B01 yxlPPBPA P 使得最大PBPA 考点 5 直线通过象限问题 例 1 若 则直线不通过 0 AC0 BC0 CByAx A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限D 第四象限 变式 1 若直线不过第二象限 则实数的取值范围是 0823 yxaa 变式 2 若直线过第一 二 三象限 则 0 cbyax A B C D 0 ab0 bc0 ab0 bc0 ab0 bc0 ab0 bc 变式 3 直线与交点在第一象限 则的取值范围是 1 kkxy02 kxkyk 7 A B 或 C 或 D 或10 k1 k01 k1 k0 k1 k 2 1 k 考点 6 有关定点问题 1 若满足 直线必过一个定点 该定点坐标为 qp 12 qp03 qypx 2 直线与平行 并过直线和的交点 则 06 byax02 yx01034 yx0102 yx a b 3 无论取何实数 直线都过一定点 则点坐标为 nm 023 nynmxnmPP A B C D 3 1 2 3 2 1 5 3 5 1 7 3 7 1 考点 7 有关距离问题 1 若点到直线的距离为 3 求的值 2 2 340 xyc c 2 求两平行值线和间的距离 1 3 410lxy 2 3 415lxy 3 过点的直线 与两点 的距离相等 则直线 的方程为 2 1Pl 3 2A 5 4 Bl A B C 或 D 或064 yx064 yx723 yx64 yx732 yx64 yx 4 直线过点 直线过点 用 d 表示和的距离 则 1 l 0 3A 2 l 4 0B 21 l l 1 l 2 l A B C D 5 d53 d50 d50 d 5 构造 距离 求最值 已知函数 求的最小值 并求取得最小值时 22 2248f xxxxx f x 的值x 考点 6 解析法 坐标法 应用 即通过建立平面直角坐标系 把几何问题转化为代数问题 如图 已知是等腰三角形的底边上一点 于 PABCBCABPM M 于 证明为定值ACPN N